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1、初中数学教学中几何直观能力的培养初中数学教学中几何直观能力的培养 初中部初中部初中部初中部 刘彩艳刘彩艳刘彩艳刘彩艳 20142014年年年年8 8月月月月2828日日日日序序n n义务教育数学课程标准义务教育数学课程标准(2011年版年版)中指出：中指出：“在数学课程中在数学课程中,应当注重发展学生的数感、应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想念、运算能力、推理能力和模型思想”序n n几何直观正成为数学教学研究中生动的、不断几何直观正成为数学教学研究中生动的、不断增长的而且迷人的课题增长的而且迷
2、人的课题.序n n正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：正如荷兰数学家弗莱登塔尔所说：“几何直观几何直观能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可能告诉我们什么是可能重要、可能有意义和可接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠接近的，并使我们在课题、概念与方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦之中免于陷入歧途之苦”序n n在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观来在初中数学课堂教学中，充分利用几何直观来揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何揭示研究对象的性质和关系，使学生认识几何直观在数学学习中的意义和作用，创造出属于直观在数学学习中的意义和作用，创造出属于自己的学习方式，这是初中数学几何直观教学自己的学习方式
3、，这是初中数学几何直观教学的核心所在那么，如何理解几何直观？特别的核心所在那么，如何理解几何直观？特别是在初中数学教学中，如何渗透几何直观的意是在初中数学教学中，如何渗透几何直观的意识和能力呢？识和能力呢？n几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式n几何直观和其他概念的比较几何直观和其他概念的比较n培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式n n标准标准指出：指出：“几何直观主要是指利用图形几何直观主要是指利用图形描述和分析问题描述和分析问题.借助几何
4、直观可以把复杂的借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用挥着重要作用.”几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式n n“几何直观是借助于见到的或想到的几何图形几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系，产生对数量关系的直接感知的形象关系，产生对数量关系的直接感知.”-徐利治徐利治 几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式n n也有学者这么描述
5、：也有学者这么描述：“几何直观是一种思维活几何直观是一种思维活动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的动，是人脑对客观事物及其关系的一种直接的识别或猜想的心理状态识别或猜想的心理状态.”几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式n n几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或几何直观是一种运用图形认识事物的能力，或者说是一种解决数学问题的思维方式者说是一种解决数学问题的思维方式.n n这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时这种能力可外化为一种在解决某些数学问题时的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征的方法，这种方法区别于其他方法的典型特征在于它是以几何图形为工具的在于它是以几何图形为工
6、具的即即“几何几何”两字的意义两字的意义.n n用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的用这种方法解决问题，不是运用几何中常用的论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，论证方法，而是通过经验、观察、想象等途径，直观地感知问题的结果或方向直观地感知问题的结果或方向即即“直观直观”两字的意义两字的意义.几何直观的含义及表现形式几何直观的含义及表现形式整式的乘除整式的乘除一元二次方程的基本概念一元二次方程的基本概念直角坐标系与点的位置直角坐标系与点的位置已知变量的值求函数值已知变量的值求函数值基本函数的概念与性质基本函数的概念与性质特殊三角函数特殊三角函数圆圆点的坐标等等点的坐标等等几何直观的含义
