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1、中考数学培优专题课件巧用相似三角形中的基本图形 相似三角形中有一些基本图形相似三角形中有一些基本图形,如果能掌握这些基本图形如果能掌握这些基本图形的特征的特征,并把它们从复杂的图形中挖掘出来并把它们从复杂的图形中挖掘出来,或者通过添加辅助或者通过添加辅助线线,构造出相应的基本图形构造出相应的基本图形,问题的解决也就水到渠成问题的解决也就水到渠成.基本图形一平行型相似三角形基本图形一平行型相似三角形【知识点睛知识点睛】如图如图所示所示,在在ABCABC中中,点点D,ED,E分别是分别是AB,ACAB,AC上上(或延长线上或反向延长线上或延长线上或反向延长线上)的点的点,且且DEBC,DEBC,则
2、则ADE ADE ABC.ABC.【培优训练培优训练】1.1.如图如图,已知已知DEDE是是ABCABC的中位线的中位线,则则ADEADE与与ABCABC的面积比为的面积比为()A.12A.12 B.14B.14C.21 D.41C.21 D.41【解析解析】选选B.B.因为因为DEDE是是ABCABC的中位线的中位线,所以所以DEBC,DE=BC,DEBC,DE=BC,所以所以ADEABC.ADEABC.根据相似三角形的面积比等于对应边的比根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方的平方,得得ADEADE与与ABCABC的面积比为的面积比为14.14.2.2.如图，如图，ABCABC是一块锐
3、角三角形的材料，边是一块锐角三角形的材料，边BCBC120 mm120 mm，高，高ADAD80 mm80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BCBC上，其余两个顶点分别在上，其余两个顶点分别在ABAB，ACAC上，这个正方形零件的边长是上，这个正方形零件的边长是 _ mm._ mm.【解析解析】如图所示如图所示.正方形正方形PQMNPQMN的的QMQM边在边在BCBC上，上，PNBCPNBC，APNABCAPNABC，设设EDEDx mmx mm，PNPNMNMNEDEDx mmx mm，解得解得x x48.48.所以这个正方形零件的边长
4、是所以这个正方形零件的边长是48 mm.48 mm.答案：答案：48481.1.如图，如图，ABCDABCD，ADBCADBC，AEAE交交BCBC延长线于延长线于点点E E，交，交DCDC于点于点F F，若，若BCCEBCCE3232，求，求CFFD.CFFD.【解析解析】ABCFABCF，ABEFCEABEFCE，2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，D D是是ABAB的中点，的中点，F F在在BCBC的延长线上，连接的延长线上，连接DFDF交交ACAC于于E.E.求证：求证：【证明证明】如图，过点如图，过点C C作作CGABCGAB交交DFDF于点于点G G，FGCFDBFGCFD
5、B，DD是是ABAB的中点，的中点，BDBDADAD，又又CGABCGAB，EGCEDAEGCEDA，【方法技巧方法技巧】作平行线构造相似三角形作平行线构造相似三角形,这是一个常用的技巧这是一个常用的技巧.通过添加平行线构造出平行线型相似三角形的基本图形通过添加平行线构造出平行线型相似三角形的基本图形,进而进而证明成比例线段或求线段比证明成比例线段或求线段比.基本图形二相交型相似三角形基本图形二相交型相似三角形【知识点睛知识点睛】如图如图,AED=B,AED=B,则则AEDABC;AEDABC;如图如图,ACD=B,ACD=B,则则ACDABC;ACDABC;如图如图,A=D,A=D,则则AO
6、BDOC.AOBDOC.【培优训练培优训练】3.3.如图如图,点点D D是是ABCABC的边的边ABAB上一点上一点,连接连接CD,CD,若若AD=2,BD=4,ACD=B,AD=2,BD=4,ACD=B,则则ACAC的长是的长是.【解析解析】在在ABCABC和和ACDACD中，因为中，因为ACDACDB B，A AA A，所以所以ABCACD.ABCACD.所以所以即即ACAC2 2ADADABABADAD(AD(ADBD)BD)262612.12.所以所以ACAC答案：答案：1.1.如图如图,已知已知BD,CEBD,CE是是ABCABC的高的高,求证求证:AED=:AED=ACB.ACB.
