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1、本本 章章 总总 结结 提提 升升 本章知识框架本章知识框架本章总结提升本章总结提升锐角锐角 直角直角 钝角钝角 本章总结提升本章总结提升三三 内内 三三 内内 三三 锐角锐角 直角直角 钝角钝角 本章总结提升本章总结提升大于大于 小于小于 180 本章总结提升本章总结提升相等相等 相等相等 相等相等 相等相等 SSS SSS SAS SAS ASA ASA AAS AAS 整合拓展创新整合拓展创新本章总结提升本章总结提升类型之一与三角形的边有关的计算与说理类型之一与三角形的边有关的计算与说理 例例1 1已知三角形两边的长分别是已知三角形两边的长分别是4 4和和1010，则此三角形第三边，则此
2、三角形第三边的长可能是的长可能是()A A5 B5 B6 C6 C11 D11 D1616解解析析 C已已知知三三角角形形两两边边的的长长分分别别是是4和和10，所所以以第第三三边边x的范围是的范围是6x14，在这个范围内，只有，在这个范围内，只有11符合故选符合故选C.本章总结提升本章总结提升点析点析 已知三角形的两条边长，求第三边，根据已知三角形的两条边长，求第三边，根据“三角形两三角形两边之和大于第三边边之和大于第三边”和和“三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边”，可得，可得“三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和三角形的第三边大于两边之差且小于两边之和”，从而先求出第，从
3、而先求出第三边的范围，然后作出选择三边的范围，然后作出选择本章总结提升本章总结提升例例2王伟准备用一段长王伟准备用一段长3030米的篱笆围成一个三角形形状的米的篱笆围成一个三角形形状的养兔圈，用于饲养家兔已知第一条边长为养兔圈，用于饲养家兔已知第一条边长为a a米，由于受地势限米，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的制，第二条边长只能比第一条边长的2 2倍多倍多2 2米米(1)(1)请用请用a a表示第三条边长；表示第三条边长；(2)(2)问第一条边长可以为问第一条边长可以为8 8米吗？为什么？请说明理由；米吗？为什么？请说明理由；(3)(3)能否使得围成的养兔圈是等腰三角形？若能，说
4、明你的能否使得围成的养兔圈是等腰三角形？若能，说明你的围法；若不能，请说明理由围法；若不能，请说明理由本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升点析点析本题以构成三角形三边关系为载体，主要考查了整式本题以构成三角形三边关系为载体，主要考查了整式计算与三角形的有关边知识的理解与运用，在探究等腰三角形的计算与三角形的有关边知识的理解与运用，在探究等腰三角形的形状时要注意分类讨论，构建方程分析与解决实际问题形状时要注意分类讨论，构建方程分析与解决实际问题本章总结提升本章总结提升类型二等腰三角形类型二等腰三角形 例例3 3一个三角形的两条边相等，周长为一个三角形的两条边相
5、等，周长为18 18 cmcm，三角形一边，三角形一边长为长为4 4 cmcm，求其他两边长，求其他两边长 解析解析 本题分两种情况：本题分两种情况：腰长为腰长为4 cm，底边长为底边长为4 cm.解答时要注意求出的边长要符合解答时要注意求出的边长要符合“三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边”本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升点析点析等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，因为这种特殊性，在具体处理问题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时
6、一定要注意分类讨论对同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确是底或腰时，应于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确是底或腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论在符合三角形三边关系的前提下分类讨论 本章总结提升本章总结提升类型三与三角形的角有关的计算类型三与三角形的角有关的计算 例例4 4如图如图4 4T T1 1，一个大型模板的设计要求是模板的，一个大型模板的设计要求是模板的BABA边边和和CDCD边相交成边相交成5050角，角，DADA边和边和CBCB边相交成边相交成3030角，如果通过测量角，如果通过测量A A，B B，C C
