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1、北师大版八年级下学期期末考试数学试题时间：120分钟总分：120 分一、选择题：每小题3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A.B.C.D.2.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A.22212(1)1aaa aB.22()()xy xyxyC.265(5)(1)xxxxD.222()2xyxyxy3.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行
2、四边形的条件是（）A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.若分式2x9x3的值为 0，则 x 的值等于()A.0B.3C.3D.35.如图，已知ABCV，90CAD，是BAC 的角平分线，34CDAC，则点 D 到AB的距离是()A.3 B.4 C.5 D.6 6.解分式方程12211xxx时，在方程的两边同时乘以（x1）（x+1），把原方程化为x+1+2x（x1）2（x1）（x+1），这一变形过程体现的数学思想主要是（）A.类比思想B.转化思想C.方程思想D.函数思想
3、7.如图，Rt ABC中，90BACo，ABAC，将ABC绕点C顺时针旋转40o得到出A B C，CB与AB相交于点D，连接AA，则B A A的度数为（）A.10oB.15oC.20oD.30o8.如图，有一直角三角形纸片ABC，C90，B30，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点 A重合，DE 1，则 BC的长度为()A.2 B.32 C.3 D.239.如图，长方形 ABCD 中，BE、CE 分别平分 ABC 和 DCB，点 E在 AD 上，ABE DCE；ABE和 DCE 都是等腰直角三角形；AE=DE；BCE 是等边三角形，以上结论正确的有()A.1 个B.2 个C.4 个D.3
4、个10.如图，已知?AOBC 的顶点 O（0，0），A（1，2），点 B 在 x 轴正半轴上按以下步骤作图：以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB 于点 D，E；分别以点D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点F；作射线OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为（）A.（51，2）B.（5，2）C.（35，2）D.（52，2）二、填空题（每题3 分，满分 15 分，将答案填在答题纸上）11.如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFC为直角，若6ACcm，8BCcm，则DF的长为 _cm12.若关于 x 的方程226111kxxx有增根，则k
5、的值为 _13.如图，在平行四边形ABCD中，72Ao，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形1111DCBA，当11C D首次经过顶点C时，旋转角1ABA_14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点O，AC 24，BD 10，DEBC，垂足为点E，则DE_15.如图,E、F 分别是平行四边形ABCD 的边 AB、CD 上的点,AF 与 DE 相交于点P,BF与 CE 相交于点Q,若215APDScm，225BQCScm，则阴影部分的面积为_2cm三、解答题：共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（1）分解因式：22363mxmxymy2x(
6、x2)(x2)（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.45133(1)7xxxx17.先化简：(111a)?221aaa，然后 a 在 1，0，1 三个数中选一个你认为合适的数代入求值18.如图，在 ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 边上的中线（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C 作直线 CE，使 CEBC 于点 C，交 BD 的延长线于点E，连接 AE；（2）求证：四边形ABCE 是矩形19.如图 1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC中点，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH
7、.（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图 2，若/EFAB，/GHBC，在不添加任何辅助的情况下，请直接写出图2 中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形（四边形AGHD除外）.20.如图,在平行四边形OABC 中,已知点 A、C两点的坐标为 A(3,3),C(23,0).(1)求点 B的坐标.(2)将平行四边形OABC 向左平移3个单位长度,求所得四边形ABCO 四个顶点的坐标.(3)求平行四边形OABC 的面积.21.近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器
8、的进价少300 元，且用 6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000 元，问最少进货甲种空气净化器多少台？22.如图 1，已知矩形ABED，点 C 是边 DE 的中点，且AB=2AD.(1)由图 1 通过观察、猜想可以得到线段AC 与线段 BC 的数量关系为 _，位置关系为 _；(2)保持图 1 中的 ABC 固定不变,绕点 C 旋转 DE 所在的直线MN 到图 2 中的位置(当垂线 AD、BE 在直线MN的同侧).试
9、探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明(第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用)；(3)保持图 2 中的 ABC 固定不变,继续绕点C 旋转 DE 所在的直线MN 到图 3 中的位置(当垂线段AD、BE在直线 MN 的异侧).试探究线段AD、BE、DE 长度之间有 _关系.23.如图，在梯形中ABCD中，/ADBC，E是BC的中点，5AD，12BC，42CD，45Co，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.（1）当x的值为多少时，以点,P A D为顶点的三角形为直角三角形；（2）当x的值为多少时，以点,P A D E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程
