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1、第十三章 轴对称13.1 轴对称 对称对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从，从建筑物建筑物到交通标志到交通标志，甚至日常生活用品，都，甚至日常生活用品，都可以可以找到对称的例子，找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！对称给我们带来美的感受！问题问题1 1如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？如果如果一个一个平面
2、平面图形图形沿一条直线折叠，直线两旁的沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形轴对称图形，这，这条直线就是它的条直线就是它的对称轴对称轴这时，我们也说这个图形关这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称于这条直线（成轴）对称猜字游戏猜字游戏:在艺术字中在艺术字中,有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下有些汉字是轴对称的，你能猜一猜下列是哪些字的一半吗？列是哪些字的一半吗？共同特征：共同特征：每每一对图形一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合形重合 问题问题2 2观察下面每对图形（如图）
3、，你能类比前面的观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？内容概括出它们的共同特征吗？AAA AB BC CBBCC把把一个图形一个图形沿着某一条直线折叠，沿着某一条直线折叠，如果它能够如果它能够与另一个图形重合与另一个图形重合，那么就，那么就说这说这两个图形两个图形关于这条直线（成轴）对关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点的点是对应点，叫做对称点 对称轴对称轴对称点对称点AAA AB BC CBBCC两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是
4、一个轴对称图形个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对个图形，这两个图形关于这条轴对称称 成成轴对称的两个图形全等吗轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全轴分成两个图形，这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？等吗？这两个图形对称吗？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线的垂直平分线 ABCMNPABC成轴对称的两个图形的性质：成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线如果
5、两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线应点所连线段的垂直平分线 轴对称图形的对称轴，轴对称图形的对称轴，是任是任何一对对应点所连线段的垂直平何一对对应点所连线段的垂直平分线分线 如如图，图，ABC ABC 和和 ABCABC关于直线关于直线MN MN 对称，点对称，点A,B,CA,B,C分别是点分别是点A A，B B，C C 的对称点，线段的对称点，线段AAAA，BBBB，CCCC与直线与直线MN MN 有什么关系？有什么关系？ABCMNPABC 点点A A，AA是对称点是对称点，将，将 ABC ABC 或或 ABCABC 沿沿MN
6、 MN 折叠后，点折叠后，点A A和和 A A 重重合合,AP=PAAP=PA,MPA=MPA=MPAMPA=90.90.即即 MNMN垂垂直平直平分分AAAA.同理同理 MNMN垂垂直平直平分分BBBB，CCCC.下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？理由吗？ABlAB(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
7、相等 性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PAPB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PAPB.教师要求学生自己写已知，求证，证明过程学生证明完后教师板书证明过程供学生对照已知：MNAB，垂足为点C，ACBC，点P是直线MN上任意一点求证：PAPB.证明：在APC和BPC中，PCPC(公共边)，PCAPCB(垂直的定义)，ACBC(已知)，APCBPC(SAS)PAPB(全等三角形的对应边相等
8、)因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 (二)线段的垂直平分线的判定 你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果那么”的形式，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果那么”的形式，逆命题就容易写出鼓励学生找出原命题的条件和结论 原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”此时，逆命题就很容易写出来“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上”写出逆命题后，就想到判断它的真假如果真，那那么么需证明它；如果假，那那么么需用
9、反例说明请同学们自行在练习册上完成 学生给出了如下的四种证法 已知：线段AB，点P是平面内一点，且PAPB.求证：P点在线段AB的垂直平分线上证法一过点P作已知线段AB的垂线PC.PAPB，PCPC，RtPACRtPBC(HL)ACBC，即P点在AB的垂直平分线上证法二取AB的中点C，过P，C作直线PAPB，PCPC，ACCB，APCBPC(SSS)PCAPCB(全等三角形的对应角相等)又PCAPCB180，PCAPCB90，即PCAB，P点在AB的垂直平分线上证法三过P点作APB的平分线PAPB，12，PCPC，APCBPC(SAS)ACBC，PCAPCB(全等三角形的对应边相等、对应角相等
10、)又PCAPCB180，PCAPCB90，P点在线段AB的垂直平分线上 从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定 要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线 下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据 例1尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C.(如下图)求作：AB的垂线，使它经过点C.师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF就是所求作
