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1、中考数学综合模拟测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ 一、选择题1.若实数 a、b 互为相反数，则下列等式中成立的是()A.a b0B.a+b0C.ab1D.ab 1 2.下列图形是中心对称图形的是（）A.B.C.D.3.2018 年 3 月 5日，李克强总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800 万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800 万用科学记数法表示为（）A.6800 104B.6.8 104C.6.8 107D.0.681084.下列关于x 的一元二次方程有实数根的是A.2x10B.2xx10C.2xx10D.2xx105.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A.互相平分B.相等C.互相垂直D.平分一组对角6.一次函数y3x2 的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则 y1与 y2的大小关系为（）A.y1y2B.y1y2C.y1y2D.不能确定7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3之间的关系是（）A.222123SSSB.123SSSC.123SSSD.123SSS8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()A.2
3、 120%1x1 15%B.21 15%(1 x)1 20%C.2 1 15%1x120%D.2120%(1x)1 15%9.如图，一条抛物线与x 轴相交于M、N两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB上移动若点A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），点 N 的横坐标的最大值为4，则点 M 的横坐标的最小值为（）A.1B.3C.5D.7 10.如图，已知菱形ABCD的周长为 16，面积为8 3，E为 AB 的中点，若 P为对角线 BD 上一动点，则 EP+AP的最小值为（）A.2 B.23C.4 D.4311.已知抛物线y ax2+bx+c（a0）与 x 轴交于点A（1，0
4、），与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：4a+2b0；1 a23；对于任意实数m，a+b am2+bm总成立；关于x的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个12.如图，ABC 中，BC4，P与 ABC 的边或边的延长线相切若P半径为 2，ABC 的面积为 5，则 ABC 的周长为()A.8B.10C.13D.14 二、填空题13.把多项式x325x 分解因式的结果是_14.如图，平行四边形ABCD 中，E为 AD 的中点，已知 DEF 的面积为1，则平行四边形ABC
5、D 的面积为_15.如图，AB 是 O 的直径，AB 13，AC5，则 tanADC _ 16.如图，正五边形ABCDE的边长为 2，分别以点C、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F，则?BF的长为 _ 17.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（1，0），动点 P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点P的坐标为 _ 18.如图，已知在Rt ABC 中，ABAC3 2，在 ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取 GF 的中点P，连接 PD、PE，在 PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点 Q，在 QHI 内
6、作第三个内接正方形 依次进行下去，则第2014 个内接正方形的边长为_三、解答题19.（1）解方程：x21x1x（2）化简求值：82(2)224xxxxx，其中12x.20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角
7、的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率21.如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB交O于点C，过点C作CEDF，垂足为点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若1,2AECE，求O的半径22.某旅行社推出一条成本价位500 元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人 1200 元/人之间（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200 人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低