10、中，以,P A D E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.答案与解析一、选择题：每小题3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的概念很容易判断选项A，D 不符合定义；仔细观察选项B 与 C 会发现，C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，从而解决问题.【详解】根据中心对称图形的概念可知选项A、C、D 中的标志都不是中心对称图形，选项B 中的标志是中心对称图形.故选 B【点睛】此题考查中心对称图形，解题关键在于对图形的识别.2.下列各式中，从左到右的变形是因
11、式分解的是（）A.22212(1)1aaa aB.22()()xy xyxyC.265(5)(1)xxxxD.222()2xyxyxy【答案】C【解析】试题解析：A.22212(1)1aaa a，等号的右边不是整式的积的形式,故此选项不符合题意;B、22()(),xyxyxy这是整式的乘法,故此选项不符合题意;C、265(5)(1)xxxx,是因式分解,故此选项符合题意;D、222()2xyxyxy等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；故选 C.点睛：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）.3.如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B
12、、C,分别以点A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧交于点D,分别连接AD、CD,得到的四边形ABCD 是平行四边形.根据上述作法，能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（）A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C.两组对角分别相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形【答案】D【解析】【分析】根据题意可知,BCADABCD,即可判断.【详解】由题意可知：,BCADABCD，根据两组对边分别相等可以判定这个四边形为平行四边形.故选 D【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟知两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键
13、.4.若分式2x9x3的值为 0，则 x 的值等于()A.0 B.3 C.3D.3【答案】C【解析】【分析】直接利用分式的值为0 的条件以及分式有意义的条件进而得出答案【详解】Q分式2x9x3的值为 0，2x90，x30，解得：x3，故选 C【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟知“分子为0且分母不为0时，分式的值为0”是解题的关键.5.如图，已知ABCV，90CAD，是BAC的角平分线，34CDAC，则点 D 到AB的距离是()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】首先过点D 作DEAB于 E，由在ABCV中，90CAD，是BAC 的角平分线，根据角平分线的性质，即可得D
14、ECD.【详解】过点D 作DEAB于 E，ABCV中，90C，即DCAC，AD是BAC 的角平分线，3DECD，点 D 到AB的距离为3，故选 A.【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解此题的关键.6.解分式方程12211xxx时，在方程的两边同时乘以（x1）（x+1），把原方程化为x+1+2x（x1）2（x1）（x+1），这一变形过程体现的数学思想主要是（）A.类比思想B.转化思想C.方程思想D.函数思想【答案】B【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，故利用的数学思想是转化思想【详解】解分式方程12211xxx时，在方程的两边同时乘以（x
15、1）（x+1），把原方程化为x+1+2x（x1）2（x1）（x+1），这一变形过程体现的数学思想主要是转化思想.故选 B【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键7.如图，Rt ABC中，90BACo，ABAC，将ABC绕点C顺时针旋转40o得到出A B C，CB与AB相交于点D，连接AA，则B A A的度数为（）A.10oB.15oC.20oD.30o【答案】C【解析】【分析】由 旋 转 的 性 质 可 得AC=AC，ACA=40 ，BAC=BAC=90，由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得AAC=70=AAC，即可求解详解】将 ABC 绕点 C 顺时针旋转40 得到
16、 ABC，ABC ABCAC=A C,ACA=40,BAC=BAC=90，AA C=70=AAC BAA=BAC-AA C=20 故选 C.【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于得出得AAC=70=AAC.8.如图，有一直角三角形纸片ABC，C90，B30，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点 A重合，DE 1，则 BC的长度为()A.2 B.32 C.3 D.23【答案】C【解析】分析:先由 B30，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点B与点 A重合，DE 1，得到 AD=BD=2,再根据C 90，B30 得CAD=30,然后在 RtACD 中，利用 30 的角所对的直
17、角边是斜边的一半求得CD=1,从而求得BC 的长度.详解:ABC 折叠，点B 与点 A 重合，折痕为DE，AD BD，BCAD=30,DEB=9 0,AD=BD=2,CAD=30,CD=12AD=1,BC=BD+CD=2+1=3 故选：C点睛:本题考查了翻折变换，主要利用了翻折前后对应边相等，此类题目，难点在于利用直角三角形中30的角所对应的直角边是斜边的一半来解决问题.9.如图，长方形 ABCD 中，BE、CE 分别平分 ABC 和 DCB，点 E在 AD 上，ABE DCE；ABE和 DCE 都是等腰直角三角形；AE=DE；BCE 是等边三角形，以上结论正确的有()A.1 个B.2 个C.