7、及表现形式几何直观的含义及表现形式n n实物直观实物直观n n符号直观符号直观n n图形直观图形直观n n和替代物直观和替代物直观几何直观和其他概念的比较几何直观和其他概念的比较n n几何直观与数形结合几何直观与数形结合n n几何直观与直观几何几何直观与直观几何n n几何直观与空间观念几何直观与空间观念 几何直观和其他概念的比较几何直观和其他概念的比较n n几何直观与数形结合几何直观与数形结合n几何直观的内涵最重要之处是“直接感知”n数形结合是“以形助数”，几何直观和其他概念的比较几何直观和其他概念的比较n n几何直观与直观几何几何直观与直观几何n直观几何是几何学的形态之一，也是一种几何学习的
8、方法 n几何直观则是一种解决数学问题的思维方式，是一种能力.几何直观和其他概念的比较几何直观和其他概念的比较n n几何直观与空间观念几何直观与空间观念 n空间观念是几何教学领域中的一个专用名词，是几何教学的一个重要目标.n几何直观却并非是限于几何领域内的一个名词，它尽管是借助了几何，但却跳出了几何，适用到了更宽广的领域.培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n我国著名的数学家华罗庚说：“形缺数时难入微，数缺形时少直观”几何直观是揭示现代数学本质的有力工具，要培养和发展学生的几何直观，需要依托具体的数学课程教学内容，需要具体落实在课程内容、课堂教学细节之中培养和发展学生
9、几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视图景体验，培养学生的空间想象能力n观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力n用“图”说话，培养学生用“图形语言”来思考问题的能力培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n n重视图景体验，培养学生的空间想象能力重视图景体验，培养学生的空间想象能力n中学数学中的空间想象能力主要是指：学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新的能力初中学生往往缺乏生活经验，因而对几何图形缺少直观，缺少体验 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n n重视图景体验，培养学生的空间想象能力重视图景体验，
10、培养学生的空间想象能力n n进行表象积累，增强感性认识、进行表象积累，增强感性认识、n n比如：关于投影的教学中心投影、平行投比如：关于投影的教学中心投影、平行投影这些概念和学生的生活实际影这些概念和学生的生活实际 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n构建操作实验，获得感官经验n要注重引导学生参与到课堂学习中，在活动中探究，在探究中获得认知、感受和体会老师还必须引导学生自己进行独立的操作实验活动，让他们去比一比、折一折、剪一剪、拼一拼、画一画通过视觉、触觉、听觉等多种分析器官共同参与的操作活动，验证一些原有的猜想或者产生一些新的发现这种“直观”比老师的说教有效得多
11、培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n适当运用多媒体演示，拓展空间想象能力n多媒体演示形象具体，声色兼备，动静结合，恰当地运用，可能变抽象为具体，调动学生各种感官协同作用，拓展学生的空间想象能力 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n观察与思考并重，培养学生的直观洞察能力n几何学习中，学生的直观洞察能力非常重要，这种能力实质上是对几何图形及其结构、关系的想象和判断类似于猜想，主要表现为灵感和顿悟 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n要重视学生基础知识的训练n扎实的基础知识是产生直觉的源泉，没有深厚的功底，是不
12、会迸发出直觉的思维，也就无法提高学生的直观洞察力 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n要注重事实引导学生进行合理猜想n真正的科学探究应是建立在思维的逻辑性和科学基础上的有效探究而有效探究的实施前提是必须建立在提出符合逻辑性和科学性的合理猜想的基础之上 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n要注意观察与思考并重n直观洞察力的产生要依赖于对几何图形全面及本质的把握没有观察就没有发现，更不会有创造但观察必须与思考相结合，没有思考的观察就不是真正意义的观察 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n用“图”说话，培养学生
13、用“图形语言”来思考问题的能力n希尔伯特在直观几何中曾谈到：“图形可以帮助刻画和描述问题，一旦用图形把一个问题描述清楚，就有可能使这个问题变得直观、简单”用图形“说话”，用图形描述问题，用图形讨论问题，这是一种基本的数学素质 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n打扎实学生的知识基础尤其是图形知识这一块。n扎实的基础是产生直觉的源泉，若没有深厚的功底，是不会迸发出直觉思维的火花，也就提高不了学生的直观洞察能力。培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视直观图形与数学符号的合情转换。如在学生学习正比例函数图像时，先引导学生用“描点法”画出一