8、成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润；最大利润是多少23.如图，AD是ABCV的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作 AFBCP，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G（1）若四边形ADCF是菱形，试证明ABCV是直角三角形；（2）求证：2CGAG24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2）点 M 是边 BC 上的一个动点（不与B、C 重合），反比例函数ykx（k0，x0）的图象经过点M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN（1）当点 M 是边 BC 的中点时求反比例函数的表达式；求 OM
9、N 的面积；（2）在点 M 的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值25.如图，已知抛物线y=13x2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，其中点A（0，1），点 B（9，10），AC x轴，点 P是直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P且与 y 轴平行的直线l 与直线 AB、AC 分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点 P为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由答案与解析一、选择题1.若实数 a、b 互为相反数，则下列等式中
10、成立的是()A.a b0B.a+b0C.ab1D.ab 1【答案】B【解析】ab、互为相反数，0ab.故选 B.2.下列图形是中心对称图形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐一判断即可【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D【点睛】此题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决此题的关键3.2018 年 3 月 5日，李克强
11、总理在政府工作报告中指出，过去五年农村贫困人口脱贫6800 万，脱贫攻坚取得阶段性胜利，6800 万用科学记数法表示为（）A.6800 104B.6.8 104C.6.8 107D.0.68 108【答案】C【解析】【详解】解：6800 万用科学记数法表示为6.8 107故选 C【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为a 10n的形式，其中1|a|10，n 为整数4.下列关于x 的一元二次方程有实数根的是A.2x10B.2xx10C.2xx10D.2xx10【答案】D【解析】【分析】计算出各项中方程根的判别式的值，找出根的判别式的值大于等于0 的方程即可【详解】A、这里 a=
12、1，b=0，c=1，=b2-4ac=-40，方程没有实数根，本选项不合题意；B、这里 a=1，b=1，c=1，=b2-4ac=1-4=-3 0，方程没有实数根，本选项不合题意；C、这里 a=1，b=-1，c=1，=b2-4ac=1-4=-3 0，方程没有实数根，本选项不合题意；D、这里 a=1，b=-1，c=-1，=b2-4ac=1+4=5 0，方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；故选 D5.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有同一性质是（）A.互相平分B.相等C.互相垂直D.平分一组对角【答案】A【解析】【分析】根据平行四边形、正方形、矩形的性质可知，
13、它们的对角线都具有同一性质是：对角线互相平分【详解】因为矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，而平行四边形的对角线互相平分，所以平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都具有一个共同的性质，这条性质是对角线互相平分故选 A【点睛】此题综合考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线的性质用到的知识点：平行四边形的对角线互相平分；矩形的对角线相等且互相平分；菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角6.一次函数y3x2 的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则 y1与 y2的大小关系为（）A.y1y2B.y
14、1y2C.y1y2D.不能确定【答案】B【解析】【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由-1-2 即可得出结论【详解】一次函数y=3x-2 中，k=30，y 随 x 的增大而增大-1-2，y1 y2故选 B【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键7.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则 S1、S2、S3之间的关系是（）A.222123SSSB.123SSSC.123SSSD.123SSS【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形的性质,知等边三角形的面积等于其边
15、长的平方的34倍,结合勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.【详解】解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c.则2134Sa，2234Sb，2334Sc，又222abc，则123SSS，故选 D.【点睛】熟悉等边三角形的面积公式,熟练运用勾股定理.熟记结论:以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.8.某企业因春节放假，二月份产值比一月份下降20%，春节后生产呈现良好上升势头，四月份比一月份增长15%，设三、四月份的月平均增长率为x，则下列方程正确的是()A.2 120%1x1 15%B.