7、，D D的度数来判断模板是否合格，你认为当的度数来判断模板是否合格，你认为当D D与与B B的度数相差多少时，模板刚好合格？的度数相差多少时，模板刚好合格？图图4T1本章总结提升本章总结提升 解解析析 要要判判断断D D与与B B的的度度数数相相差差多多少少时时，模模板板刚刚好好合合格格，可可延延长长CDCD与与BABA，DADA与与CBCB，构构造造三三角角形形，然然后后根根据据三三角角形形内内角角和和等等于于180180进行探究进行探究解解：当当模模板板合合格格时时，如如图图4 4T T1 1，延延长长BABA交交CDCD的的延延长长线线于于点点E E，则，则EE5050；延长；延长DAD
8、A交交CBCB的延长线于点的延长线于点F F，则，则FF3030，由三角形的三个内角和等于由三角形的三个内角和等于180180，得，得CBECBECCEE180180，CDFCDFCCFF180180，所所以以CBECBE180180(E(EC)C)180180(50(50C)C)130130CC，本章总结提升本章总结提升CDFCDF180180(F(FC)C)180180(30(30C)C)150150C.C.因为因为CDFCDFCBECBE150150CC(130(130C)C)2020，所以所以CDFCDF比比CBECBE大大2020.即即DD比比BB大大2020时，模板刚好合格时，模板
9、刚好合格本章总结提升本章总结提升点析点析三角形的内角和等于三角形的内角和等于180，我们可以利用这一结论解，我们可以利用这一结论解决与角度计算有关的实际问题，解决问题的关键是如何将实际问决与角度计算有关的实际问题，解决问题的关键是如何将实际问题转化为数学问题题转化为数学问题本章总结提升本章总结提升类型四三角形中的重要线段类型四三角形中的重要线段例例5 5如图如图4 4T T2 2，已知，已知B B4545，C C7575，ADAD是是BCBC边边上的高，上的高，AEAE是是BACBAC的平分线，求的平分线，求DAEDAE的度数的度数 图图4T2本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升本
10、章总结提升本章总结提升图图4T3答案答案 2本章总结提升本章总结提升本章总结提升本章总结提升点析点析解决本题的关键是利用三角形的面积关系，在高不变解决本题的关键是利用三角形的面积关系，在高不变的情况下，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积的情况下，底为中点或三等分点构成的三角形与原三角形的面积之间的关系，就是底之间的关系，注意数形结合及转换的数学思之间的关系，就是底之间的关系，注意数形结合及转换的数学思想方法想方法 本章总结提升本章总结提升类型五尺规作图类型五尺规作图 例例7 7已知：线段已知：线段a a，c c和和.求作：求作：ABCABC，使，使BCBCa a，ABABc c，A
11、BCABC.图图4T4本章总结提升本章总结提升 解：如图解：如图4 4T T5 5所示所示先画射线先画射线BCBC；图图4T5本章总结提升本章总结提升以以的的顶顶点点为为圆圆心心，任任意意长长为为半半径径画画孤孤，分分别别交交的的两边于两边于AA，CC；以以相相同同长长度度为为半半径径，B B为为圆圆心心，画画弧弧，交交BCBC于于点点F F，以以F F为为圆圆心心，CACA长长为为半半径径画画弧弧，交交已已画画弧弧于于点点E E，连连接接EBEB，则则EBFEBF；在在BFBF上上取取点点C C，使使CBCBa a，以以B B为为圆圆心心，c c为为半半径径画画圆圆交交BEBE的的延长线于点
12、延长线于点A A，连接，连接AC.ABCAC.ABC即为所求作三角形即为所求作三角形本章总结提升本章总结提升类型六全等三角形中的开放性问题类型六全等三角形中的开放性问题 例例8 8如图如图4 4T T6 6所示，所示，ABAB，CDCD相交于点相交于点O O，ABABCDCD，试添，试添加一个条件使得加一个条件使得AODCOBAODCOB，你添加的条件是，你添加的条件是_(_(只只需写一个需写一个)图图4T6 答案答案 OA OAOCOC或或OBOBODOD本章总结提升本章总结提升 解析解析 两个三角形全等的条件有两个三角形全等的条件有“SASSAS”，“ASAASA”，“AASAAS”，“S
13、SSSSS”结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等结合题设中的已知，选择恰当的三角形全等条件是解决此类问题的关键已知条件有条件是解决此类问题的关键已知条件有ABABCDCD，隐含条件有，隐含条件有AODAODCOBCOB，可选择，可选择“SASSAS”，填，填OAOAOCOC或或OBOBOD.OD.本章总结提升本章总结提升 点析点析 全等三角形是初中数学中最基础、最重要的一部分内全等三角形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，本题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题容，本题是添加条件写结论的全开放型的创新题，这种类型的题目开放程度非常高，能激起同学们的挑战欲望和创新热情，实属目开