18、4 个D.3 个【答案】D【解析】【分析】根 据 矩 形 性 质 得 出 A=D=90，AB=CD，ADBC，推 出 AEB=EBC，DEC=ECB，求 出AEB=ABE，DCE=DEC，推出AB=AE，DE=DC，推出AE=DE，根据SAS推出 ABEDCE，推出 BE=CE 即可【详解】四边形ABCD 是矩形，A=D=90,AB=CD,AD BC，AEB=EBC，DEC=ECB，BE、CE 分别平分 ABC 和 DCB，ABE=EBC，DCE=ECB，AEB=ABE，DCE=DEC，AB=AE，DE=DC，AE=DE，ABE 和DCE 都是等腰直角三角形，在ABE 和 DCE 中，AEDE
19、ADABCD，ABE DCE(SAS)，BE=CE，都正确，故选 D.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，等边三角形的判定，解题关键在于掌握各判定定理.10.如图，已知?AOBC 的顶点 O（0，0），A（1，2），点 B 在 x 轴正半轴上按以下步骤作图：以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB 于点 D，E；分别以点D，E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB 内交于点F；作射线OF，交边 AC 于点 G，则点 G 的坐标为（）A.（51，2）B.（5，2）C.（35，2）D.（52，2）【答案】A【解析】【分析】依据勾股定理即可得到Rt AO
20、H 中，AO=5，依据 AGO=AOG，即可得到AG=AO=5，进而得出HG=5-1，可得 G（5-1，2）【详解】如图，过点A作 AH x轴于 H，AG与 y 轴交于点M，?AOBC 的顶点 O（0，0），A（-1，2），AH=2，HO=1，Rt AOH 中，AO=5，由题可得，OF 平分 AOB，AOG=EOG，又 AGOE，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO=5，MG=5-1，G（5-1，2），故选 A【点睛】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法
21、和规律二、填空题（每题3 分，满分 15 分，将答案填在答题纸上）11.如图，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFC为直角，若6ACcm，8BCcm，则DF的长为 _cm【答案】1【解析】【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出EF，结合图形计算即可【详解】DE 为 ABC 的中位线，DE=12BC=4(cm)，AFC 为直角，E为 AC 的中点，FE=12AC=3(cm)，DF=DE-FE=1(cm)，故答案为1cm.【点睛】此题考查三角形中位线定理，解题关键在于掌握其性质定义.12.若关于x的方程226111kxxx有增根，则k的值为_【答案】3【解析】【分析】
22、方程两边都乘以（x+1）（x-1）化为整式方程，由增根的概念将x=1 和 x=-1 分别代入求解可得【详解】解：方程两边都乘以（x+1）（x 1），得：2（x1）+k（x+1）6，方程有增根，x1 或 x 1，当 x 1时，2k6，k3；当 x 1 时，46，显然不成立；k3，故答案为3【点睛】本题主要考查分式方程的增根，把分式方程的增根代入整式方程是解题关键13.如图，在平行四边形ABCD中，72Ao，将平行四边形ABCD绕顶点B顺时针旋转到平行四边形1111DCBA，当11C D首次经过顶点C时，旋转角1ABA_【答案】36【解析】【分析】由旋转的性质可知：?ABCD 全等于?A1BC1D
23、1，得出 BC=BC1，由等腰三角形的性质得出BCC1=C1，由旋转角 ABA1=CBC1，根据等腰三角形的性质计算即可【详解】?ABCD绕顶点B顺时针旋转到?A1BC1D1，BC=BC1，BCC1=C1，A=72，C=C1=72，BCC1=C1，CBC1=180-2 72=36，ABA1=36，故答案为36.【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握其性质得出BCC1=C1.14.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与 BD 相交于点O，AC 24，BD 10，DEBC，垂足为点E，则DE_【答案】12013【解析】【分析】试题分析：根据菱形性质得出AC BD，AO=O