11、的垂线？与同伴进行交流生：从作法的第(2)(3)步可知CDCE，DFEF，C，F都在线段DE的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)CF就是线段DE的垂直平分线(两点确定一条直线)师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点1.1.如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴称轴 2.2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点 3.如图，在ABC中，AC16
12、cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26 cm.求BC的长4.有A，B，C三个村庄(如图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置第十三章 轴对称13.2 画轴对称图形一、问题导入我们前面学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质如果有一个图形和一条直线，如何画出这个图形关于这条直线对称的图形呢？这节课我们一起来学习作轴对称图形的方法二、探究新知活动在一张半透明的纸的左边部分，画一只左脚印，把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分类似地
13、，请你再将一个图形做一做，看看能否得到同样的结论认真观察，左脚印和右脚印有什么关系？(成轴对称)对称轴是折痕所在的直线，即直线l，它与图中的线段PP是什么关系？(直线l垂直平分线段PP)思考1如何画一个点的对称图形？例1画出点A关于直线l的对称点A.画法：(1)过点A作对称轴l的垂线，垂足为B；(2)延长AB到A，使得BAAB.点A就是点A关于直线l的对称点思考2如何画一条直线的对称图形？例2已知线段AB，画出AB关于直线l的对称线段画法：(1)画出点A关于直线l的对称点A.(2)画出点B关于直线l的对称点B.(3)连接点A和点B成线段AB.线段AB即为所求思考3如果有一个图形和一条直线，如何
14、画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？例3如图，已知ABC和直线l，画出与ABC关于直线l对称的图形画法：(1)过点A画直线l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OAOA，A就是点A关于直线l的对称点(2)同理，分别画出点B，C关于直线l的对称点B，C.(3)连接AB，BC，CA，则ABC即为所求三、课堂练习三、课堂练习1.教材第68页练习第1，2题.2.下列图形，点P与P关于直线MN对称的图形是(D)1、前面我们学过了平面直角坐标系是有两条 重合并且相互 的数轴构成的。2、对于坐标平面上的点我们可以用有序的数对来表示，通常我们写这种有序数对时，把 写在前面，写在后面。3、我们怎么确定坐标平面内的
15、点的坐标？过这个点分别作x轴和y轴的垂线段，垂足对应的数值分别就是这个点的横坐标和纵坐标，记做（x，y）。原点垂直横坐标纵坐标31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1A(2,3)y xA(2,-3)作出点A关于x轴的对称点，并说出它的坐标。31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1A(2,3)xyA(-2,3)作出点A关于y轴的对称点，并说出它的坐标。如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律 (-3.5,4)xy11OA
16、BCDEA B C DExy11O2 34 0-6 5-1 -2在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中 -1关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。关于x 轴对称的每对对称点的坐标变化规律：xy11OABCDEA B C DE即点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（_，_）x -y xy11OABCDEA BCDE 1 2-2-36 -5-4 0在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于y 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中 1xy11OABCDEA B CDE 关于y 轴对称的每对对称点的坐标变化规律：关于y 轴对称的每对对称点的
17、纵坐标相等，横坐标互为相反数。即点（x，y）关于y 轴对称 的点的坐标为（_，_）-x y练习1分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点的坐标：（-2，6），（1，-2），（-1，3），（-4，-2），（1，0）解：关于x 轴对称的点的坐标：（-2，-6），（1，2），（-1，-3），（-4，2），（1，0）关于y 轴对称的点的坐标：（2，6），（-1，-2），（1，3），（4，-2），（-1，0）课堂练习练习2已知点P（2a+b，-3a）与点P（8，b+2）若点P、点P关于x 轴对称，则a=，b=；若点P、点P关于y 轴对称，则a=，b=_.=_.课堂练习4-20 02 6运用变化规律作图
18、例2 2 如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形xy11OABCDxy11OABCD解：点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（-x，y），因此四边形ABCD 的顶点A，B，C，D 关于y 轴对称的点分别为：A（，），B（，），C（，），D（，），2 55 12 15 4ABCDxy11OABCD 依次连接 ,就可得到与四边形ABCD 关于y轴对称的四边形 ABCD AB BC CD DA ABCDADCB请在图上画出四边形ABCD 关于x 轴对称的图形 例2A（-5，
19、1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4）总 结（1）求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标。（2）描出这些点。（3）连线。步骤简述为：（1）求特殊点的对称点的坐标；（2）描点；（3）连线 画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤：课堂练习练习3分别写出下列各点关于x 轴和y 轴对称的点 的坐标 （3，6）、（-7，9）、（6，-1）、（0，10）解：关于y轴对称的点的坐标：（-3，6），（7，9），（-6，-1），（0，10）关于x 轴对称的点的坐标：（3，-6），（-7，-9），（6，1），（0，-10）课堂练习练习4以正方形ABCD 的中心为原点建立平