14、幅表示正比例函数的图像，培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视数与形的结合。比如不等式组的解法，借助数轴可以很直观的得出结论。二次不等式问题，没有坐标系也很难掌握其解法。在认真的审题的基础上，通过出示直观图，巧妙借助几何直观，培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视解题教学。教学中选择适当的题目类型，有利于培养、考察学生的直观洞察力。例如选择题，由于只要求从四个选择支中挑选出来，省略解题过程，容许合理的猜想，有利于直观思维的发展，实施开放性问题教学，也是培养直观洞察力的有效方法。培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观
15、能力的实践n例如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图象是（）n根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢故选C培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n利用图形来记忆基础知识n 几何的很多定理、公理、定义等学生很难记清楚，通过指导学生利用图形来记忆就比较容易解决问题，同时也培养了学生用图形的意识。n 函数中的性质对于学生来说，也相当难以记住，而且也相当容易混淆它们之间的关系。利用指数函数与对数函数的图象比较形象直观理解与记忆了它们的性质。培养和
16、发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视图感训练，培养学生的读图、作图能力n几何直观在本质上是一种通过图形所展开想象的能力，它与许多重要的数学内容紧密相连因此，我们在教学中应重视学生“图感”的训练在日常的教学中，要帮助学生从小养成良好的画图习惯如直线公理的理解，探索平面内的n个点，可以画多少条线段，通过点的位置不断变化，发现重要的结论：平面内有n个点，可以画条线段，与点的位置无关，只与点的数量有关。培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视三种几何语言的转化，培养学生用图形说话的能力n几何语言的基本形式有：图形语言、文字语言、符号语言这三种语
17、言在几何中是并存的，通常又是相互渗透和转化的 培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n重视数形结合，培养学生用“图形”思考问题n数形结合是研究数学和数学教学中的重要思维原则之一几何直观与数学的内容紧密相连一些重要的数学内容、概念，培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n分析：这道题如果用代数方法解决相当思想困难，但我们可以用几何的方法把这道题直观表示出来n点评：这样我们就将数学语言与直观的几何图形结合了起来在应用转化
18、策略解决问题的同时，巧妙借用几何直观，把复杂的问题转化成简单的问题，可以培养学生初步的几何直观能力培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n培养和发展学生几何直观能力的误区 n为了直观而直观n要注意误差的干扰n要注意直观背后的的数学理性培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n美国魔术师保罗卡瑞曾经提出这样的一个问题：如图 5是正文形可以按图中标出名字的数据分割成五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，怎么又多出了一个洞！这次斜线处并无重合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？培养和发展学生几何直观能力的实践培养和发展学生几何直观能力的实践n图5中的
19、斜线并不是严格在交叉点上，在分隔点上依次是2、12/7、10/7、8/7、6/7、4/7、2/7n所以图6的正方形的长度应该是2+(6-6/7)=2+36/7=7+1/7，而不是7n所以图6的面积就是7(7+1/7)=50，多出来的面积就是这样出来的。初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n提升教师意识，注入动力提升教师意识，注入动力n例如：一位教师评讲北师大版七年级上册第一例如：一位教师评讲北师大版七年级上册第一章丰富的图形世界习题章丰富的图形世界习题1.6中的一道题中的一道题.问题是：问题是：一个小正方体的六面分别标有字母一个小正方体的六面分别标有字母A、B、C、
20、D、E、F.如图如图1是从不同方向看到的情形，你是从不同方向看到的情形，你能说出能说出A、B、E对面分别是什么字母吗？你是对面分别是什么字母吗？你是怎样判断的？怎样判断的？初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n该教师是这样处理的，先找出与A相邻的四个字母B、D、E、F，剩下的C就是与A相对的面的字母，再找另外两个答案，结束后又让学生练习了一道相关的习题.但是学生理解得不好，原因是他们的空间想像能力还比较差，不易接受.其实，教师可以随手把讲桌上的粉笔盒当作正方体，让学生按照图中的标注在各个面上写上相应的字母，问题便迎刃而解.这充分说明学情的了解对培养学生几何直观能力的
