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1、7.5 7.5 三角形内角和定理三角形内角和定理 （第第1 1课时）课时）北师北师大大版版 数学数学 八年级八年级 上册上册我的形状最我的形状最小，那我的小，那我的内角和最小内角和最小.我的形状我的形状最大，那最大，那我的内角我的内角和最大和最大.不对，我有一不对，我有一个钝角，所以个钝角，所以我的内角和才我的内角和才是最大的是最大的.一天一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧给它们评判一下吧.情情境境引引入入导入新知入新知1.会用平行线的性质与平角的定
2、义证明三角会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和形内角和等于等于180 2.会运用三角形内角和定理进行会运用三角形内角和定理进行计算计算.素养目标素养目标 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180.与与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的.思考思考 除了除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为为180呢呢?折叠还可以用拼还可以用拼接的方法，接的方法，你知道怎样你知道怎样操作吗？操作吗？探究新知探究新知知识点 1三角
3、形的内角和定理三角形的内角和定理三角形的内角和定理三角形的内角和定理剪拼剪拼ABC21（小组合作，讨论剪拼方法小组合作，讨论剪拼方法.各小组代各小组代表表演演式式剪剪拼过程拼过程）探究新知探究新知三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？还有其他的拼接还有其他的拼接方法吗？方法吗？三角形的内角和定理的证明在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起在纸上任意画一个三角形，将它的内
4、角剪下拼合在一起.探究新知探究新知验证结论三角形三个内角的和等于180.求证：求证：A+B+C=180.已知已知：ABC.证法证法1 1：过点过点A作作lBC，B=1.(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)C=2.(两直线平行两直线平行,内错角相等内错角相等)2+1+BAC=180，B+C+BAC=180.12探究新知探究新知证证法法2：延长延长BC到到D，过点过点C作作CEBA，A=1.(两直线平行，内两直线平行，内错角相等错角相等)B=2.(两直线平行，同位两直线平行，同位角相等角相等)又又1+2+ACB=180，A+B+ACB=180.CBAED12探究新知探究新知CBAEDF证
5、法证法3：过过D作作DEAC,作作DFAB.C=EDB,B=FDC.(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)A+AED=180,AED+EDF=180，(两直线平行，同旁内角相补两直线平行，同旁内角相补)A=EDF.EDB+EDF+FDC=180，A+B+C=180.想一想想一想 同学们同学们还有其他的方法吗？还有其他的方法吗？探究新知探究新知思考思考 多种多种方法证明三角形内角和等于方法证明三角形内角和等于180的核心是什么的核心是什么？借助平行线的借助平行线的“移角移角”的功能，的功能，将三个角转化成一个平角将三个角转化成一个平角.C A B 12345l A C B 12345l
6、 P 6m ABCDE探究新知探究新知C24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1试一试试一试 同学们同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？按照上图中的辅助线，给出证明步骤？探究新知探究新知知识要点知识要点 在在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线在平面几何里，辅助线通常画成虚线.u思路总结思路总结 为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.u作辅助
7、线作辅助线探究新知探究新知 如如图图所所示示，在在ABC中中，B=38，C=62，AD是是ABC的角平分线，求的角平分线，求ADB的度数的度数.ABCD探究新知探究新知三角形内角三角形内角和的和的应用应用知识点 2例ABCD解：解：在在ABC中，中，B+C+BAC=180（三角形（三角形内角和定理）内角和定理）.B=38，C=62（已知（已知），），BAC=180-38-62=80（等式的性质）（等式的性质）.AD平分平分BAC（已知）（已知）BAD=CAD=BAC=在在ADB中中,B+BAD+ADB=180（三角形内角和定理）三角形内角和定理）.B=38（已知（已知）,BAD=40（已证已证
