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1、二维柯西不等式二维柯西不等式 经典不等式经典不等式 当且仅当a=b取等号=二维形式柯西二维形式柯西不等式不等式Augustin-Louis CauchyCauchy大数学家柯西（Cauchy)法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。在中学数学中的主要贡献：1.对函数中的自变量命名，给出函数连续性的严格定义2.给出连续函数定积分定义，并简洁而严格证明微积分基本定理N-L公式3.对经典不等式的卓越贡献-如Cauchy不等式 Augustin-Louis Cauchy柯西柯西不等式的向
2、量形式不等式的向量形式二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式结构特点：实数结构特点：实数平方和的乘积不小于平方和的乘积不小于实数实数乘积和的平方乘积和的平方讨论：讨论：1、柯西不等式有哪些变形？柯西不等式有哪些变形？2、若取若取c=d=1,会得到怎样的不等式；会得到怎样的不等式；取取c=b,d=a呢？呢？口答口答使使用用柯柯西西不不等等式式的的关关键键是是恰恰当当变变形形，化化为为符符合合它它的的结结构构形形式式，当当一一个个式式子子与与柯柯西西不不等等式式的的左左边边或或右右边边具具有有一一致致形形式式时时，就就可可使使用柯西不等式用柯西不等式随堂练习：课堂小课堂小 结结三、思想方法总结：
3、三、思想方法总结：一、柯西不等式一、柯西不等式结构特点：结构特点：等号成立的条件：等号成立的条件：二、应用二、应用证明不等式证明不等式数形结合、等价转化数形结合、等价转化 向量形向量形式式实数的实数的平方和平方和的乘积不的乘积不小于小于实数实数乘积乘积和的平方和的平方求最值求最值二维形式的二维形式的柯西不等式柯西不等式人教版选修人教版选修4-5说课流程说课流程教材分析教材分析教学目标教学目标教法与学法分析教法与学法分析教学过程的设计教学过程的设计教学评价教学评价板书设计板书设计 （一）教材的地位和作用（一）教材的地位和作用 一、教材分析一、教材分析 二维形式的二维形式的柯西不等式柯西不等式是人
4、教版选修是人教版选修4-54-5第三讲第第三讲第1 1节的内容，是学生继学习均值不等式之节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式。它在教材中起着承后学习的又一个经典不等式。它在教材中起着承前启后的作用。一方面巩固了前面证明不等式及前启后的作用。一方面巩固了前面证明不等式及其求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三其求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三维形式柯西不等式及一般形式的柯西不等式，有维形式柯西不等式及一般形式的柯西不等式，有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备学生不仅掌握
5、了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察分析逻辑推理能力了一定的观察分析逻辑推理能力（二）学情分析能力层面能力层面：学生对柯西不等式的向量形式有一定的认识，这是学生对柯西不等式的向量形式有一定的认识，这是学生知识的最近发展区。学生知识的最近发展区。情感层面情感层面：学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，学生对数学新内容的学习有相当的兴趣和积极性，但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均但探究问题的能力以及合作交流等方面发展不够均衡，有待加强。衡，有待加强。知识层面知识层面：一、教材分析一、教材分析教学重点：教学重点：教学难点：教学难点：一、教材分析一、教材分析二维形式的柯二维形式的
6、柯西不等式西不等式 ；二维形式的柯二维形式的柯西不等式的向西不等式的向量形式量形式数形结合的认识两数形结合的认识两种形式的等价关系；种形式的等价关系；应用柯西不等式求应用柯西不等式求最值最值 知识与技能知识与技能过程与方法过程与方法 情感态度价值观情感态度价值观简单介绍法国数学家柯简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学西，渗透数学史和数学文化。文化。二、教学目标二、教学目标认识二维柯西不等式的认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几种不同形式，理解其几何意义。几何意义。能用二维柯西不等式解能用二维柯西不等式解决一些简单的问题，体决一些简单的问题，体会运用柯西不等式的一会运用柯西不等式的一般