21、重要性.初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n在教学活动中，一些教师懒得画图、不想演示、不愿操作等等，教师认识不到该能力培养的重要性，缺乏运用几何直观分析问题的意识，便捕捉不到教学中培养学生几何直观能力的机会，更谈不上对学生几何直观能力的培养.因此，提升教师这些方面的意识是培养初中生几何直观能力最有效的途径.初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n合理编写教材，搭建平台合理编写教材，搭建平台 n如图2，几个四边形是同一个四边形缩小（保持形状不变）而得到的，最终图形可以看成是由同一点出发的四条射线，显然，此时四个外角的和为周角360.此习题设
22、计恰到好处，四边形的外角和从图形缩小变换中直接得出结论，很是巧妙，还可以让学生用此法思考多边形的外角和.这就给学生提供了一种运用几何直观解决问题的方法.初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n参与实验活动，内化能力参与实验活动，内化能力n在讲解：计算这道题时，教师往往会呈现如右在讲解：计算这道题时，教师往往会呈现如右的一个正方形图形（图的一个正方形图形（图3），引导学生观察图），引导学生观察图形，分析得出就等于的结果，运用几何直观巧形，分析得出就等于的结果，运用几何直观巧妙转化了，计算难度大大降低了妙转化
23、了，计算难度大大降低了.初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n改革评价制度，减少阻力改革评价制度，减少阻力n现行用人制度中的唯文凭论，导致教育的应试现行用人制度中的唯文凭论，导致教育的应试性，造成学校、家长、社会评价教师能力、教性，造成学校、家长、社会评价教师能力、教学水平的唯一标准就是学生的分数，这束缚了学水平的唯一标准就是学生的分数，这束缚了教师的手脚教师的手脚.即使教师认识到培养学生几何直即使教师认识到培养学生几何直观能力的重要性，也不会花更多的精力、时间观能力的重要性，也不会花更多的精力、时间来培养它，因为考试时很难考察学生这方面的来培养它，因为考试时很难考
24、察学生这方面的能力能力.初中生几何直观能力培养的有效途径初中生几何直观能力培养的有效途径n认识直观局限，避入误区认识直观局限，避入误区n八年级下册第六章习题八年级下册第六章习题6.1第第1题：（题：（1）图）图5中中两条线段与的长度相等吗？（两条线段与的长度相等吗？（2）图）图6中的四边中的四边形是正方形吗？形是正方形吗？直观是前提 抽象是本质 适度是关键苏霍姆林斯基：苏霍姆林斯基：给教师的建议给教师的建议一书一书谈谈直观性问题谈谈直观性问题 物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住物体的直观形象本身，也可能把学生的注意力吸引住一个相当长的时间，但是运用直观的手段绝不是为了整节一个相当长
25、的时间，但是运用直观的手段绝不是为了整节课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是课地抓住学生的注意不放。在课堂上引进直观手段，倒是为了在教学的某一个阶段上是儿童摆脱形象，在思维上过为了在教学的某一个阶段上是儿童摆脱形象，在思维上过渡到概括性的真理和规律上去。渡到概括性的真理和规律上去。乌申斯基说，儿童是乌申斯基说，儿童是“用形式、声音、色彩和感觉用形式、声音、色彩和感觉”思维的。直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它思维的。直观性是一种发展观察力和发展思维的力量，它能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的能给认识带来一种情绪色彩。如果不形成发达的、丰富的情绪记忆，就谈不
26、上童年时期的完满的智力发展。情绪记忆，就谈不上童年时期的完满的智力发展。几何直观是数学中生动的、不断增长的而且几何直观是数学中生动的、不断增长的而且迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超迷人的课题，在内容上、意义上和方法上远远超出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观出对几何图形本身的研究意义。相信对几何直观的研究能够成为数学教育的核心问题。的研究能够成为数学教育的核心问题。秦德生、孔凡哲秦德生、孔凡哲 关于几何直观的思考关于几何直观的思考，刊刊中学数学教学参考中学数学教学参考2005年第年第10期期结束语n n几何直观的培养不是一朝一夕的事，在教学中，几何直观的培养不是一朝一夕的事，在教学中，应根据学生的认识，采用多种教学手段，教学应根据学生的认识，采用多种教学手段，教学方法，引导学生运用多种感官积极主地参与到方法，引导学生运用多种感官积极主地参与到教学活动中来，协调活动，促使学生对几何图教学活动中来，协调活动，促使学生对几何图形的体有深刻的认识，使几何形体在头脑中从形的体有深刻的认识，使几何形体在头脑中从“简约简约”走向走向“丰盈丰盈”，这样才能更有效地培，这样才能更有效地培养学生的空间观念和几何直观养学生的空间观念和几何直观