8、）,ADB=180-38-40=102（等式的性质等式的性质）.80=40（角平分线的定义角平分线的定义）探究新知探究新知如如图，在图，在ABC中，中，BAC=40,B=75,AD是是ABC的角平分线，求的角平分线，求ADB的度数的度数.ABCD解：解：由由BAC=40,AD是是ABC的角平分线，得的角平分线，得BAD=BAC=20.在在ABD中中，ADB=180-B-BAD=180-75-20=85.巩固巩固练习例例1 如如图，图，ABC中，中，D在在BC的延长线上，过的延长线上，过D作作DEAB于于E，交，交AC于于F.已知已知A30，FCD80，求，求D.解：解：DEAB，FEA90 在
9、在AEF中中，FEA90，A30，AFE180FEAA60.又又CFDAFE，CFD60.在在CDF中中，CFD60，FCD80，D180CFDFCD40.探究新知探究新知素素养养考考点点 1利用三角形的内角和定理求角的度数利用三角形的内角和定理求角的度数直线直线l1l2，把把一块一块含含45角的直角三角的直角三角尺角尺如图放置，如图放置，185，则，则2_40变式训练变式训练巩固练习巩固练习例例2 在在ABC 中，中，A 的度数是的度数是B 的度数的的度数的3倍，倍，C 比比B 大大15，求，求A，B，C的度数的度数.解解:设设B为为x，则，则A为为(3x)，C为为(x 15)，从而有从而有
10、3x x(x 15)180.解得解得 x 33.所以所以 3x 99，x 15 48.答：答：A，B，C的度数分别为的度数分别为99，33，48.几何问题借助几何问题借助方程来解方程来解.这这是一个重要的是一个重要的数学思想数学思想.探究新知探究新知素素养养考考点点 2方程的思想与三角形内角和相结合的题目方程的思想与三角形内角和相结合的题目在在ABC中，中，A:B:C=1:2:3，则，则ABC是是 _三角形三角形；在在ABC中，中，A=35，B=43，则，则C=；在在ABC中，中，A=B+10,C=A+10,则则A=，B=，C=.102直角直角605070巩固巩固练习 完成下列各完成下列各题：
11、题：变式训练变式训练北北.AD北北.CB.东东E例例3 如图，如图，C岛在岛在A岛的北偏东岛的北偏东50方向，方向，B岛在岛在A岛岛的北偏东的北偏东80 方向，方向，C岛在岛在B岛的北偏西岛的北偏西40 方向方向.从从B岛看岛看A,C两岛的视角两岛的视角ABC是多少度？从是多少度？从C岛看岛看A、B两岛的视角两岛的视角ACB是多少度？是多少度？探究新知探究新知素素养养考考点点 3利用三角形的内角和定理解决实际利用三角形的内角和定理解决实际问题问题解：解：CAB=BAD-CAD=80-50=30.由由AD/BE,得得BAD+ABE=180.所以所以ABE=180-BAD=180-80=100,A
12、BC=ABE-EBC=100-40=60.在在ABC中中，ACB=180-ABC-CAB=180-60-30=90,答：答：从从B岛看岛看A,C两岛的视角两岛的视角ABC是是60,从从C岛看岛看A,B两岛的视角两岛的视角ACB是是90.北北.AD北北.CB.东东E探究新知探究新知如图，一艘渔船在如图，一艘渔船在B处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的方的方向，另一艘货轮在向，另一艘货轮在C处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东40的方的方向，那么在灯塔向，那么在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是多是多少度？少度？变式训练变式训练巩固练习巩固练习解：解：因为在因为在B处
13、测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东60的的方向方向,所以所以ABD60.又因为又因为DBE90，所以所以ABE90ABD906030.因为在因为在C处测得灯塔处测得灯塔A在北偏东在北偏东40的方向，的方向，所以所以ACE904050.所以所以BACACEABE503020.即在灯塔即在灯塔A处观看处观看B和和C处时的视角处时的视角BAC是是20.巩固练习巩固练习1.（2019杭州）在杭州）在ABC中，若一个内角等于另外两个内角中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）的差，则（）A必有一个内角等于必有一个内角等于30B必有一个内角等于必有一个内角等于45C必有一个内角等于必有一个内角等于60