7、【证明证明】ADBADBAECAEC9090，A AA A，ABDACE.ABDACE.又又A AA A，ADEABC.ADEABC.AEDAEDACB.ACB.2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，ABAB8 cm8 cm，BCBC16 cm16 cm，点点P P从点从点A A出发沿出发沿ABAB边向点边向点B B以以2 cm/s2 cm/s的速度移的速度移动，点动，点Q Q从点从点B B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以4 cm/s4 cm/s的速的速度移动度移动(有一点到达后即停止移动有一点到达后即停止移动)，如果，如果P P，Q Q同时出发，经过同时出发，经过几秒后几秒后
8、BPQBPQ与与ABCABC相似？相似？【解析解析】设经过设经过t t秒后秒后BPQBPQ与与ABCABC相似相似.BB为公共角，为公共角，要使要使BPQBPQ与与ABCABC相似，只需相似，只需或或 即即 解得解得t t0.80.8或或t t2(2(均均小于小于4).4).经过经过0.8 s0.8 s或或2 s2 s后，后，BPQBPQ与与ABCABC相似相似.【方法技巧方法技巧】解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状解动点问题要抓住动点运动过程中的某一静止状态，此时两个三角形夹态，此时两个三角形夹B B的两边对应成比例，由此列出求时的两边对应成比例，由此列出求时间间t t的比例式是解题
9、的关键的比例式是解题的关键.基本图形三旋转型相似三角形基本图形三旋转型相似三角形【知识点睛知识点睛】如图如图,B=D(,B=D(或或C=E),C=E),1=2,1=2,则则ABCADE.ABCADE.【培优训练培优训练】4.4.如图所示如图所示,DAB=CAE,DAB=CAE,请你再补充一个条件请你再补充一个条件,使得使得ABCADE.ABCADE.【解析解析】根据相似三角形的判定定理即可得出答案根据相似三角形的判定定理即可得出答案.答案：答案：D DB(B(答案不唯一答案不唯一)5.5.如图如图,ABC,ABC和和DEFDEF都是正三角形都是正三角形,点点D,ED,E分别在分别在AB,BCA
10、B,BC上上,请请找出一个与找出一个与DBEDBE相似的三角形相似的三角形,并说明理由并说明理由.【解析解析】GADGAD或或ECHECH或或GFH.GFH.GADDBEGADDBE的理由的理由:ABC,DEFABC,DEF是等边三角形是等边三角形,A=B=FDE=60,A=B=FDE=60,BDE+GDA=120.BDE+GDA=120.又又BDE+DEB=120,BDE+DEB=120,GDA=DEB,GDA=DEB,GADDBE.GADDBE.如图，点如图，点E E是四边形是四边形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD上的一点，且上的一点，且BACBACBDCBDCDAE.DAE.(1
11、)BEAD(1)BEADCDAECDAE成立吗？说明理由成立吗？说明理由.(2)(2)根据图形特点，猜想根据图形特点，猜想 可能等于哪两条线段的比可能等于哪两条线段的比(只需写只需写出图中已有线段的一组比即可出图中已有线段的一组比即可)？并说明你猜想的正确性？并说明你猜想的正确性.【解题指南解题指南】【解析解析】(1)BAC(1)BACDAEDAE，BACBACEACEACDAEDAEEACEAC，即，即DACDACBAE.BAE.AEBAEBDAEDAEADEADE，ADCADCBDCBDCADEADE，DAEDAEBDCBDC，AEBAEBADC.ABEACDADC.ABEACD，BEBE
12、ADADCDCDAE.AE.【方法技巧方法技巧】由等积式由等积式BEBEADADCDCDAEAE得到比例式得到比例式对于这个比例式，考虑比的前项对于这个比例式，考虑比的前项BE,AEBE,AE中中B,EB,E，A A所构成的所构成的ABEABE与比的后项与比的后项CD,ADCD,AD中中C,D,AC,D,A所构成的所构成的ACDACD相似，这种寻找相似相似，这种寻找相似三角形的方法通常称为三角形的方法通常称为“三点定相似三角形法三点定相似三角形法”.掌握这种思掌握这种思考问题的方法，解决有关比例线段或等积式问题十分有效考问题的方法，解决有关比例线段或等积式问题十分有效.基本图形四垂直型相似三角
13、形基本图形四垂直型相似三角形【知识点睛知识点睛】如图如图所示所示,在在RtABCRtABC中中,CD,CD是斜边是斜边ABAB上的高上的高,则则RtABCRtACDRtCBD.RtABCRtACDRtCBD.如图如图所示所示,BAAD,EDAD,BCCE,BAAD,EDAD,BCCE,则则RtABCRtDCE.RtABCRtDCE.【培优训练培优训练】6.6.如图如图,小明在小明在A A时测得某树的影长为时测得某树的影长为2m,2m,在在B B时又测得该树的影时又测得该树的影长为长为8m.8m.若两次日照的光线互相垂直若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为则树的高度为m.m.【解析解析】如图如
14、图,在在RtCDERtCDE中中,EFCD,EFCD,则则CEFEDF,CEFEDF,EFEF2 2=CF=CFDF=28=16,EF=4 m.DF=28=16,EF=4 m.答案答案:4 41.1.请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四请设计三种不同的分法，将如图所示的直角三角形分割成四个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似个小三角形，使得每个小三角形与原三角形都相似(要求画出要求画出分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，分割线段，标出能够说明分法的必要记号，不要求写出画法，不要求说明理由不要求说明理由).).【解析解析】根据直角三角形的性质及直角三角形相
15、似的判定方法根据直角三角形的性质及直角三角形相似的判定方法,可以得到如图所示的画法可以得到如图所示的画法:【方法技巧方法技巧】分割出相似的直角三角形分割出相似的直角三角形,关键在于抓住直角相关键在于抓住直角相等和正确地分割直角等和正确地分割直角,得到相似的直角三角形得到相似的直角三角形.2.2.如图如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=12cm,BC=8cm.,AB=12cm,BC=8cm.点点E,F,GE,F,G分别从点分别从点A,B,CA,B,C三点同时出发三点同时出发,沿沿矩形的边按逆时针方向移动矩形的边按逆时针方向移动.点点E,E,点点G G的的速度均为速度均为2cm/s,2c
16、m/s,点点F F的速度为的速度为4cm/s.4cm/s.当点当点F F追上点追上点G(G(即点即点F F与点与点G G重合重合)时时,三个点随之停止移动三个点随之停止移动.若点若点F F在在边边BCBC上移动上移动,移动时间移动时间t t为何值时为何值时,以点以点E,B,FE,B,F为顶点的三角形与为顶点的三角形与以以F,C,GF,C,G为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似?【解析解析】当点当点F F在矩形的边在矩形的边BCBC上移动时，上移动时，0t2.0t2.在在EBFEBF和和GCFGCF中，中，B BC C90.90.又又t=t=满足满足0t20t2，所以当所以当t=t=时，时，EBFFCG.EBFFCG.又又t=t=满足满足0t20t2，所以当，所以当t=t=时，时，EBFGCF.EBFGCF.综上所述，当综上所述，当t t 或或t t 时，以点时，以点E E，B B，F F为顶点的三角形为顶点的三角形与以点与以点F F，C C，G G为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似.