14、放程度非常高，能激起同学们的挑战欲望和创新热情，实属好题好题 本章总结提升本章总结提升类型七全等三角形的性质与判定的综合应用类型七全等三角形的性质与判定的综合应用 例例9 9如图如图4 4T T7 7，已知点，已知点B B，F F，C C，E E在一条直线上，在一条直线上，FBFBCECE，ACACDF.DF.能否由上面的已知条件说明能否由上面的已知条件说明ABEDABED？如果能，请给出说明；？如果能，请给出说明；如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已如果不能，请从下列三个条件中选择一个合适的条件，添加到已知条件中，使知条件中，使ABEDABED成立，并说明理由成立，并说明
15、理由供选择的三个条件供选择的三个条件(请从其中选择一个请从其中选择一个)：ABABEDED；BCBCEFEF；ACBACBDFE.DFE.本章总结提升本章总结提升图图4T7本章总结提升本章总结提升 解析解析 由条件可知两三角形中具备了两边对应相等，可补由条件可知两三角形中具备了两边对应相等，可补充边借助充边借助“边边边边边边”定理突破，也可补充这两边的夹角，借助定理突破，也可补充这两边的夹角，借助“边角边边角边”定理进行分析定理进行分析解：由上面两条件不能说明解：由上面两条件不能说明ABED.ABED.有两种添加方法有两种添加方法第一种：添加第一种：添加ABABED.ED.理由：因为理由：因为
16、FBFBCECE，所以，所以BCBCEF.EF.本章总结提升本章总结提升又又ACACDFDF，ABABEDED，所以所以ABCDEF.ABCDEF.所以所以BBEE，所以所以ABED.ABED.第二种：添加第二种：添加ACBACBDFE.DFE.理由：因为理由：因为FBFBCECE，所以所以BCBCEF.EF.本章总结提升本章总结提升又又ACBACBDFEDFE，ACACDFDF，所以所以ABCDEF.ABCDEF.所以所以BBEE，所以，所以ABED.ABED.点析点析 近几年的各地中考中，全等三角形常以开放探究的形近几年的各地中考中，全等三角形常以开放探究的形式出现，可能设置的问题结论不唯
17、一，或条件不完备，即需要解式出现，可能设置的问题结论不唯一，或条件不完备，即需要解题者依据题意确定结论或补全条件，或通过变换操作，或有关图题者依据题意确定结论或补全条件，或通过变换操作，或有关图形的动态变化导致某些图形、情境的变化，进而构建不同的数学形的动态变化导致某些图形、情境的变化，进而构建不同的数学模型，或选择不同的解题策略进行解答模型，或选择不同的解题策略进行解答本章总结提升本章总结提升例例1010如图如图4 4T T8 8，ABABAEAE，B BE E，BCBCEDED，F F是是CDCD的的中点，则中点，则AFCDAFCD吗？试说明理由吗？试说明理由 图图4 4T T8 8本章总
18、结提升本章总结提升解：连接解：连接ACAC，ADAD，由，由ABABAEAE，BBEE，BCBCDEDE，根据，根据“SASSAS”可知可知ABCAEDABCAED，根据全等三角形的对应边相等可知根据全等三角形的对应边相等可知ACACAD.AD.由由ACACADAD，CFCFDFDF，AFAFAF(AF(公共边公共边)，根据根据“SSSSSS”可知可知ACFADF.ACFADF.根据全等三角形的对应角相等可知根据全等三角形的对应角相等可知AFCAFCAFD.AFD.又由于又由于F F在直线在直线CDCD上，可得上，可得AFCAFC9090，即即AFCD.AFCD.本章总结提升本章总结提升 点析
19、点析 本题进行了两次三角形全等的证明，在证明线段、角本题进行了两次三角形全等的证明，在证明线段、角等问题时往往转化为证明三角形全等，从而达到证明的目的等问题时往往转化为证明三角形全等，从而达到证明的目的 本章总结提升本章总结提升类型八利用三角形全等测距离类型八利用三角形全等测距离 例例1111如图如图4 4T T9 9所示，所示，A A，B B两个建筑物分别位于河的两两个建筑物分别位于河的两岸，要测得它们之间的距离，可以从岸，要测得它们之间的距离，可以从B B出发沿河岸画一条射线出发沿河岸画一条射线BFBF，在，在BFBF上截取上截取BCBCCDCD，过，过D D作作DEABDEAB，使，使E
20、 E，C C，A A在同一条直线上，在同一条直线上，则则DEDE的长就是的长就是A A，B B之间的距离，请你说明道理之间的距离，请你说明道理 图图4T9本章总结提升本章总结提升 解析解析 因为因为DEABDEAB，可得，可得A AE E，ABCABCCDE.CDE.又因为又因为BCBCCDCD，于是可得，于是可得ABCEDCABCEDC，可得，可得ABABDE.DE.解：解：DEAB(DEAB(作图作图)，AAEE，ABCABCCDE(CDE(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)又又BCBCCD(CD(已知已知)，ABCEDC(AAS)ABCEDC(AAS)，ABABDE(DE(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)本章总结提升本章总结提升 点析点析 测量无法到达的问题时，可以将实际问题转化为数学测量无法到达的问题时，可以将实际问题转化为数学问题来解决，本题巧妙地利用了三角形全等进行转化，从而达到问题来解决，本题巧妙地利用了三角形全等进行转化，从而达到测量的目的测量的目的