14、D必有一个内角等于必有一个内角等于90D2.（2019百色）三角形的内角和等于（）百色）三角形的内角和等于（）A90B180C270D360B连接中考连接中考1.求出下列各图中的求出下列各图中的x值值x=70 x=60 x=30 x=50 基基 础础 巩巩 固固 题题课堂堂检测3.如图，则如图，则1+2+3+4=_.BACD4132E40（280 课堂堂检测2.在在ABC中，若中，若A=30，B=50，则，则C=基基 础础 巩巩 固固 题题100 如如图，四边形图，四边形ABCD中，点中，点E在在BC上上,A+ADE=180，B=78，C=60，求，求EDC的度数的度数解：解：A+ADE=18
15、0，ABDE.CED=B=78.又又C=60,EDC=180-（CED+C）=180-（78+60）=42能能 力力 提提 升升 题题课堂堂检测 如如图，在图，在ABC中，中，BP平分平分ABC，CP平分平分ACB，若若BAC=60，求，求BPC的度数的度数解：解：ABC中中，A=60,ABC+ACB=120.BP平分平分ABC，CP平分平分ACB，PBC+PCB=（ABC+ACB）=60.PBC+PCB+BPC=180,BPC=180-60=120.拓拓 广广 探探 索索 题题课堂堂检测通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：求角度求角度证法证法应用应用转化为一个平角
16、转化为一个平角或同旁内角互补或同旁内角互补辅助线辅助线三角形的三角形的内角和等内角和等于于180 课堂小堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习BS版八年级上版八年级上5三角形内角和定理三角形内角和定理第七章第七章 平行线的证明平行线的证明第第1课时三角形的内角和课时三角形的内角和4提示：点击 进入习题答案显示答案显示671235BBBCDCC8A提示：点击 进入习题答案显示答案显示1011129见习题见习题13见习题见习题B14见习题见习题见习题见习题见习题见习题1【2019百色百色】三角形的内角和等于三角形的内角和等于()A
17、90 B180C270 D360B2【2019杭杭州州】在在ABC中中，若若一一个个内内角角等等于于另另外外两两个个内角的差，则内角的差，则()A必有一个内角等于必有一个内角等于30 B必有一个内角等于必有一个内角等于45C必有一个内角等于必有一个内角等于60 D必有一个内角等于必有一个内角等于90【点拨点拨】设设ACB，因为，因为ABC180，所以，所以2C180，所以，所以C90，所以必有一个，所以必有一个内角等于内角等于90.【答案答案】D3【2019绍绍兴兴】如如图图，墙墙上上钉钉着着三三根根木木条条a，b，c，量量得得170，2100，那那么么木木条条a，b所所在在直直线线所所夹夹的
18、的锐角是锐角是()A5 B10 C30 D70B4【2019滨滨州州】如如图图，ABCD，FGB154，FG平平分分EFD，则，则AEF的度数等于的度数等于()A26 B52 C54 D77B5【2019眉眉山山】如如图图，在在ABC中中，AD平平分分BAC交交BC于于点点D，B30，ADC70，则则C的的度度数数是是()A50 B60 C70 D80C6【中中考考绵绵阳阳】如如图图，在在ABC中中，ABC，ACB的的平平分分线线BE，CD相相交交于于点点F，ABC42，A60，则，则BFC等于等于()A118 B119 C120 D121C7【2018长长春春】如如图图，在在ABC中中，CD
19、平平分分ACB交交AB于于点点D，过过点点D作作DEBC交交AC于于点点E.若若A54，B48，则，则CDE的大小为的大小为()A44 B40 C39 D38【答案答案】C*8.当当三三角角形形一一个个内内角角是是另另一一个个内内角角的的两两倍倍时时，我我们们称称此此三三角角形形为为“特特征征三三角角形形”，其其中中角角称称为为“特特征征角角”如如果果一一个个“特特征征三三角角形形”的的“特特征征角角”的的度度数数为为100，那那么么这这个个“特特征征三三角角形形”的的最最小小内内角角的的度度数数为为()A30 B45 C50 D60【答案答案】A*9如如图图，把把ABC纸纸片片沿沿DE折折叠
20、叠，当当点点A落落在在四四边边形形BCDE内内部部时时，则则A与与12之之间间有有一一种种数数量量关关系系始始终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是终保持不变，请试着找一找这个规律，这个规律是()AA12 B2A12CA2(12)D3A2(12)【点拨点拨】因为因为AAEDADE180，所以所以2A2AED2ADE360.因为因为12AED180，22ADE180，所以所以122AED2ADE360，所以所以2A12.故选故选B.【答案答案】B10如图，说明如图，说明ABC与与ADC之间的关系之间的关系【点拨点拨】本题易错误地认为本题易错误地认为ABC180ADC.解：连接解：连接BD.
