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1、专题 竖直平面内的圆周运动第第5 5章章 曲线运动曲线运动16 一月 20231概 述 竖竖直直平平面面内内的的圆圆周周运运动动是是指指圆圆周周运运动动的的圆圆形形轨轨迹迹在在竖竖直直平平面面内内，物物体体所所受受的的合合外外力力除除了了具具有有与与速速度度垂垂直直的的法法向向力力(向向心心力力）以以外外，还还可可能能有有与与速速度度平平行行的的切切向向力力，这这样样，物物体体的的速速度度不不仅仅方方向向变变化化，大大小小也也会会变变化化，所所以以为为变变速速圆圆周周运运动动。在在高高中中阶阶段段，通通常常只只分分析析在在最最高高点点和和最最低低点点这这两两个个特特殊殊位位置置上上的的动动力力
2、学学问问题题，且且常常常常需需要要考考虑虑一一些些临临界界条条件件。常常见见的的模模型型有有 （最高点无支撑）、（最高点无支撑）、杆杆-球模型球模型（最高点有支撑）等。（最高点有支撑）等。16 一月 20232mgO绳绳mgO轨道轨道一、绳一、绳-球模型球模型:常常见见的的几几种种模模型型顶端无支撑顶端无支撑FTFN 如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，绳或轨道对小球只能产生向下的弹力：绳或轨道对小球只能产生向下的弹力：受力分析如右图受力分析如右图：当当F=0时：时：2、小球不能过最高点的条件：小球不能过最高点的条件：（实
3、际上球还没有到最高点（实际上球还没有到最高点时就脱离了轨道）时就脱离了轨道）。1、小球能过最高点的条件：小球能过最高点的条件：（当（当 时，时，绳对球产生绳对球产生向下拉力，轨道对球产生向下的压力）。向下拉力，轨道对球产生向下的压力）。此即小球过最高点时的最小速度此即小球过最高点时的最小速度16 一月 20233二、杆二、杆-球模型球模型:顶端有支撑顶端有支撑 如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，如图所示，当小球在竖直平面内做变速圆周运动过最高点时，杆或管道对小球既能产生向下的拉力，又能产生向上的推力。杆或管道对小球既能产生向下的拉力，又能产生向上的推力。受力分析如右图所示受
4、力分析如右图所示：当当FN=0时：时：1、小球能过最高点的临界条件：小球能过最高点的临界条件：v=0，FN=mg 4、当、当 时，时，FN随随v增大而增大，且增大而增大，且FN0，FN为向下的拉力。为向下的拉力。2、当、当 时，时，FN随随v增大而减少，且增大而减少，且mgFN 0，FN为向上的推力。为向上的推力。3、当、当 时，时，FN=0，杆对球既没有推力也没有拉力。，杆对球既没有推力也没有拉力。mgOFNmgOFN杆杆管道管道常常见见的的几几种种模模型型此即小球过最高点的最小速度此即小球过最高点的最小速度16 一月 20234三、汽车过拱桥模型三、汽车过拱桥模型:顶端有支撑顶端有支撑 如
5、图所示，如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，桥面对汽车只能产生向上的支持力，不能产生向下的拉力。桥面对汽车只能产生向上的支持力，不能产生向下的拉力。受力分析受力分析：当当FN=0时：时：1、汽车、汽车能过最高点的条件：能过最高点的条件：v0，0FNmg 4、当、当 时，汽车将沿拱桥顶端的切面飞出，做平抛运动。时，汽车将沿拱桥顶端的切面飞出，做平抛运动。2、当、当 时，时，FN随随v增大而减少，且增大而减少，且0FN mg，FN 向上。向上。3、当、当 时，时，FN=0，这是汽车在拱桥顶端的临界速度。，这是汽车在拱桥顶端的临界速度。m
6、gFN常常见见的的几几种种模模型型16 一月 2023516 一月 20236 1、判定模判定模型：型：判断所给物理情景是绳判断所给物理情景是绳-球模型还是杆球模型还是杆-球球模型。模型。3、确定状态：确定状态：通常情况下，竖直平面内的圆周运动只分通常情况下，竖直平面内的圆周运动只分析最高点或最低点两个状态。析最高点或最低点两个状态。4、受力分析：受力分析：对物体在最高点（或最低点）时进行受力对物体在最高点（或最低点）时进行受力分析，找出物体做圆周运动的向心力。分析，找出物体做圆周运动的向心力。5、列式求解：列式求解：根据相关定律、定理列方程求解，计算待根据相关定律、定理列方程求解，计算待求量
