探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课件.ppt

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1、主讲:王斌梅单位:海宁一中为什么能用祖暅原理为什么能用祖暅原理 求球的体积求球的体积 知识背景知识背景早在早在1000多年前,数多年前,数学家祖暅就能用巧妙学家祖暅就能用巧妙的方法计算出球体体的方法计算出球体体积积.为了纪念祖暅的为了纪念祖暅的贡献,我们把这种方贡献,我们把这种方法成为法成为“祖暅原理祖暅原理”.提出问题提出问题什么是祖暅原理呢?什么是祖暅原理呢?如何来用它求球的体积呢?如何来用它求球的体积呢?实验分析实验分析取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上,然后用手取一叠裁切相同的纸张堆放在水平桌面上,然后用手推一下以改变其形状推一下以改变其形状思考:推斜以后体积变化了吗?思考:推斜以后

2、体积变化了吗?高度有没有改变?高度有没有改变?每张纸的面积有没有改变?每张纸的面积有没有改变?祖暅原理祖暅原理祖暅在长期实践的基础上,提出了下面的体积计算原理:祖暅在长期实践的基础上,提出了下面的体积计算原理:幂势既同,幂势既同,则积不容异则积不容异 祖暅原理祖暅原理两个夹在平行平面间的几何体,被平行于两平面的任两个夹在平行平面间的几何体,被平行于两平面的任意平面所截,若截面积总相等,则这两个几何体的体意平面所截,若截面积总相等,则这两个几何体的体积必相等积必相等 幂势既同,则积不容异幂势既同,则积不容异 祖暅原理祖暅原理 在西方,球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家在西方,球体的体积计算方

3、法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现,但阿基米德发现,但“祖暅原理祖暅原理”是在独立研究的基础上得出是在独立研究的基础上得出的,且比阿基米德的内容要丰富,涉及的问题要复杂。二的,且比阿基米德的内容要丰富,涉及的问题要复杂。二者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。何体的体积上面。在西方,直到在西方,直到17世纪,才由意大利数学家卡瓦列里世纪,才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现。于发现。于1635年出版的年出版的连续不可连续不可分几何分几何中,提出了等积原理,所以西方人把它称之为中,

4、提出了等积原理,所以西方人把它称之为卡瓦列里原理卡瓦列里原理。其实,他的发现要比我国的祖暅晚。其实,他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。多年。柱的体积柱的体积1.1.这三个柱体等高,所以可夹在两个平行平面之间;这三个柱体等高,所以可夹在两个平行平面之间;2.2.三个柱体被平行于两平面的任意平面所截;三个柱体被平行于两平面的任意平面所截;3.3.三个截面的面积总相等三个截面的面积总相等 柱的体积柱的体积定理定理 柱体的体积等于它的底面积柱体的体积等于它的底面积S和高和高h的积的积V=S h 锥的体积锥的体积如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥?如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥?如图,我

5、们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱如图,我们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱锥。三棱锥如果以三角形锥。三棱锥如果以三角形ABC为底面。这说明三棱锥的为底面。这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。锥的体积锥的体积 事实上,对于一个任意的锥体,设它的底面积为事实上,对于一个任意的锥体,设它的底面积为S,高为,高为h,那么锥体的体积等于三分之一的底乘高,那么锥体的体积等于三分之一的底乘高,即即 球的体积球的体积我们不妨研究半球(半径为我们不妨研究半球(半径为R)的体积,用平行于底面且与底面)的体积,用平行于底面且与底面的距离为的距离为l 的

6、平面截半球,所得的圆面半径为的平面截半球,所得的圆面半径为r,.球的体积球的体积我我们们取取一一个个底底面面半半径径和和高高都都为为R的的圆圆柱柱,从从圆圆柱柱中中间间挖挖去去一一个个圆圆锥锥(圆圆锥锥的的顶顶点点为为圆圆柱柱下下底底面面的的圆圆心心,底底面面为为圆圆柱柱的上底面)的上底面).球的体积球的体积圆环面面积圆环面面积 ,故故圆面的面积圆面的面积 根据祖暅原理,这两个几何体体积相等根据祖暅原理,这两个几何体体积相等.即即 练习练习1.1.判断:判断:(1 1)底面积相等高相等的两个几何体体积相等)底面积相等高相等的两个几何体体积相等.()(2 2)体积相等的两个几何体大小形状一定相同

7、)体积相等的两个几何体大小形状一定相同.()(3 3)大小形状相同的两个几何体体积一定相等)大小形状相同的两个几何体体积一定相等.()2.2.计算如图半球在高度计算如图半球在高度h h处的截面面积处的截面面积RRh 祖暅原理运用祖暅原理运用 球的体积的推导在中学教材中是构造性证球的体积的推导在中学教材中是构造性证明的典范,也是我国古代数学的杰出成就之一。明的典范,也是我国古代数学的杰出成就之一。在中学教材中对其有详细的推导过程,但如果在中学教材中对其有详细的推导过程,但如果我们只停留在球的体积推导上面,那么这种构我们只停留在球的体积推导上面,那么这种构造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发造