21、因为因为AABDADB180，CDBCCDB180，所以所以AABDADBCDBCCDB360.又因为又因为ADBCDBADC360，所以所以AABCC360ADC360，所以所以AABCCADC.11如如图图，在在ABC中中，BD交交AC于于点点D，DE交交AB于于点点E，EBDEDB，ABC：A：C2：3：7，BDC60.(1)试计算试计算BED的度数；的度数；解：因为解：因为ABC：A：C2：3：7，ACABC180，所以所以ABC30，A45，C105.因为因为BDC60，所以，所以DBC180BDCC1806010515，所以所以EDBEBDABCDBC301515，所以所以BED1
22、801515150.(2)EDBC吗？试说明理由吗？试说明理由解：解：EDBC.理由如下：理由如下：因为因为ABC30，BED150，所以所以ABCBED180，所以所以EDBC.12如如图图，在在ABC中中，AD是是BAC的的平平分分线线，B50，C70.(1)求求ADB的度数；的度数；解：因为解：因为B50，C70，所以所以BAC180BC60.又因为又因为AD是是BAC的平分线，的平分线，所以所以BAD30，所以所以ADB180BADB100.(2)若若DEAC于点于点E，求，求EDC的度数的度数解：因为解：因为DEAC，所以，所以DEC90，所以所以EDC180DECC20.13如如图
23、图，线线段段AB与与CD相相交交于于点点O，连连接接AD，CB.如如图图，在在图图的的条条件件下下，DAB的的平平分分线线AP和和BCD的的平平分分线线CP相相交交于于点点P，并并且且AP交交CD于于点点M，CP交交AB于点于点N，试解答下列问题：，试解答下列问题：(1)在在图图中中，请请直直接接写写出出A，B，C，D之之间间的的数量关系；数量关系；【点拨点拨】观察图形，根据对顶角相等即可得出结论观察图形，根据对顶角相等即可得出结论解：解：ADBC.(2)在图在图中，若中，若D42，B38，试求，试求P的度数；的度数；【点拨点拨】要求要求P的度数，题中已有的度数，题中已有D与与B的度数，的度数
24、，则需将则需将P与与D，B联系起来，结合联系起来，结合(1)中结论，可中结论，可得得12D34B，1D3P，再根据角平分线的性质进行整理转化，即可，再根据角平分线的性质进行整理转化，即可得到得到P (BD)，则问题得解，则问题得解(3)在在图图中中，若若D和和B为为任任意意角角，其其他他条条件件不不变变，试试探探究究P，B，D之之间间是是否否存存在在确确定定的的数数量量关关系系，并说明理由并说明理由【点拨点拨】借助借助(2)的求解过程可解的求解过程可解14如如图图，请请猜猜想想ABCDEF的的度度数，并说明你的理由数，并说明你的理由【点拨点拨】此题不能直接求出每个角的度数，但是可将这此题不能直
25、接求出每个角的度数，但是可将这些角放置在不同三角形中，根据三角形内角和定理和邻些角放置在不同三角形中，根据三角形内角和定理和邻补角的定义，得出补角的定义，得出BMPAB，ENMEF，MPCCD，然后运用这些结论并结，然后运用这些结论并结合三角形内角和定理可求出合三角形内角和定理可求出ABCDEF的度数本题体现了数学中的的度数本题体现了数学中的转化思想转化思想和和整整体思想体思想解：解：ABCDEF360.理由如下：因为理由如下：因为ABAMB180，AMBBMP180，所以，所以BMPAB.同理得同理得ENMEF，MPCCD.又因为又因为BMPENMMPC(180NMP)(180MNP)(180MPN)540(NMPMNPMPN)540180360，所以所以ABCDEF360.