16、21 15%(1 x)1 20%C.2 1 15%1x120%D.2120%(1x)1 15%【答案】D【解析】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率）.【详解】设一月份的产量为a，由题意可得，2a 1 20%(1x)a 1 15%，则2120%(1 x)1 15%，故选 D【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用.9.如图，一条抛物线与x 轴相交于M、N两点（点 M 在点 N 的左侧），其顶点 P 在线段 AB上移动若点A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），点 N 的横坐标的最大值为4，则点 M 的横坐标的最小值为（）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【
17、分析】根据顶点P 在线段 AB 上移动，又知点 A、B的坐标分别为（2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和 B 时的情况，即可判断出M 点横坐标的最小值【详解】根据题意知，点 N 的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点 N 的横坐标最大，此时的 M 点坐标为（2，0），当对称轴过A 点时，点 M 的横坐标最小，此时的 N 点坐标为（1，0），M 点的坐标为（5，0），故点 M 的横坐标的最小值为5故选 C【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于 x 轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变10.如图，已知菱形ABCD 的周长为1
18、6，面积为8 3，E 为 AB 的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP 的最小值为（）A.2 B.23C.4 D.43【答案】B【解析】【详解】解：如图作CE AB 于 E，交 BD 于 P，连接 AC、AP 已知菱形ABCD 的周长为16，面积为83，AB=BC=4，AB?CE=83，CE=23，在 RtBCE 中，BE=224(2 3)=2，BE=EA=2，E 与 E 重合，四边形 ABCD 是菱形，BD 垂直平分AC，A、C 关于 BD 对称，当 P与 P 重合时，PA+P E 的值最小，最小值为CE 的长=23，故选 B11.已知抛物线y ax2+bx+c（a0）与 x 轴交
19、于点A（1，0），与 y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：4a+2b0；1 a23；对于任意实数m，a+b am2+bm总成立；关于x的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个【答案】C【解析】【分析】由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论错误；利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a 可得出a=-3c，再结合抛物线与y 轴交点的位置即可得出-1a-23，结论正确；由抛物线的顶点坐标及a0，可得出 n=a+b+c，且 nax2+bx+c，
20、进而可得出对于任意实数m，a+bam2+bm总成立，结论正确；由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c 与直线y=n 只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=n-1 有两个交点，进而可得出关于x 的方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根，结合正确【详解】：抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，n），-2ba=1，b=-2a，4a+2b=0，结论错误；抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点A（-1，0），a-b+c=3a+c=0，a=-3c又抛物线y=ax2+bx+c 与 y 轴交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），2c
21、3，-1a-23，结论正确；a 0，顶点坐标为（1，n），n=a+b+c，且 nax2+bx+c，对于任意实数m，a+bam2+bm总成立，结论正确；抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（1，n），抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=n 只有一个交点，又a 0，抛物线开口向下，抛物线y=ax2+bx+c 与直线 y=n-1 有两个交点，关于 x 的方程 ax2+bx+c=n-1 有两个不相等的实数根，结合正确故选 C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键12.如图，ABC 中，BC4，P与 A