7、，必要时做出解释说明。求量，必要时做出解释说明。竖直平面内圆周运动的临界问题解题步骤：竖直平面内圆周运动的临界问题解题步骤：2、定定临临界界态态：对对绳绳-球球模模型型来来说说是是能能否否通通过过最最高高点点的的临临界界速速度度（最最小小速速度度），对对杆杆-球球模模型型来来说说过过最最高高点点的的临临界界速速度度（最最小小速速度度）是是0。而而对对于于汽汽车车过过桥桥模模型型在在最最高高点点的的最最大速度是大速度是 。【例例题题1 1】：如如图图所所示示，半半径径为为R R的的光光滑滑半半圆圆球球固固定定在在水水平平面面上上，顶顶部部有有一一小小物物体体A A。今今给给它它一一个个水水平平初
8、初速速度度 ,则物体将（则物体将（）A A、沿球面下滑至、沿球面下滑至M M点点B B、立即离开半球面做平抛运动立即离开半球面做平抛运动C C、沿球面下滑至某一点沿球面下滑至某一点N N，便离开球面做斜下抛运动，便离开球面做斜下抛运动D D、以上说法都不正确、以上说法都不正确典例分析典例分析MmORv0N16 一月 20237 【例题【例题2 2】：】：绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周绳子系着装有水的木桶，在竖直面内做圆周运动，水的质量运动，水的质量m=0.5kg，绳子长度为，绳子长度为L=60cm，求：，求：（1）最高点水不流出的最小速度？）最高点水不流出的最小速度？（2）设水在最高点
9、速度为）设水在最高点速度为V=3m/s，求水对桶底的压力？，求水对桶底的压力？典例分析典例分析16 一月 20238解析：（解析：（1 1）当水恰好不流出时：）当水恰好不流出时：解得：解得：（2 2）水做圆周运动的向心力：）水做圆周运动的向心力：解得：解得：FN=2.5N由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小为2.5N，方向竖直向上。，方向竖直向上。mgFN【例题【例题3 3】：】：(多选）多选）如图所示，长为如图所示，长为l l的轻杆，一端固的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内作
10、圆周运动，关于小球在过最高点时的在竖直平面内作圆周运动，关于小球在过最高点时的速度速度v v，下列叙述正确的是，下列叙述正确的是：（）（）A Av v的最小值为的最小值为 B Bv v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C Cv v由由 值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大值逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D Dv v由由 值逐渐减小，杆对小球的弹力也逐渐减小值逐渐减小，杆对小球的弹力也逐渐减小典例分析典例分析16 一月 20239 【例例4 4】如图所示，质量为如图所示，质量为m m0.5 kg0.5 kg的小球，用长为的小球，用长为L L0.4 m0.4 m的轻绳
11、拴住的轻绳拴住在竖直平面内做圆周运动求：在竖直平面内做圆周运动求：(1)(1)小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为多大？(2)(2)若轻绳能承受的最大张力为若轻绳能承受的最大张力为45 N45 N，求小球的速度不能超过多大？，求小球的速度不能超过多大？典例分析典例分析(1)(1)在最高点对小球受力分析如图：在最高点对小球受力分析如图：mg（2）小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图所示：小球在最低点张力最大，对小球受力分析如图所示：根据牛顿第二定律：根据牛顿第二定律：mgmg F F mgLvm2 smgLv/2=【例例5 5】(多选
