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1、精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习图形的相似全章复习与巩固-知识讲解（提高）【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、掌握黄金分割的定义、性质及应用；3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念；熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性质，并能够运用性质与判定解决有关问题；4、了解位似的概念，做的位似是特殊的相似变换，会利用位似的方法，讲一个图形放大或缩小；5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质，能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、比例线段及黄金分割1
2、.比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如 a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用要点诠释：（1）若 a:b=c:d，则 ad=bc；（d 也叫第四比例项）（2）若 a:b=b:c，则 b2=ac（b 称为 a、c 的比例中项）2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即ABAPAPPB（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则 P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割3.黄金矩形与黄
3、金三角形：黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形.黄金三角形：顶角为 36的等腰三角形，它的底角为72，恰好是顶角的2 倍，人们称这种三角形为黄金三角形黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割要点二、相似图形1相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等.2.相似多边形各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形要点诠释：（1）相似多边形的定义既
4、是判定方法，又是它的性质（2）相似多边形对应边的比称为相似比.要点三、相似三角形1.相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似
5、.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比；（3）相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方.3.相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用（2）相似多边形的周长比等于相似比（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方要点四、图形的位似及投影1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点 O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA =kOA（k0），那么这样的
6、两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.
7、精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用4.平行投影在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图1 所示，在太阳光下，它们的影子一样长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图2 所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.(3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：=.甲物体的高甲物体的影长乙物体的高乙物体的影长利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.5.中心投影在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影.(1)等高的物体垂直地面放置时，如图
8、1 所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.(2)等长的物体平行于地面放置时，如图 2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.【典型例题】类型一、黄金分割1.如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出 BC的中点 E，再折出线段 AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B，因而 EB =EB 类似地，在 AB上折出点B使 AB=AB 这是 B就是 AB的黄金分割点请你证明这个结论精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案与解析】设正方形ABCD的边长为2，E为 BC的
9、中点，BE=1 AE=225ABBE，又 BE=BE=1，AB=AE-BE=5-1，AB=AB =5-1 AB：AB=(5-1):2 点 B是线段AB的黄金分割点【总结升华】本题考查了黄金分割的应用，知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键举一反三【变式】如图，已知ABC中，D是 AC边上一点，A=36，C=72，ADB=108 求证：（1）AD=BD=BC；（2）点 D是线段 AC的黄金分割点【答案】（1）A=36，C=72，ABC=72，ADB=108，ABD=36，ADB、BDC是等腰三角形，AD=BD=BC（2）DBC=A=36，C=C，ABC BDC，BC：AC=CD：BC，精品文档用心
10、整理资料来源于网络仅供免费交流使用BC2=AC?DC，BC=AD，AD2=AC?DC，点 D是线段 AC的黄金分割点类型二、相似三角形2.已知：如图，ABC=CDB=90，AC=a，BC=b，当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】解：AC=a，BC=b，AB=22ab，当 ABC BDC时，BDBCABAC,即22b abBDa.当 ABC CDB时，BDBCCBAC，即2bBDa.【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时，要注意分类讨论.举一反三【变式】如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8,沿直线 MN 对 折，使 A、C重合，直线MN 交