22、BC 的边或边的延长线相切若P半径为 2，ABC 的面积为 5，则 ABC 的周长为()A.8B.10C.13D.14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的面积公式以及切线长定理即可求出答案【详解】连接PE、PF、PG，AP，由题意可知：PEC PFAPGA90，SPBC12BC?PE12 4 24，由切线长定理可知：SPFC+SPBGSPBC4，S四边形AFPGSABC+SPFC+SPBG+SPBC5+4+4 13，由切线长定理可知：SAPG12S四边形AFPG132，13212 AG?PG，AG 132，由切线长定理可知：CECF，BEBG，ABC 的周长为AC+AB+CE+BE AC+A
23、B+CF+BG AF+AG 2AG 13，故选 C【点睛】本题考查切线长定理，解题的关键是画出辅助线，熟练运用切线长定理，本题属于中等题型二、填空题13.把多项式x325x 分解因式的结果是_【答案】x（x+5）（x5）【解析】分析：首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可详解：x3-25x=x（x2-25）=x（x+5）（x-5）故答案为x（x+5）（x-5）点睛：此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键14.如图，平行四边形ABCD 中，E为 AD 的中点，已知 DEF 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为_【答案】12【解析】【分析】由于四边形AB
24、CD是平行四边形，那么AD BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得 DEF BCF，再根据 E 是 AD 中点，易求出相似比，从而可求 BCF 的面积，再利用 BCF 与 DEF 是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求 DCF 的面积，进而可求?ABCD 的面积【详解】四边形ABCD 是平行四边形，AD BC，AD=BC，DEF BCF，SDEF：SBCF=（DEBC）2，又 E 是 AD 中点，DE=12AD=12BC，DE：BC=DF：BF=1：2，SDEF：SBCF=1：4，SBCF=4，又 DF：BF=1：2，SDCF=2，S?ABCD=2（S D
25、CF+SBCF）=12故答案为12【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出 BCF的面积15.如图，AB 是 O 的直径，AB 13，AC5，则 tanADC _【答案】512【解析】【分析】结合勾股定理，计算BC 的长度，利用圆周角定理，计算结果，即可【详解】解：AB 为O 直径，ACB 90，BC12，tan ADC tanB，故答案为:【点睛】考查勾股定理，考查圆周角定理，关键得出tantanADCB，计算结果，即可，难度中等16.如图，正五边形ABC
26、DE 的边长为2，分别以点 C、D 为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点F，则?BF的长为 _【答案】815【解析】试题解析：连接CF，DF，则CFD 是等边三角形，FCD=60 ，在正五边形ABCDE 中，BCD=108 ，BCF=48，?BF的长=482818015，故答案为81517.已知在平面直角坐标系中有两点A（0，1），B（1，0），动点 P在反比例函数y=2x的图象上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差的绝对值最大时，点P的坐标为 _【答案】（1，2）或（-2，-1）【解析】【详解】分析：由三角形三边关系知|PAPB|AB知直线 AB 与双曲线y=2x的交点即为所求点P，据此
27、先求出直线 AB 解析式，继而联立反比例函数解析式求得点P的坐标详解：如图，设直线 AB 的解析式为y=kx+b，将 A（0，1）、B（-1，0）代入，得：1-0bkb，解得：11kb，直线 AB 的解析式为y=x1，直线 AB 与双曲线y=2x的交点即为所求点P，此时|PAPB|=AB，即线段PA 与线段 PB 之差的绝对值取得最大值，由+12yxyx可得12xy或-2-1xy，点 P的坐标为（1，2）或（-2，-1），点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点：反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，
28、方程组无解，则两者无交点18.如图，已知在Rt ABC 中，ABAC3 2，在 ABC 内作第一个内接正方形DEFG；然后取 GF 的中点P，连接 PD、PE，在 PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点 Q，在 QHI 内作第三个内接正方形 依次进行下去，则第2014 个内接正方形的边长为_【答案】201212【解析】【分析】首先根据勾股定理得出BC 的长，进而利用等腰直角三角形的性质得出DE 的长，再利用锐角三角函数的关系得出12EIPFKIEF，即可得出正方形边长之间的变化规律，得出答案即可【详解】在Rt ABC 中，AB=AC=32，B=C=45，BC=22ABAC6
29、，在 ABC 内作第一个内接正方形DEFG；EF=EC=DG=BD，DE=13BC DE=2，取 GF 的中点 P，连接 PD、PE，在 PDE 内作第二个内接正方形HIKJ；再取线段KJ 的中点 Q，在 QHI内作第三个内接正方形依次进行下去，12EIPFKIEF，EI=12KI=12HI，DH=EI，HI=12DE=(12)2-1 2，则第 n 个内接正方形的边长为：2(12)n-1，则第2014个内接正方形边长为2(12)2014-1=2201312=201212故答案为201212【点睛】此题主要考查了正方形的性质以及数字变化规律和勾股定理等知识，根据已知得出正方形边长的变化规律是解题