24、C=12，BO=BD=5，根据勾股定理求出AB，根据菱形的面积得出 S菱形ABCD=12 ACBD=AB DE，代入求出即可【详解】四边形ABCD 是菱形，AC=24，BD=10，AC BD，AO=OC=12AC=12，BO=12BD=5，在 Rt AOB 中，由勾股定理得：AB=13，S菱形ABCD=12 ACBD=AB DE，12 24 10=13DE，DE=12013，故答案为12013【点睛】本题考查的是菱形的性质及等面积法，掌握菱形的性质，灵活运用等面积法是解题的关键.15.如图,E、F 分别是平行四边形ABCD 的边 AB、CD 上的点,AF 与 DE 相交于点P,BF与 CE 相
25、交于点Q,若215APDScm，225BQCScm，则阴影部分的面积为_2cm【答案】40【解析】【分析】作出辅助线，因为ADF 与DEF 同底等高，所以面积相等，所以阴影图形的面积可解【详解】如图，连接EF ADF 与DEF 同底等高，SADFV=SDEFV即 SADFV-SDPFV=SDEFV-SDPFV，即 SAPDV=SEPFV=15cm2，同理可得SBQCV=SEFQV=25cm2，阴影部分的面积为SEPFV+SEFQV=15+25=40cm2.故答案为40.【点睛】此题考查平行四边形的性质，解题关键在于进行等量代换.三、解答题：共75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1
26、6.（1）分解因式：22363mxmxymy2x(x2)(x2)（2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来.45133(1)7xxxx【答案】(1)23()m xy；(1)(1)(2)xxx；（2）122x【解析】【分析】（1）直接提取公因式3m，再利用完全平方公式分解因式得出答案；先去括号合并同类项，再利用平方差公式进行计算即可；（2）分别解不等式进而得出不等式组的解；【详解】解：（1）原式223(2)m xxyy23()m xy原式2(1)(2)xx(1)(1)(2)xxx（2）解不等式，得：12x解不等式，得：2x则不等式组的解集为122x【点睛】此题考查提公因式法与公式法分解因式，解一
27、元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，解题关键在于掌握运算法则.17.先化简：(111a)?221aaa，然后 a 在 1，0，1 三个数中选一个你认为合适的数代入求值【答案】2【解析】【分析】根据分式的混合运算进行化简，再代入符合题意的值.【详解】212111aaaa=211aaaa=a+1 a0，a-1，故把 a=1代入原式得2.【点睛】此题主要考查分式的计算，解题的关键是熟知分式的运算法则.18.如图，在 ABC 中，ABC=90，BD 为 AC 边上的中线（1）按如下要求尺规作图，保留作图痕迹，标注相应的字母：过点C 作直线 CE，使 CEBC 于点 C，交 BD 的延长线于点E，
28、连接 AE；（2）求证：四边形ABCE 是矩形【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；（2）先根据 BD 为 AC 边上的中线，AD=DC，再证明 ABD CED（AAS）得 AB=EC，已知 ABC=90 即可得四边形ABCE 是矩形【详解】（1）解：如图所示：E 点即为所求；（2）证明：CEBC，BCE=90 ，ABC=90 ，BCE+ABC=180 ，AB CE，ABE=CEB，BAC=ECA，BD 为 AC 边上的中线，AD=DC，在 ABD 和CED 中，ABD CED（AAS），AB=EC，四边形ABCE 是平行四边形，ABC=90 ，平行四边形
29、ABCE 是矩形【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质与矩形的性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质与矩形的性质.19.如图 1，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，GH过点O与AB，CD分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.（1）求证：四边形EGFH是平行四边形；（2）如图 2，若/EFAB，/GHBC，在不添加任何辅助的情况下，请直接写出图2 中与四边形AGHD面积相等的所有的平行四边形（四边形AGHD除外）.【答案】（1）详见解析；（2）ABFEY、GBCHY、EFCDY、EGFHY【解析】【分析】（1）由四边形