20、面直角坐标系点A 的坐标为（1，1），写出点B，C，D 的坐标A（1，1）BCDOyx1、在平面直角坐标系中，关于x 轴对称的点的坐标有什 么变化规律？如何判断两个点是否关于x 轴对称？2、在平面直角坐标系中，关于y 轴对称的点的坐标有什么变化规律？如何判断两个点是否关于y轴对称？课堂小结关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数。关于y 轴对称的每对对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（_，_）点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（_，_）x -y -x y 3 3、说一说画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的 方法和步骤课堂小结（1
21、）求特殊点的对称点的坐标；（2）描点；（3）连线第十三章 轴对称13.3 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质13.3.1 等腰三角形1、等腰三角形的定义.ABCD2、等腰三角形是不是轴对称图形?探究如图,把一张长方形的纸按图中虚线对折,将三角形部分剪下展开,得到的三角形有什么特点?腰相等的两边底除腰外的一边顶角两腰的夹角底角腰与底的夹角有两边相等的三角形叫做等腰三角形。(如AB=AC，ABC为等腰三角形)概念：想一想1、上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗？2、把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角。3、由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的哪些性质呢？说一说你的猜想。A
22、BCD重合的角：重合的边：B=C，BAD=CAD，ADB=ADC AB=AC，BD=CD性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）。性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称为“三线合一”）。我们可以发现等腰三角形的性质:已知：如图，在ABC中，AB=AC.求证：B=C.ABCD1 2证明：作顶角的平分线AD.在BAD和CAD中，AB=AC（已知）1=2（辅助线作法）AD=AD（公共边）BADCAD（SAS）B=C（全等三角形的对应角相等）你还有其他的方法吗？定理证明第二种第三种ABCDABCD作ABC的高线AD。作ABC的中线AD。AB=ACB=C等
23、腰三角形的两个底角相等。1、文字语言2、符号语言3、图形语言等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.性质2(三线合一)BD=CD,ADB=ADC=90.ABCD1 2证明：作顶角的平分线AD.在BAD和CAD中,AB=AC,1=2,AD=AD,BADCAD.根据等腰三角形的性质定理和推论，在ABC中，AB=AC.(1)ADBC,=,=;(2)AD是中线，=；（3）AD是角平分线，=。ABCDBADCADBDCDBADCADADBCADBCBDCD如图，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求ABC各角的度数.解：AB=AC，BD=BC=AD,ABC=C=B
24、DC,A=ABD.设A=x,则BDC=A+ABD=2x,从而ABC=C=BDC=2x.于是在ABC中，有A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得x=36.在ABC中，A=36,ABC=C=72.例题讲解例题讲解练一练1、等腰三角形的一个角是40，它的另外两个角的度数是多少呢？2、等腰三角形的一个角是100，它的另外两个角的度数是多少呢？3、等腰三角形的底边长为7 cm，一腰长的中线把周长分为两部分，其差为3 cm，则等腰三角形的腰长为多少？概念：有两条边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的中线或底边上的高）所在直线是它的对称轴1.等腰三角形2.能根据等腰三
25、角形的概念与性质求等腰三角形的边长、周长及已知一角求其他两角.小结第2课时等腰三角形的判定1.理解并掌握等腰三角形的判定方法2.运用等腰三角形的判定进行证明和计算一、提出问题出示教材第77页“思考”学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？学生猜想它们所对的边相等即如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等如何证明？二、解决问题教师引导提示，学生根据提示画出图形，并写出已知、求证已知：在ABC中，BC.求证：ABAC.与学生一起回顾等腰三角形中常添加的辅助线：底边上的高、顶角平分线、底边上的中线让学生逐一尝试，发现可以作ADBC，或AD
26、平分BAC，但不能作BC边上的中线学生口头证明后，选一种方法写出证明过程如图，在ABC中，BC，作ABC的角平分线AD.三、应用举例1.出示教材例2.引导学生根据命题画出图形，利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明学生讨论后，自己完成证明过程例2求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形已知：CAE是ABC的外角，12，ADBC(如图所示).求证：ABAC.分析：要证明ABAC.可先证明BC.因为12，所以可以设法找出B，C与1，2的关系证明：ADBC，1B(_)，2C(_)而已知12，所以BC.ABAC(_)2.出示教材例3.让学生自学例3.例3已知等腰
27、三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形作法：(1)作线段ABa.(2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D.(3)在MN上取一点C，使DCh.(4)连接AC，BC，则ABC就是所求作的等腰三角形四、课堂小结四、课堂小结1.等腰三角形的判定方法是什么？2.等腰三角形的性质与判定既有区别又有联系，你能总结一下吗？第1课时等边三角形的性质和判定13.3.2 等边三角形1.掌握等边三角形的定义2.理解等边三角形的性质与判定一、问题引入在等腰三角形中，如果底边与腰相等，会得到什么结论？三条边都相等二、自主探究1.等边三角形的定义.底边和腰相等的等腰三角形叫做等边三角形2.思考：