30、关键三、解答题19.（1）解方程：x21x1x（2）化简求值：82(2)224xxxxx，其中12x.【答案】(1)x 2;(2)3.【解析】【分析】（1）先去分母，把分式方程化为整式方程，求出x 的值，再把x 的值代入公分母进行检验；（2）先根据分式混合运算的法则把原式化简，再把x 的值代入进行计算即可【详解】（1）去分母得：x22x+2 x2x，解得：x 2，检验：当x2 时，方程左右两边相等，所以 x2是原方程的解；（2）原式24482(2)()222xxxxxxx2(+2)2xx2(2)2xx2（x+2）2x+4，当12x时，原式 2（12）+4 1+43【点睛】本题考查的是分式的化简
31、求值及解分式方程，在解分式方程时要注意验根20.为大力弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿服务精神，传播“奉献他人、提升自我”的志愿服务理念，合肥市某中学利用周末时间开展了“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个志愿服务活动（每人只参加一个活动），九年级某班全班同学都参加了志愿服务，班长为了解志愿服务的情况，收集整理数据后，绘制以下不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）请把折线统计图补充完整；（2）求扇形统计图中，网络文明部分对应的圆心角的度数；（3）小明和小丽参加了志愿服务活动，请用树状图或列表法求出他们参加同一服务活动的概率【答案】（1）该班全部人数48 人
32、，社区服务的人数为24 人，补全折线统计如图所示见解析；（2）网络文明部分对应的圆心角的度数为45；（3）他们参加同一服务活动的概率为14【解析】【分析】（1）根据参加生态环保的人数以及百分比求得总人数；（2）用总人数乘以“社区服务”百分比求得其人数，再补全折线统计图即可.（3）首先根据题意列表，然后由列表求得所有等可能的结果与他们参加同一服务活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：(1)该班全部人数：12 25%48.(2)48 50%24，补全折线统计图如图所示：(3)分别用“1，2，3，4”代表“助老助残、社区服务、生态环保、网络文明”四个服务活动，列表如下：小明小丽1 2
33、 3 4 1(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)则所有等可能的情况有16 种，其中他们参加同一活动的情况有4 种即(1，1)、(2，2)、(3，3)、(4，4)，他们参加同一服务活动的概率为41.164P【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.21.如图，AB是O的直径，AD是O的弦，点F是DA延长线的一点，AC平分FAB交O于点C，过点C作CEDF，垂足为点E（1）求证：CE是O的切线；（2）若1,2AECE，求O的半
34、径【答案】（1）见解析；（2）2.5【解析】【分析】（1）连接 CO，易得 OCA=OAC，由 AC 平分 FAB，得 CAE=OAC，从而得 OCA=CAE，进而即可得 OCFD，即可得到结论；（2）连接 BC，由勾股定理得AC=5，易得 ABC ACE，从而得CAAEABAC，进而即可求解【详解】（1）连接 CO，OA=OC，OCA=OAC，AC 平分 FAB，CAE=OAC，OCA=CAE，OCFD，CEDF，OCCE，CE 是 O 的切线；（2）连接 BC，RtACE 中，AC=2222215AEEC，AB 是 O 的直径，BCA=90 ，BCA=CEA，CAE=CAB，ABC ACE
35、，CAAEABAC，515AB，AB=5，AO=2.5，即 O 的半径为2.5【点睛】本题主要考查圆的切线的判定定理，圆周角定理的推论以及相似三角形的判定和性质定理，掌握添加常见辅助线，构造相似三角形，是解题的关键22.某旅行社推出一条成本价位500 元/人的省内旅游线路，游客人数y（人/月）与旅游报价x（元/人）之间的关系为y=x+1300，已知：旅游主管部门规定该旅游线路报价在800元/人 1200 元/人之间（1）要将该旅游线路每月游客人数控制在200 人以内，求该旅游线路报价的取值范围；（2）求经营这条旅游线路每月所需要的最低成本；（3）当这条旅游线路的旅游报价为多少时，可获得最大利润
36、；最大利润是多少【答案】（1）取值范围为1100 元/人 1200元/人之间；（2）50000；（3）x=900 时，w 最大=160000【解析】【分析】（1）根据题意列不等式求解可；（2）根据报价减去成本可得到函数的解析式，根据一次函数的图像求解即可；（3）根据利润等于人次乘以价格即可得到函数的解析式，然后根据二次函数的最值求解即可【详解】解：（1）由题意得200y时，即1300200 x，解得1100 x即要将该旅游线路每月游客人数控制在200人以内，该旅游线路报价的取值范围为1100元/人至 1200 元/人之间；（2）500zy，1300yx，500(1300)500650000zx
37、x5000，当1200 x时，z 最低，即50000z；（3）利润22(500)1800650000(900)160000wxyxxx当900 x时，160000w最大23.如图，AD是ABCV的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AFBCP，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G（1）若四边形ADCF是菱形，试证明ABCV是直角三角形；（2）求证：2CGAG【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）由菱形定义及AD 是 ABC 的中线知AD DCBD，从而得 DBA DAB，DAC DCA，根据 DBA DAC DAB DCA 180 可得答案；（2）作 DM EG