8、性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发挥。所以请思考如下问题:挥。所以请思考如下问题:祖暅原理运用祖暅原理运用球是圆的旋转体,而椭圆、双曲线、球是圆的旋转体,而椭圆、双曲线、抛物线与圆同属于圆锥曲线,那么椭抛物线与圆同属于圆锥曲线,那么椭圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转所得到的几何体,体积又如何求呢?所得到的几何体,体积又如何求呢?我们能不能将球的体积的推导方法我们能不能将球的体积的推导方法迁移到旋转椭球体,旋转双曲体和迁移到旋转椭球体,旋转双曲体和旋转抛物体的求法中去?旋转抛物体的求法中去?祖暅原理运用祖暅原理运用椭球的体积椭球的体积将椭圆将椭圆 绕绕y轴旋转

9、一周所得到的几何体称之轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢?为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢?分析:分析:椭圆和圆属于圆锥曲线,它们是类似图形,那么椭圆和圆属于圆锥曲线,它们是类似图形,那么类似图形是否也有类似的推导方法呢?类似图形是否也有类似的推导方法呢?下面我们尝试一下如何构建几何模型。下面我们尝试一下如何构建几何模型。祖暅原理运用祖暅原理运用 取一个底面圆半径为取一个底面圆半径为a高为高为b的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱的圆柱,从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,把所得的几何体和半椭上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥,

10、把所得的几何体和半椭球体放在同一平面球体放在同一平面上,上,那么这两个几何体也就夹在两个平行平面那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了,现在用平行于平面之间了,现在用平行于平面的任意平面的任意平面去截这两个几何体,则截去截这两个几何体,则截面分别是圆面和圆环面。面分别是圆面和圆环面。祖暅原理运用祖暅原理运用 祖暅原理运用祖暅原理运用小结:小结:上述推导方法其实是球的体积推导方法的上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演重演”。这实。这实质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下,质上是一种同化性迁移。它是在不改变原有知识结构的前提下,直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中

11、去,从而直接完直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去,从而直接完成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性,从而成迁移。在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性,从而在实质认同的基础上实现本质类化。在实质认同的基础上实现本质类化。祖暅原理运用祖暅原理运用旋转抛物体的体积旋转抛物体的体积已知抛物线已知抛物线 (p0)。以。以 y 轴为绕转轴将抛物线旋转一周,轴为绕转轴将抛物线旋转一周,得到一旋转抛物面,设得到一旋转抛物面,设 x 轴绕轴绕 y 轴旋转所得的平面为轴旋转所得的平面为,为平行于为平行于且且到到的距离为的距离为 h 的平面,求平面的平面,求平面与旋转抛物面所围成的几何体

12、体积。与旋转抛物面所围成的几何体体积。分析:分析:在前面我们通过本质类化的方法,很容易地将问题解决了,在前面我们通过本质类化的方法,很容易地将问题解决了,在构造模型时,在构造模型时,我们利用了两个基本的几何体我们利用了两个基本的几何体圆锥和圆柱。圆锥和圆柱。而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体,是否也可利而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体,是否也可利用这两个基本图形来构造新的模型呢?用这两个基本图形来构造新的模型呢?祖暅原理运用祖暅原理运用模型的构造:模型的构造:以旋转抛物体的上底面为底面作一高为以旋转抛物体的上底面为底面作一高为 h 的的圆柱体,然后将旋转抛物体取出,如

13、图所示,置于平面是圆柱体,然后将旋转抛物体取出,如图所示,置于平面是内。现用一平行于平面内。现用一平行于平面且距且距的距离为的距离为 h1的平面去截这个的平面去截这个几何体,则截面分别为一圆环和圆。几何体,则截面分别为一圆环和圆。祖暅原理运用祖暅原理运用 祖暅原理运用祖暅原理运用旋转单叶双曲面的体积旋转单叶双曲面的体积将双曲线将双曲线 绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单叶双曲面,叶双曲面,如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为,平面,平面是一个平行于是一个平行于且距且距的距离为的距离为 h 的平面,求的平面

14、,求、和旋转单叶双曲面和旋转单叶双曲面所围成的几何体的体积。所围成的几何体的体积。分析:分析:如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体,再如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体,再挖出一个圆锥体,已不再凑效,那么我们可考虑一下双曲线有挖出一个圆锥体,已不再凑效,那么我们可考虑一下双曲线有什么特殊的性质?什么特殊的性质?祖暅原理运用祖暅原理运用 双曲线有两条渐近线,双曲线有两条渐近线,而椭圆与抛物线则没有。如而椭圆与抛物线则没有。如果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周,果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周,那么在那么在与与之间也就形成了一个圆锥体,这正是我们

15、所需之间也就形成了一个圆锥体,这正是我们所需的几何图模型。的几何图模型。祖暅原理运用祖暅原理运用 祖暅原理运用祖暅原理运用评注:评注:对于此问题的解决,我对于此问题的解决,我们没有去构造两个几何体使它们没有去构造两个几何体使它们的体积相等,而是运用了割们的体积相等,而是运用了割补思想,创造性应用了祖暅原补思想,创造性应用了祖暅原理。在旋转单叶双曲面问题中,理。在旋转单叶双曲面问题中,我们将基本经验(圆柱体中挖我们将基本经验(圆柱体中挖出一个几何体)进行了调整,出一个几何体)进行了调整,将基本要素:所求几何体、圆将基本要素:所求几何体、圆锥体、圆柱体等进行了重组,锥体、圆柱体等进行了重组,扩展了基本原理的适应范围,扩展了基本原理的适应范围,体现了创造性思维。体现了创造性思维。

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