11、 AC于 O.（1）求证：COM CBA；（2）求线段 OM 的长度.精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案】（1）证明：A与 C关于直线 MN对称，ACMN，COM=90，在矩形 ABCD中，B=90，COM=B，又ACB=ACB，COM CBA，（2）在 RtCBA中，AB=6，BC=8，AC=10，OC=5，COM CBA，OCOM=BCAB，OM=154.类型三、相似三角形的综合应用3.（2015?杭州）如图，在ABC 中（BCAC），ACB=90 ，点 D 在 AB 边上，DE AC于点 E（1）若=，AE=2，求 EC 的长；（2）设点 F 在线段 EC 上，点 G
12、在射线 CB 上，以 F，C，G 为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG 交 CD 于点 P问：线段CP 可能是 CFG 的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由【答案与解析】精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用解：（1）ACB=90 ，DEAC，DE BC，AE=2，EC=6；（2）如图 1，若 CFG=ECD，此时线段CP 是CFG 的 FG 边上的中线证明：CFG+CGF=90，ECD+PCG=90，又 CFG=ECD，CGF=PCG，CP=PG，CFG=ECD，CP=FP，PF=PG=CP，线段 CP 是CFG 的 FG 边上的中线；如图 2，若 CFG=EDC，此时线
13、段CP 为CFG 的 FG 边上的高线证明：DEAC，EDC+ECD=90，CFG=EDC，CFG+ECD=90，CPF=90，线段 CP 为CFG 的 FG 边上的高线 如图 3，当 CD 为 ACB 的平分线时，CP 既是 CFG 的 FG 边上的高线又是中线【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念，分类讨论，能全面的思考问题是解决问题的关键精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用4.如图，M为线段 AB的中点，AE与 BD交于点 C，DME AB ，且 DM交AC于 F，ME交 BC于 G（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（
14、2）连结 FG，如果 45，AB 4 2，AF 3，求 FG的长【答案与解析】（1）AMF BGM，DMG DBM，EMF EAM以下证明 AMF BGM AFM DME EAEBMG，ABAMF BGM（2）当 45时，可得AC BC且 AC BC M 为 AB的中点，AM BM 2 2，又AMF BGM，AFBMAMBG，3832222AFBMAMBG，又 45，AB 4 2，AC=BC=4，84433CG，431CF，2222451()33FGCFCG.【总结升华】本题考查了相似三角形知识的综合运用，并且渗透了转化思想5.如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，AD=2，BC=4，点 M
15、是 AD的中点，MBC 是等边三角形（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形（2）动点 P、Q分别在线段BC和 MC上运动，且 MPQ=60 保持不变设PC=x，MQ=y，求 y与 x 的函数关系式精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【答案与解析】（1）MBC是等边三角形60MBMCMBCMCB，M是AD中点，AMMD，ADBC，60AMBMBC，60DMCMCB，AMBDMC，ABDC，梯形ABCD是等腰梯形（2）在等边MBC中，4MBMCBC，60MBCMCB，又60MPQ，120BMPBPMBPMQPC，BMPQPC，BMPCQP，PCCQBMBP，PCxMQy，44BPxQCy，
16、444xyx，2144yxx.【总结升华】利用相似三角形得到的比例式，构建线段关系求得函数关系，关键是能够灵活运用所学知识来解题.举一反三【变式】如图所示，在RtABC中，A=90，AB=8，AC=6 若动点 D从点 B出发，沿线段BA运动到点A为止，运动速度为每秒2 个单位长度过点D作 DE BC交 AC于点 E，设动点 D运动的时间为x 秒，AE的长为 y(1)求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用(2)当 x 为何值时，BDE的面积 S有最大值，最大值为多少?【答案】(1)DE BC，所以 ADE ABC，.又 AB=
17、8，AC=6，即，自变量 x 的取值范围为.(2).所以当时，S有最大值，且最大值为6.类型四、图形的位似6.如图，ABC 中，A、B 两点在 x 轴的上方，点C 的坐标是（1，0）以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作 ABC 的位似图形 ABC，并把 ABC 的边长放大到原来的2 倍 设点 B 的对应点B 的横坐标是2，求点 B 的横坐标【思路点拨】过 B 和 B 向 x 轴引垂线，构造相似比为1：2 的相似三角形，那么利用相似比和所给B 的横坐标即可求得点B 的横坐标【答案与解析】解：过点B、B分别作 BD x 轴于 D，BEx 轴于 E，BDC=BEC=90 ABC 的位似图形是 A
18、BC，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用点 B、C、B在一条直线上，BCD=BCE，BCD BCE，又，又点 B的横坐标是2，点 C 的坐标是（1，0），CE=3，点 B 的横坐标为【总结升华】难点是利用对应点向x 轴引垂线构造相似三角形，关键是利用相似比解决问题类型五、用相似三角形解决问题7.（2014?陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸）小明在 B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图
19、所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7 米；小明站在原地转动180 后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE=9.6 米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2 米根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？【思路点拨】根据题意求出BAD=BCE，然后根据两组角对应相等，两三角形相似求出BAD 和BCE 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可【答案与解析】解：由题意得，BAD=BCE，ABD=CBE=90，BAD BCE，=，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用=，解得 BD=13.6 答：河宽BD 是 13.6 米【总结升华】本题考查了相似三角形的应用，读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是解题的关键，也是本题的难点