30、ABCD是平行四边形，得到AD BC，根据平行四边形的性质得到EAO=FCO，证出OAE OCF，得到 OE=OF，同理 OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论【详解】(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，EAO=FCO，在OAE 与 OCF 中，EAOFCOAOECOFOAOC OAE OCF，OE=OF，同理 OG=OH，四边形EGFH 是平行四边形；(2)与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH；四边形ABCD 是平行四边形，AD BC,AB
31、CD，EFAB,GH BC，四边形GBCH，ABFE，EFCD，EGFH 为平行四边形，EF 过点 O，GH 过点 O，OE=OF，OG=OH，?GBCH,?ABFE,?EFCD,?EGFH,?ACHD 它们面积=12?ABCD 的面积，与四边形AGHD 面积相等的所有平行四边形有?GBCH，?ABFE，?EFCD，?EGFH.【点睛】此题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理.20.如图,在平行四边形OABC 中,已知点 A、C两点的坐标为A(3,3),C(23,0).(1)求点 B的坐标.(2)将平行四边形OABC 向左平移3个单位长度,求所得四边形
32、ABCO 四个顶点的坐标.(3)求平行四边形OABC 的面积.【答案】(1)点 B坐标是(33,3)；(2)A(O,3)、B(23，3)、C(3，0），O(3，0）；(3)6.【解析】分析：（1）根据平行四边形的性质AB=OC=23，由此即可解决问题（2）根据向左平移纵坐标不变，横坐标减去3即可（3）根据平行四边形的面积公式计算即可详解：(1)点 B坐标是(33,3);(2)向左平移3个单位长度后,各点的纵坐标不变,横坐标都减少3,所以 A(O,3)、B(23，3)、C(3，0），O(3，0）.(3)平行四边形的面积为233=2(3)2=2 3=6.点睛：本题考查四边形综合题、坐标与点的位置关
33、系、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，记住平行四边形的面积等于底乘高，属于中考常考题型21.近些年全国各地频发雾霾天气，给人民群众的身体健康带来了危害，某商场看到商机后决定购进甲、乙两种空气净化器进行销售若每台甲种空气净化器的进价比每台乙种空气净化器的进价少300 元，且用 6000元购进甲种空气净化器的数量与用7500元购进乙种空气净化器的数量相同（1）求每台甲种空气净化器、每台乙种空气净化器的进价分别为多少元？（2）若该商场准备进货甲、乙两种空气净化器共30台，且进货花费不超过42000 元，问最少进货甲种空气净化器多少台？【答案】（1）每台甲种空气净化器、每台
34、乙种空气净化器的进价分别为1200 元，1500 元（2）至少进货甲种空气净化器10 台【解析】【分析】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，根据用6000 元购进甲种空气净化器的数量与用 7500 元购进乙种空气净化器的数量相同，列出方程求解即可；(2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30y)台，根据进货花费不超过42000 元，列出不等式求解即可【详解】(1)设每台甲种空气净化器为x 元，乙种净化器为(x+300)元，由题意得：60007500300 xx，解得：x1200，经检验得：x1200 是原方程的解，则 x+3001500，答：每台甲种空气净化
35、器、每台乙种空气净化器的进价分别为1200元，1500 元(2)设甲种空气净化器为y 台，乙种净化器为(30y)台，根据题意得：1200y+1500(30y)42000，y10，答：至少进货甲种空气净化器10 台【点睛】本题考查分式方程和不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系列出方程和不等式是解决问题的关键22.如图 1，已知矩形ABED，点 C 是边 DE 的中点，且AB=2AD.(1)由图 1 通过观察、猜想可以得到线段AC 与线段 BC 的数量关系为 _，位置关系为 _；(2)保持图 1 中的 ABC 固定不变,绕点 C 旋转 DE 所在的直线MN 到图 2 中的位置(当垂线 AD、