12、多选)如图为过山车以及轨道简化模型，轨道半径为如图为过山车以及轨道简化模型，轨道半径为R，过山车过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人假人”，并系好安全带，安全带恰，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是()A.过山车在圆轨道上做匀速圆周运动过山车在圆轨道上做匀速圆周运动 B过山车在圆轨道最高点时的速过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于度应至少等于C过山车在圆轨道最低点时过山车在圆轨道最低点时“假人假人”处于失重状态处于失重状态D若若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对过山车能顺利
13、通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人假人”一定无作用一定无作用力力典例分析典例分析【例例6 6】轻轻杆杆一一端端固固定定有有质质量量为为m1 kg的的小小球球，另另一一端端安安装装在在水水平平轴轴上上，转转轴轴到到小小球球的的距距离离为为50 cm，转转轴轴固固定定在在三三角角形形的的带带电电动动机机(电电动动机机没没画画出出来来)的的支支架架上上，在在电电动动机机作作用用下下，轻轻杆杆在在竖竖直直面面内内做做匀匀速速圆圆周周运运动动，如如图图所所示示若若转转轴轴达达到到某某一一恒恒定定转转速速n时时，在在最最高高点点，杆杆受受到到小小球球的的压压力力为为2 N，重力加速度重力加速度g取取
14、10 m/s2，则，则()A.小小球球运运动动到到最最高高点点时时，小小球球需需要要的的向向心心力力为为12 N B小小球球运运动动到到最最高高点点时时，线线速速度度v1 m/sC小小球球运运动动到到图图示示水水平平位位置置时时，地地面面对对支支架架的的摩摩擦擦力力为为8 ND把把杆杆换换成成轻轻绳绳，同同样样转转速速的的情情况况下下，小球仍能通过图示的最高点小球仍能通过图示的最高点典例分析典例分析16 一月 202313【例例7 7】如图甲所示，轻杆一端固定在如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为半径为R的圆
15、周运动小的圆周运动小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速，小球在最高点的速度大小为度大小为v，其，其FN-v2图象如图乙所示则图象如图乙所示则()A小球的质量为小球的质量为 B当地的重力加速度大小为当地的重力加速度大小为Cv2c时，在最高点杆对小球的弹力方向向上时，在最高点杆对小球的弹力方向向上 Dv22b 时，在最高点杆对小球的弹力大小为时，在最高点杆对小球的弹力大小为2a典例分析典例分析 2、车车过过桥桥模模型型：由由于于拱拱桥桥对对车车只只能能有有支支持持力力，没没有有拉拉力力，故故能能在在拱拱桥桥面面运运动动的的临临界界条条
16、件件是是在在最最高高点点时时支支持持力力为为0，对对应应的的的的临临界界速速度度为为 ，也也即即在在最最高高点点的的最最大大速速度度。小小于于此此速速度度可可以以安安全全通通过过桥桥面面，等等于于或或大大于于此速度车将在最高点被水平抛出，离开拱形桥面做平抛运动。此速度车将在最高点被水平抛出，离开拱形桥面做平抛运动。16 一月 202314课堂小结课堂小结 1、绳绳球模型：球模型：由于绳对球只能有拉力，没有支持力，故恰好做完由于绳对球只能有拉力，没有支持力，故恰好做完整圆周运动的临界条件是在最高点时拉力为整圆周运动的临界条件是在最高点时拉力为0，对应的的临界速度为，对应的的临界速度为 ，也即在最
17、高点的最小速度。小于此速度小球将不能通过最高点。，也即在最高点的最小速度。小于此速度小球将不能通过最高点。3、杆杆球模型：球模型：由于杆对球既能有拉力，也能有支持力，故恰好做由于杆对球既能有拉力，也能有支持力，故恰好做完整圆周运动的临界条件是在最高点时向心力为完整圆周运动的临界条件是在最高点时向心力为0，对应的的临界速度为，对应的的临界速度为 0，也即在最高点的最小速度。当小球在最高点的速度为，也即在最高点的最小速度。当小球在最高点的速度为 时，杆对小时，杆对小球的弹力为球的弹力为0,因此因此 是是最高点最高点杆对小球的弹力是推力还是拉力的杆对小球的弹力是推力还是拉力的临界条件，速度大于临界条件，速度大于 时为向下的拉力，速度小于时为向下的拉力，速度小于 时为向上推力。时为向上推力。16 一月 202315谢谢聆听谢谢聆听!下课下课