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1、 第一章第一章第一章第一章计数原理章末小结计数原理章末小结计数原理章末小结计数原理章末小结 计计数数原原理理 1 1两个计数原理两个计数原理 (1)(1)应用分类加法计数原理，应准确进行应用分类加法计数原理，应准确进行“分类分类”，明确分类的标准：每一种，明确分类的标准：每一种方法必属于某一类方法必属于某一类(不漏不漏)，任何不同类的两种方法是不同的方法，任何不同类的两种方法是不同的方法(不重不重)，每一类，每一类中的每一种方法都能独立地中的每一种方法都能独立地“完成这件事情完成这件事情”(2)(2)应用分步乘法计数原理，应准确理解应用分步乘法计数原理，应准确理解“分步分步”的含义，完成这件事
2、情，需的含义，完成这件事情，需要分成若干步骤，要分成若干步骤，“步步”与与“步步”之间是连续的之间是连续的,不间断的不间断的,缺一不可，但也不能缺一不可，但也不能重复、交叉。重复、交叉。只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成只有每个步骤都完成了，这件事情才能完成（3)3)两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面的问题：两个计数原理的主要作用是计数，应用时要考虑以下三方面的问题：要要做什么事；做什么事；如何去做这件事；如何去做这件事；怎样才算把这件事完成了并注意计数原则：怎样才算把这件事完成了并注意计数原则：分类用加法，分步用乘法分类用加法，分步用乘法2 2排列排列 排列定义特别强调
3、了按排列定义特别强调了按“一定顺序一定顺序”排成一列，就是说，取出的元排成一列，就是说，取出的元素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列素不同一定是不相同的排列，即使元素相同，顺序不同，也不是相同的排列在具体问题中先在具体问题中先要要分清是分清是“有序有序”还是还是“无序无序”的问题的问题 3 3组合组合 (1)(1)组合的定义中包含两个基本内容：一是取出组合的定义中包含两个基本内容：一是取出“元素元素”，二是，二是“并成一组并成一组”，即表示与顺序无关即表示与顺序无关 (2)(2)只有只有两个组合中的元素不完全相同两个组合中的元素不完全相同才才是不同的组合是不同的组
4、合 4 4解决排列组合问题的关键是分清问题是否与解决排列组合问题的关键是分清问题是否与“顺序顺序”有关，与顺序有关有关，与顺序有关是排列问题，与顺序无关是组合问题。是排列问题，与顺序无关是组合问题。5 5解决排列组合问题常用的策略解决排列组合问题常用的策略 1 1）特殊元素）特殊元素,特殊位置优先安排策略特殊位置优先安排策略;2;2）正难则反间接处理的策略；）正难则反间接处理的策略；3 3）相）相邻问题捆绑处理的策略邻问题捆绑处理的策略;4;4）不相邻问题插空处理的策略）不相邻问题插空处理的策略;5;5）定序问题、平均分）定序问题、平均分组问题除法处理的策略组问题除法处理的策略;(3)(3)二
5、项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论二项式及其展开式的实质是一个恒等式，无论x x取什么值，左、右两边取什么值，左、右两边代数式的值总对应相等通常利用这一点，分析代数式的值总对应相等通常利用这一点，分析x x取何值时，展开式等于所求取何值时，展开式等于所求式，再将此式，再将此x x值代入左侧的二项式，就可以得出结果，这种处理方法叫做值代入左侧的二项式，就可以得出结果，这种处理方法叫做赋值赋值法法 (4)(4)解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式解决与二项展开式的项有关的问题时，通常利用通项公式T Tr r1 1C Ca an nr rb br r(r r0,1,20,1,2，n
6、 n)因此，因此，掌通项公式是解决问题的关键。掌通项公式是解决问题的关键。例例2.2.设椭圆设椭圆 的焦点在轴上，的焦点在轴上，a1a1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，77，b1b1，2 2，3 3，4,5,4,5,则这样的椭圆共有（则这样的椭圆共有（）个）个.A.35 B.25 C.21 D.20A.35 B.25 C.21 D.20解析：解析：a a、b b的一种取法对应一个焦点在轴上的椭圆方程，当的一种取法对应一个焦点在轴上的椭圆方程，当a a取取2 2时，时，b b只能取只能取1 1，有，有1 1种取法；当种取法；当a a取取3 3时，时，b b只能只能1 1，2 2中取中取
