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1、第一章第一章 三角函数三角函数高中数学高中数学 必修必修四四1.4 三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质高中数学高中数学 必修必修四四内容提要内容提要1.4.3 正切函数的图像与性质1.4.2 正余弦函数的性质1.4.4 高考真题演练1.4.1 正余弦函数的函数1.4.1 正余弦函数的图像正余弦函数的图像高中数学高中数学 必修必修四四正弦函数的图像正弦函数的图像y=sinx x 0,2 x sinx01010O1yx-1五点法x6yo-12345-2-3-41正弦曲线正弦曲线y=sinx x 0,2 y=sinx x R余弦函数的图像余弦函数的图像y=cosx x 0,2 x sinx10
2、101O1yx-1五点法x6yo-12345-2-3-41正弦曲线正弦曲线y=cosx x 0,2 y=cosx x Rx6yo-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-41y=sinx x Ry=cosx x R余弦函数余弦函数的图象的图象 正弦函数正弦函数的图象的图象 y=cosx=sin(x+),xR形状完全形状完全一样一样只是只是位置不同位置不同例例1 （1）画出）画出函数函数 y=1+sinx，x 0,2 的简图：的简图：O1yx-1y=sinx，x 0,2 y=1+sinx，x 0,2 例例1 （2）画画出出函数函数 y=cosx，x 0,2 的简图的简图yxO1-1
3、y=cosx，x 0,2 y=cosx，x 0,2 练习练习1 1 作函数作函数的简图的简图.O1yx-1y=2练习练习1 1 作函数作函数的简图的简图.O1yx-1y=2练习练习2 2 作作下列下列函数函数的简图的简图.y=|sinx|y=sin|x|O1yx-1练习练习2 2 作作下列下列函数函数的简图的简图.y=|sinx|y=sin|x|O1yx-1小小 结结1.三角函数是周期函数三角函数是周期函数2.用用“五点法五点法”画正余弦函数图像画正余弦函数图像1.4.2 正余弦函数的性质正余弦函数的性质高中数学高中数学 必修必修四四函数的周期性函数的周期性定义定义：对于函数：对于函数 f(x
4、)，如果存在一个非零如果存在一个非零常数常数T，使，使得当得当x取取定义域内的每一个值时，都有定义域内的每一个值时，都有 f(x+T)=f(x)那么函数那么函数 f(x)就就叫做周期函数，非零叫做周期函数，非零常数常数 T 就就叫做这个函数叫做这个函数的周期的周期.f(x+T)=f(x)f(x+2T)=f(x)f(x-T)=f(x)最小正周期最小正周期:如果在周期函数如果在周期函数 的所有周期中存在一个的所有周期中存在一个 最小的正数最小的正数,则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做 的的最小正周期最小正周期.函数的周期性函数的周期性f(x+T)=f(x)f(x+2T)=f(x)f(x-T)=f
5、(x)（一）定义域与值域（一）定义域与值域x6yo-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-41y=sinx x Ry=cosx x R值域：值域：1,1定义域：定义域：R（二）周期性（二）周期性正弦函数正弦函数 y=sinx根据根据诱导公式一诱导公式一可知：可知：余弦余弦函数函数 y=cosx正余弦函数是周期函数，正余弦函数是周期函数，最小正周期最小正周期2，周期是，周期是2k.x6yo-12345-2-3-41x6yo-12345-2-3-41y=sinx x Ry=cosx x R（三）奇偶性（三）奇偶性O1yx-1f(x)=sinx 奇函数奇函数f(x)=sin(x)=s
6、inx=f(x)（三）奇偶性（三）奇偶性O1yx-1f(x)=cosx 偶函数偶函数f(x)=cos(x)=cosx=f(x)（四）单调性（四）单调性y=sinxx6yo-12345-2-3-41（四）（四）单调性单调性x6yo-12345-2-3-41y=sinx（四）（四）单调性单调性y=cosx在在0,2内内，单调减区间：单调减区间：0,，单调增区间，单调增区间,2x6yo-12345-2-3-41（四）（四）单调性单调性单调减区间：单调减区间：0+2k,+2k单调增区间：单调增区间：+2k,2+2kx6yo-12345-2-3-41y=cosx（五）对称性（五）对称性x6yo-1234