38、交 AC 于点 M，分别证 DM 是 BCG 的中位线和EG 是 ADM 的中位线得AG GM CM，从而得出答案【详解】解：（1）Q四边形ADCF是菱形，AD是ABCV的中线，ADDCBD，,DBADABDACDCA，180DBADACDABDCAQ，90BACBADDAC，ABCV是直角三角形；（2）过点D作DMEG交AC于点M，ADQ是ABCV的边BC的中线，BDDC，DMEGQ，DM是BCGV的中位线，M是CG的中点，CMMG，DMEGQ，E是AD的中点，EG是ADMV的中位线，G 是AM的中点，AGMG，2CGAG.【点睛】本题主要考查菱形的性质，直角三角形的性质、三角形中位线定理等
39、知识，解题的关键是灵活运用各性质进行推理24.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点 A、C 分别在 x、y轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4，2）点 M 是边 BC 上的一个动点（不与B、C 重合），反比例函数ykx（k0，x0）的图象经过点M 且与边 AB 交于点 N，连接 MN（1）当点 M 是边 BC 的中点时求反比例函数的表达式；求 OMN 的面积；（2）在点 M 的运动过程中，试证明：MBNB是一个定值【答案】（1）4yx；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由矩形的性质及M 是 BC 中点得出M（2，4），据此可得反比例函数解析式；先求出点 N 的坐标，从而得出CM B
40、M2，ANBN1，再根据 SOMNS矩形OABCSOANSCOMSBMN计算可得（2）设 M（a，2），据此知反比例函数解析式为y2ax，求出 N（4，2a），从而得 BM4a，BN22a，再代入计算可得【详解】(1)点 B(4，2)，且四边形OABC 是矩形，OCAB 2，BCOA 4，点 M 是 BC 中点，CM 2，则点 M(2，2)，反比例函数解析式为y4x；当 x4时，y4x1，N(4，1)，则 CM BM 2，AN BN 1，SOMN S矩形OABCS OANS COMS BMN4 212 4 112 2 212 2 1 3；(2)设 M(a，2)，则 k 2a，反比例函数解析式为
41、y2ax，当 x 4时，y2a，N(4，2a)，则 BM 4a，BN 22a，MBNB422aa442aa2【点睛】本题是反比例函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质、割补法求三角形的面积25.如图，已知抛物线y=13x2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，其中点A（0，1），点 B（9，10），AC x轴，点 P是直线 AC 下方抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）过点 P且与 y 轴平行的直线l 与直线 AB、AC 分别交于点E、F，当四边形AECP 的面积最大时，求点P的坐标；（3）当点 P为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q，使得以
42、C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由【答案】(1)抛物线的解析式为y=13x2-2x+1，(2)四边形 AECP 的面积的最大值是814，点 P（92，54）；(3)Q（4,1）或（-3，1）.【解析】【分析】(1)把 点A，B 的 坐 标 代 入 抛 物 线 的 解 析 式 中，求b，c；(2)设P(m，13m2-2m 1)，根 据S四 边 形AECPS AECS APC，把 S四边形AECP用含 m 式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设 Q(t，1)，分别求出点A，B，C，P 的坐标，求出AB，BC，CA；用含 t 的式子表示出P
43、Q，CQ，判断出 BAC PCA45，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.【详解】解：(1)将 A(0，1)，B(9，10)代入函数解析式得：13 819bc10，c1，解得 b-2，c1，所以抛物线的解析式y13x2-2x1；(2)ACx 轴，A(0，1)，13x2-2x11，解得 x16，x20(舍)，即 C 点坐标为(6，1)，点 A(0，1)，点 B(9，10)，直线 AB 的解析式为yx1，设 P(m，13m2-2m1)，E(m，m1)，PEm1-(13m2-2m1)-13m23m.ACPE，AC6，S四边形AECPSAECSAPC12AC?EF12AC?PF 12
44、AC?(EFPF)12AC?EP 12 6(-13m2 3m)-m29m.0m6，当 m92时，四边形 AECP 的面积最大值是814，此时 P(9524，)；(3)y13x2-2x113(x-3)2-2，P(3，-2)，PFyF-yp3，CFxF-xC3，PFCF，PCF45，同理可得 EAF45，PCF EAF，在直线 AC 上存在满足条件的点Q，设 Q(t，1)且 AB9 2，AC6，CP3 2，以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似，当 CPQ ABC 时，CQ:ACCP:AB，(6-t):63 2:9 2，解得 t4，所以 Q(4，1)；当 CQP ABC 时，CQ:ABCP:AC，(6-t):92 3 2:6，解得 t-3，所以 Q(-3，1).综上所述：当点P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上存在点Q，使得以 C，P，Q 为顶点的三角形与ABC相似，Q 点的坐标为(4，1)或(-3，1).【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ 的比例，要分类讨论，以防遗漏