36、BE 在直线MN 的同侧).试探究线段AD、BE、DE 长度之间有什么关系?并给予证明(第一问中得到的猜想结论可以直接在证明中使用)；(3)保持图 2 中的 ABC 固定不变,继续绕点C 旋转 DE 所在的直线MN 到图 3 中的位置(当垂线段AD、BE在直线 MN 的异侧).试探究线段AD、BE、DE 长度之间有 _关系.【答案】（1）AC=BC，AC BC，；（2）DE=AD+BE，理由见解析；（3）DE=BE-AD.【解析】【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理，即可证得ADC BEC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）通过证明 ACD CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段A
37、D、BE、DE 长度之间的关系；（3）通过证明 ACD CBE，根据全等三角形的性质得出即可得线段AD、BE、DE 长度之间的关系【详解】(1)AC=BC，AC BC，在ADC 与 BEC 中,ADBEDEDCEC，ADC BEC(SAS)，AC=BC，DCA=ECB.AB=2AD=DE，DC=CE，AD=DC，DCA=45 ，ECB=45，ACB=180-DCA-ECB=90.AC BC，故答案为AC=BC，AC BC；(2)DE=AD+BE.理由如下：ACD=CBE=90-BCE，在ACD 与 CBE 中,ACDCBEADCBECACBC，ACD CBE(AAS)，AD=CE，DC=EB.
38、DC+CE=BE+AD，即 DE=AD+BE.(3)DE=BE-AD.理由如下：ACD=CBE=90-BCE，在ACD 与 CBE 中,ACDCBEADCBECACBC，ACD CBE(AAS)，AD=CE，DC=EB.DC-CE=BE-AD，即 DE=BE-AD，故答案为DE=BE-AD.【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.23.如图，在梯形中ABCD中，/ADBC，E是BC的中点，5AD，12BC，42CD，45Co，点P是BC边上一动点，设PB的长为x.（1）当x的值为多少时，以点,P A D为顶点的三角形为直角三角形；（2）当x的值为多少时，以点,P A
39、D E为顶点的四边形为平行四边形；（3）点P在BC边上运动的过程中，以,P A D E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由.【答案】（1）当x的值为 3 或 8 时，以点,P A D为顶点的三角形为直角三角形；（2）当x的值为 1 或 11时，以点,P A D E为顶点的四边形为平行四边形；（3）以点,P A D E为顶点的四边形能构成菱形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）过 AD 作AMBC于M，DNCB于N，当90DAPo时，分情况讨论，求出即可；（2）分为两种情况，画出图形，根据平行四边形的性质推出即可；（3）化成图形，根据菱形的性质和判定求出BP 即可【详解】解（1）如图，分别过
40、AD 作AMBC于M，DNCB于N,5AMDN ADMN而4 2,45CDCo4DNCNAM3BMCBCNMN若以,P A D为顶点的三角形为直角三角形，则90DAPo或90ADPo，90APBo（在图中不存在）当90DAPo时P与M重合3BPBM当90ADPo时P与N重合8BPBN故当x的值为 3 或 8时，以点,P A D为顶点的三角形为直角三角形；（2）若以点,P A D E为顶点的四边形为平行四边形，那么ADPE，有两种情况：当P在E的左边，E是BC的中点，6BE651BPBEPE当P在E的右边，6511BPBEPE故当x的值为 1 或 11时，以点,P A D E为顶点的四边形为平行四边形；（3）由（2）知，当11BP时，以点,P A D E为顶点的四边形能构成菱形当11BP时，以点,P A D E为顶点的四边形是平行四边形，5EPAD，过D作DNBC于N，4 2CD，45Co，则4DNCN，3NP.2222435DPDNNP，EPDP故此时PDAEY是菱形即以点,P A D E为顶点的四边形能构成菱形.【点睛】此题考查直角三角形的性质，平行四边形的判定，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理进行计算.