7、方法，发现具体问题般方法，发现具体问题与柯西不等式之间的联与柯西不等式之间的联系经过适当变形，以柯系经过适当变形，以柯西不等式为依据，得出西不等式为依据，得出具体问题中的不等关系具体问题中的不等关系及求最值问题。及求最值问题。通过创设情境提出通过创设情境提出问题，然后探索解决问题，然后探索解决问题的方法，培养学问题的方法，培养学生独立思考能力和逻生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结辑推理能力及数形结合能力。合能力。问题引导实例研究分析问题实际应用等形式，培养学习兴趣，调动学生学习的积极性1教学方法问题研究、小组讨论合作学习、理论应用实践解决实际问题2学习方法 三、教法、学法分析三、教法、学法分
8、析情景引入情景引入1师生互动师生互动探究问题探究问题2讲练结合讲练结合巩固新知巩固新知4解决问题解决问题3小结归纳小结归纳5 四、教学过程四、教学过程 教学过程教学过程5布置作业布置作业6 6经典不等式经典不等式 当且仅当a=b取等号1、创设情景，引入新课、创设情景，引入新课=设计意图：设计这个情境的目的是在引入课题的同时，由旧知带动新知，调动学习的积极性内容紧扣本节课的主题与重点二维形式柯西二维形式柯西不等式不等式Augustin-Louis CauchyCauchy2 2、师生互动，探究问题、师生互动，探究问题大数学家柯西（Cauchy)法国数学家、力学家。1789年8月21日生于巴黎，1
9、857年5月23日卒于索镇。曾为巴黎综合工科学校教授，当选为法国科学院院士。曾任国王查理十世的家庭教师。在中学数学中的主要贡献：1.对函数中的自变量命名，给出函数连续性的严格定义2.给出连续函数定积分定义，并简洁而严格证明微积分基本定理N-L公式3.对经典不等式的卓越贡献-如Cauchy不等式 Augustin-Louis Cauchy柯西柯西不等式的向量形式不等式的向量形式设计意图：柯西不等式较难。该设计利用学生的“最近发展区”，学生所熟悉的向量引入巧妙地化解了困难，同时有效地整合了教材，使两个知识点的讲解浑然一体。突破了教学难点，突出了重点。另外引导学生知识迁移。二维形式的柯西不等式二维形
10、式的柯西不等式结构特点：实数结构特点：实数平方和的乘积不小于平方和的乘积不小于实数实数乘积和的平方乘积和的平方讨论：讨论：1、柯西不等式有哪些变形？柯西不等式有哪些变形？2、若取若取c=d=1,会得到怎样的不等式；会得到怎样的不等式；取取c=b,d=a呢？呢？设计意图：由柯西不等式可以推广到均值不等式链.口答口答设计意图：因为柯西式子较长，学生不易掌握。设计填空口答就在于让学生当堂认清柯西不等式的结构特征，熟悉不等式，为后面的证明、求最值做准备。设计意图：采用变式教学题组，设计意图：采用变式教学题组，深化学生对公式的认识和理解，通深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式，变式运用公式，研究
11、公式特点这三个层次，促进过直接套用公式，变式运用公式，研究公式特点这三个层次，促进学生新的数学认知结构的形成学生新的数学认知结构的形成.设计意图：配凑后利用柯西不等式、其它方法设计意图：配凑后利用柯西不等式、其它方法 （数形结合法）方法（数形结合法）方法等。提醒学生要仔细观察柯西不等式的形式，灵活运用。等。提醒学生要仔细观察柯西不等式的形式，灵活运用。总结归纳，加深理解总结归纳，加深理解 提出问题，引导学生回顾公式及其推导提出问题，引导学生回顾公式及其推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知方法，鼓励学生积极回答，然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结识点及数学思想方法两方面总结设计意图
12、：设计意图：此环节培养学生的口头表达能力，归纳概括能力.6 6、课后作业，分层练习、课后作业，分层练习 设计意图：设计意图：有层次的布置作业，既使学生掌握基础知识，又有层次的布置作业，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的同学有所提高。使学有余力的同学有所提高。五、教学评价 本节课是在学生已有知识的基础上学习的，在教学过程中，通过自主探究，合作交流，充分调动学生的积极性和主动性，及时吸收反馈信息，并通过学生的自评，互评，让内部动机和外界刺激协调作用，促进其数学素养不断提高。六、板书设计六、板书设计3.1二维形式的二维形式的柯西不等式柯西不等式1公式推导公式推导2公式分类公式分类3公式运用公式运用例例1例例24课堂小结课堂小结 及课后作业及课后作业