7、1 1个，有个，有2 2种取法；当种取法；当a a取取4 4时，时，b b只只能能1 1，2 2，3 3中取中取1 1个，有个，有3 3种取法；当种取法；当a a取取5 5时，时，b b只能只能1 1，2 2，3 3，4 4中取中取1 1个，有个，有4 4种取法；当种取法；当a a取取6 6时，时，b b只能只能1 1，2 2，3 3，4 4，5 5中取中取1 1个，有个，有5 5种取法；当种取法；当a a取取7 7时，时，b b只能只能1 1，2 2，3 3，4 4，5 5中取中取1 1个，有个，有5 5种取法；根据分类计数原理，共有种取法；根据分类计数原理，共有1+2+3+4+5+5=20
8、1+2+3+4+5+5=20种取法，即种取法，即2020个满足条件的椭圆，故选个满足条件的椭圆，故选D.D.1 1甲、乙、丙甲、乙、丙3 3人站到共有人站到共有7 7级的台阶上，若每级台阶最多级的台阶上，若每级台阶最多 站站2 2人，同一级台阶人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同站法的种数是上的人不区分站的位置，则不同站法的种数是_(_(用数字作答用数字作答)解析：解析：正面考虑，问题较复杂，不易解决，若从反面考虑，即先不考虑正面考虑，问题较复杂，不易解决，若从反面考虑，即先不考虑“每每级台阶最多站级台阶最多站2 2人人”的情况因为甲、乙、丙的情况因为甲、乙、丙3 3人站这人站这7 7级
9、台阶，每人都有级台阶，每人都有7 7种种不同的站法，因此共有不同的站法，因此共有7 73 3种不同的站法，而种不同的站法，而3 3人同站在一级台阶的站法有人同站在一级台阶的站法有7 7种，种，是不符合题意的是不符合题意的所以满足条件的不同站法的种数是所以满足条件的不同站法的种数是7 73 37 7336.336.答案答案3362 2设集合设集合I I1,2,3,4,51,2,3,4,5，选择，选择I I的两个非空子集的两个非空子集A A和和B B，要使，要使B B中最小的数中最小的数大于大于A A中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？中最大的数，则不同的选择方法共有多少种？解：解：当当A A
10、11时，时，B B为为2,3,4,52,3,4,5的非空子集即可，有的非空子集即可，有1515个当个当A A中最大数中最大数为为2(2(有有2 2个个)时，则时，则B B有有7 7个当个当A A中的最大数为中的最大数为3(3(有有4 4个个)时，则时，则B B有有3 3个；当个；当A A中最大数为中最大数为4(4(有有8 8个个)时，时，B B55，故共有，故共有15152 27 74 43 38 849(49(种种)不同的选择方法不同的选择方法例例3 3从从1,3,5,71,3,5,7中任取中任取2 2个数字，从个数字，从0,2,4,6,80,2,4,6,8中任取中任取2 2个数字，组个数字
11、，组 成没有重复数成没有重复数字的四位数，其中能被字的四位数，其中能被5 5整除的四位数共有整除的四位数共有_个个(用数字作答用数字作答)答案：答案：300解析：解析：符合条件的四位数的个位必须是符合条件的四位数的个位必须是0 0或或5 5，另外另外0 0不能排在首位，不能排在首位，因此因此分为三类：分为三类：选选0 0不选不选5 5，有有 (个个)；选选5 5不选不选0 0，有，有 (个个)；0 0和和5 5都选，都选，(个个)由分类加法计数原理，所求四由分类加法计数原理，所求四位数共有位数共有7272108108120120300(300(个个)例例4 4 由由1 1、2 2、3 3、4
12、4、5 5五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为列，则首项为1234512345，第，第2 2项项1235412354，直到末项直到末项(第第120120项项)是是54 321.54 321.问：问：(1)43 251 (1)43 251是第几项？是第几项？(2)(2)第第9393项是怎样的一个五位数？项是怎样的一个五位数？3 3.五位老师和五名学生站成一排：五位老师和五名学生站成一排：(1)(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法；五名学生必须排在一起共有多少种排法；(2)(2)五名学生不能相邻共有多少种排法；五名学生不能相邻共有