28、一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？三个角都相等，并且每一个角都等于60.3.在ABC中，ABC，你能得到ABBCCA吗？为什么？你从中能得到什么结论？三个角都相等的三角形是等边三角形4.在ABC中，ABAC，A60.(1)求证：ABC是等边三角形.(2)如果把A60改为B60或C60，那么结论还成立吗？(3)根据以上结论，你可以得到什么结论？有一个角是60的等腰三角形是等边三角形三、应用举例1.教材例4.例4如图，ABC是等边三角形，DEBC，分别交AB，AC于点D，E.求证：ADE是等边三角形证明：ABC是等边三角形，ABC.DEBC，ADEB，AEDC，AADEAED，ADE
29、是等边三角形2.归纳：在判定三角形是等边三角形时：(1)若三角形是一般三角形，只要找三个角相等或三条边相等；(2)若三角形是等腰三角形，一般找一个角等于60.四、巩固练习教材第80页练习第1，2题补充题：1.如图，已知等边ABC，点D，E，F分别是各边上的一点，且ADBECF.求证：DEF是等边三角形2.如图，已知等边ABC，点D是AC的中点，且CECD，DFBE.求证：BFEF.第2题图 第1题图 第2课时含30角的直角三角形的性质掌握含30角的直角三角形的性质与应用一、情境导入将两个含30角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形，找出RtABC的直角边BC与斜边AB之间的关系吗？二、探究新知
30、由题意可判定ABD是等边三角形，且AC为边BD上的高，可得BCCD AB.教师归纳：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半你能证明这一结论吗？课堂练习在ABC中，ACB90，A30，CDAB，AB 4，则 BC _，BCD _，BD_小明沿倾斜角为30的山坡从山脚步行到山顶，共走了200 m，求山的高度三、举例分析 出示教材例5.例5如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB7.4 m，A30.立柱BC，DE要多长.1.如图，在RtABC中，A30，ACB90，BD平分ABC，求证：AD2DC.2如图，在ABC中，ABAC
31、，C30，ABAD，AD2 cm，求BC的长第十三章 轴对称13.4 课题学习 最短路径问题【学习目标】能利用轴对称和平移的知识解决路径最短的问题。引言：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”引入新知探究一 将军饮马问题 问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到
32、河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？探索新知BAl追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 探索新知BAl（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？探索新知追问2你能用自己的语言说明这个
33、问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设C 为直线l上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小（如图）BAlC追问1对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB的长度相等？探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？BlA追问2你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B吗？探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线l上的一个动点
34、，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？BlA作法：（1）作点B 关于直线l 的对称 点B；（2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求 探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线l上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？BlABC探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABC证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，BC=BC，BC=BC AC+BC=AC+BC=AB，AC+BC=AC+BC探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABCC探
35、索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？BlABCC证明：在ABC中，ABAC+BC，AC+BCAC+BC即AC+BC 最短若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC 最小 探索新知BlABCC追问1证明AC+BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC+BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 过程、借助什么解决问题的？BlABCC运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返 回P 处，请
36、画出旅游船的最短路径ABCPQ山河岸大桥运用新知基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”ABCPQ山河岸大桥探究2 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。）分析：由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小，这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？可以通过将
37、AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A，则AAMN，AM+NBAN+NB，当AB在一条直线上时，根据“两点之间，线段最短”，可得AN+NB的值最小，则路径AMNB最短。解：在直线a上取任意一点M，作MNb于点N，平移AM，使点M移动到点N的位置，点A移动到点A的位置，连接AB交直线b于点N，过点N作MNa于点M，则路径AMNB最短。理由如下：如图，点M为直线a上任意一点（不与点M重合），线段AN是线段AM平移得到的，AAMN，ANAM,AM+MN+BNAN+AA+BN.MN/AA且MNAA,MN可以看作是AA经过平移得到的,ANAM,AM+NBAN+NB.根据两点之间线段最短，得AN+NBABAN+BN,AM+NBAM+BN.MNMN,AM+MN+NBAM+MN+NB，即路径AMNB最短。