7、5-2-3-41y=sinx对称轴：对称轴：在对称轴处，函数值在对称轴处，函数值为为最大值或最小值最大值或最小值.（五）（五）对称性对称性x6yo-12345-2-3-41y=cosx对称轴：对称轴：在对称轴处，函数值在对称轴处，函数值为为最大值或最小值最大值或最小值.（五）（五）对称性对称性x6yo-12345-2-3-41y=sinx对称中心：对称中心：(k,0)在对称在对称中心中心处，函数值为处，函数值为0.(0,0)（五）（五）对称性对称性x6yo-12345-2-3-41y=cosx在对称在对称中心中心处，函数值为处，函数值为0.y=Asin(x+)(1)公式法，即将函数公式法，即将
8、函数化为化为 yAsin(x)B 或或 yAcos(x)B 的的形式，再利用形式，再利用T2/求得；求得；(2)图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过图像法，利用变换的方法或作出函数的图像，通过观观察得到察得到最小正周期最小正周期求函数最小正周期的常用方法求函数最小正周期的常用方法AC 解：解：小小 结结1.正余弦函数的奇偶性正余弦函数的奇偶性2.正余弦函数的单调性正余弦函数的单调性3.正余弦函数的对称性正余弦函数的对称性1.4.3 正切函数的图像与性质正切函数的图像与性质高中数学高中数学 必修必修四四诱导公式二：诱导公式二：tan(+)=tan 是是周期函数周期函数，最小正周期是，最小
9、正周期是，周期是，周期是k.xyx0 tanx0+xy正切曲线正切曲线0正切曲线是被互相平行的直线正切曲线是被互相平行的直线 所隔开的所隔开的无穷多支曲线组成的无穷多支曲线组成的.正切正切函数的性质函数的性质1.1.定义域：定义域：2.2.值域：值域：3.3.周期性：周期性：正切函数是周期函数，周期正切函数是周期函数，周期为为05.5.单调性：单调性：正弦函数在开区间正弦函数在开区间 内都内都是是增函数增函数.4.4.奇偶性：奇偶性：由诱导公式由诱导公式 知知正切函数是奇函数正切函数是奇函数，图象关于原点对称，图象关于原点对称.正切正切函数的性质函数的性质例例1 1 求求函数函数 的定义域、周
10、期和单调区间的定义域、周期和单调区间.解解：令：令的定义域为所以所以即：即：函数的定义域是函数的定义域是解解：令：令的单调增区间为函数函数的单调递增区间是的单调递增区间是所以所以即：即：例例1 1 求求函数函数 的定义域、周期和单调区间的定义域、周期和单调区间.解解：由于由于因此函数的周期为因此函数的周期为2.2.例例1 1 求求函数函数 的定义域、周期和单调区间的定义域、周期和单调区间.例例2 比较下列每组数的大小比较下列每组数的大小.说明：说明：比较两个正切值大小比较两个正切值大小，应该把，应该把相应的角化相应的角化到同到同一单一单调区间内，再利用调区间内，再利用y=tanx的的单调性。单
11、调性。与与与与(1)(2)(2)例例2 比较下列每组数的大小比较下列每组数的大小.与与与与解解：由图形可知由图形可知例例3 3 解不等式解不等式原原不等式的解集为：不等式的解集为：0yx1.1.比较大小比较大小（1 1）_（2 2）_2.2.求函数求函数 的定义域、值域，并指出它的定义域、值域，并指出它的的单调性、奇偶性和周期性；单调性、奇偶性和周期性；答案答案:定义域定义域值域值域单调性单调性奇偶性奇偶性 非奇非偶函数非奇非偶函数周期性周期性3.3.解不等式（解不等式（1 1）（2 2）答案答案:（1 1）（2 2）1.1.正切曲线是被互相平行的直线正切曲线是被互相平行的直线 所所隔开隔开的
12、无穷的无穷多支曲线组成的多支曲线组成的.2.2.正弦函数的性质正弦函数的性质.1.4.4 高考真题演练高考真题演练高中数学高中数学 必修必修四四1（2019年全国年全国2卷文卷文8）2（2017年全国年全国2卷文卷文3）3（2019年全国年全国1卷理卷理11）3（2019年全国年全国1卷理卷理11）3（2019年全国年全国1卷理卷理11）3（2019年全国年全国1卷理卷理11）4（2017年全国年全国2卷理卷理14）5（2017年全国年全国3卷理卷理6）5（2017年全国年全国3卷理卷理6）5（2017年全国年全国3卷理卷理6）6（2015年全国年全国1卷卷文文8、理、理8）6（2015年全国年全国1卷卷文文8、理、理8）7（2012年全国年全国卷卷文数文数）