13、多少种排法；(3)(3)老师和学生相间隔共有多少种排法老师和学生相间隔共有多少种排法 解解(1)(1)先将五名学生先将五名学生“捆绑捆绑”在一起看作一个与五位老师排列有在一起看作一个与五位老师排列有 种排法，五名学生再内部全排列有种排法，五名学生再内部全排列有 种，故共有种，故共有 86 40086 400种排法种排法4 4，一段楼梯共有，一段楼梯共有1717个台阶，某人一步可以上一个或两个台阶，个台阶，某人一步可以上一个或两个台阶，1111步走完，步走完，共有多少种不同的走法？共有多少种不同的走法？解：解：1111步走完，则需用步走完，则需用5 5步走一个台阶，步走一个台阶，6 6步走两个台
14、阶。问题等价于在步走两个台阶。问题等价于在1111个位置填入个位置填入5 5个个1 1（一步）（一步）6 6个个2 2（两步）有多少填法的问题，所以有（两步）有多少填法的问题，所以有5 5 5 5马路上有编号为马路上有编号为马路上有编号为马路上有编号为1 1 1 1，2 2 2 2，3 3 3 3，10101010的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，的十盏路灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中可以把其中可以把其中可以把其中3 3 3 3盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不盏灯关掉，但不可以同时关掉相
15、邻的两盏或三盏，在两端的灯都不盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不盏灯关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？能关掉的情况下，有多少种不同的关灯方法？解：（解：（解：（解：（插空法插空法插空法插空法）本题等价于在）本题等价于在）本题等价于在）本题等价于在7 7 7 7只亮着的路灯之间的只亮着的路灯之间的只亮着的路灯之间的只亮着的路灯之间的6 6 6 6个空档中插入个空档中插入个空档中插入个空档中插入3 3 3 3只熄掉的灯，只熄掉的灯，只熄
16、掉的灯，只熄掉的灯，故所求方法总数为故所求方法总数为故所求方法总数为故所求方法总数为 种方法种方法种方法种方法6 6(2012(2012四川高考四川高考)方程方程ayayb b2 2x x2 2c c中的中的a a，b b，c c 3 3，2,0,1,2,32,0,1,2,3，且，且a a，b b，c c互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()A A6060条条 B B6262条条C C7171条条 D D8080条条答案：答案：B7 7(1)(1)一条长椅上有一条长椅上有9 9个座位，个座位，3 3个人坐，若相邻个人
17、坐，若相邻2 2人之间至少有人之间至少有 2 2个空椅子，共有几个空椅子，共有几种不同的坐法？种不同的坐法？(2)(2)一条长椅上有一条长椅上有7 7个座位，个座位，4 4个人坐，要求个人坐，要求3 3个空位中，恰有个空位中，恰有2 2个空位相邻，共个空位相邻，共有多少种不同的坐法？有多少种不同的坐法？答案：答案：D 如图在如图在“杨辉三角杨辉三角”中，斜线中，斜线ABAB的上方，的上方，从从1 1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1 1，2 2，3 3，3 3，6 6，4 4，1010，5 5，记其前，记其前n n项项和为和为S Sn n，求，求S S1
18、919的值的值【例例6】(4)(4)令令x x1 1，得，得a a6 6a a5 5a a4 4a a3 3a a2 2a a1 1a a0 02 26 664.64.令令x x1 1，得，得a a6 6a a5 5a a4 4a a3 3a a2 2a a1 1a a0 0(4)4)6 64 096.4 096.两式相加，得两式相加，得2(2(a a6 6a a4 4a a2 2a a0 0)4 1604 160，所以所以a a6 6a a4 4a a2 2a a0 02 080.2 080.答案答案(1)C(1)C(2)B(2)B(3)B(3)B(4)2 080(4)2 080答案：答案：B1 10 0在在(1(13 3x x)1212的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)各项二项式系数之和；各项二项式系数之和；(2)(2)奇数项二项式系数和；奇数项二项式系数和；(3)(3)偶数项二项式系数和；偶数项二项式系数和；(4)(4)各项系数和；各项系数和；(5)(5)各项系数绝对值和；各项系数绝对值和；(6)(6)奇数项系数和奇数项系数和，偶数项系数和偶数项系数和分析分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为因为 由此分析求解由此分析求解两式相加两式相加倒序相加法倒序相加法