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1、有限元简介有限元简介人类思维的局限性难以人类思维的局限性难以人类思维的局限性难以人类思维的局限性难以把握越来越复杂的事物！把握越来越复杂的事物！把握越来越复杂的事物！把握越来越复杂的事物！离散化的思想离散化的思想1.把整个系统分割成独立的把整个系统分割成独立的把整个系统分割成独立的把整个系统分割成独立的“成分成分成分成分”或者或者或者或者“单单单单元元元元”。2.然后把这些独立的然后把这些独立的然后把这些独立的然后把这些独立的“成分成分成分成分”重新组装还原重新组装还原重新组装还原重新组装还原为原系统，研究原系统的性质。为原系统，研究原系统的性质。为原系统，研究原系统的性质。为原系统，研究原系
2、统的性质。这种普通的方法常常被工程师、科学家、这种普通的方法常常被工程师、科学家、这种普通的方法常常被工程师、科学家、这种普通的方法常常被工程师、科学家、甚至是经济学家使用。甚至是经济学家使用。甚至是经济学家使用。甚至是经济学家使用。两种思维方式两种思维方式使用有限数量的定义明确的使用有限数量的定义明确的“成分成分”建立模建立模型型离散化离散化在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或在无穷小处应用数学假设，建立微分方程或者平衡条件者平衡条件者平衡条件者平衡条件连续化（无穷小也可看成有连续化（无穷小也可看成有连续化（无穷小
3、也可看成有连续化（无穷小也可看成有限个单元）限个单元）限个单元）限个单元）随着计算机的发展，离散化的处理随着计算机的发展，离散化的处理随着计算机的发展，离散化的处理随着计算机的发展，离散化的处理问题可以比较容易的解答，即使单问题可以比较容易的解答，即使单问题可以比较容易的解答，即使单问题可以比较容易的解答，即使单元的数量非常多。元的数量非常多。元的数量非常多。元的数量非常多。而连续化的问题仅仅适用于手算计算而连续化的问题仅仅适用于手算计算而连续化的问题仅仅适用于手算计算而连续化的问题仅仅适用于手算计算过度的简化实际情况过度的简化实际情况过度的简化实际情况过度的简化实际情况工程师和数学家都在为能
4、够解工程师和数学家都在为能够解决现实中连续化的问题而努力决现实中连续化的问题而努力工程师处理结构问题的一个标准方法是：工程师处理结构问题的一个标准方法是：工程师处理结构问题的一个标准方法是：工程师处理结构问题的一个标准方法是：计算每一个单元的计算每一个单元的计算每一个单元的计算每一个单元的力和位移的关系力和位移的关系力和位移的关系力和位移的关系根据结构在根据结构在根据结构在根据结构在“结点结点结点结点”或者或者或者或者“连接处连接处连接处连接处”的局部的局部的局部的局部平衡方程建立总体平衡方程平衡方程建立总体平衡方程平衡方程建立总体平衡方程平衡方程建立总体平衡方程测试函数测试函数测试函数测试函
5、数变分法变分法变分法变分法瑞雷法瑞雷法瑞雷法瑞雷法18701870李兹法李兹法李兹法李兹法19091909加权残数加权残数加权残数加权残数高斯高斯高斯高斯17951795伽辽金伽辽金伽辽金伽辽金19091909BiezenoBiezeno-koch koch 19231923精确的连续精确的连续精确的连续精确的连续测试函数测试函数测试函数测试函数柯朗柯朗柯朗柯朗 1943 1943有限差有限差有限差有限差Richardson 1910Richardson 1910LiebmanLiebman 1918 1918变分有限差变分有限差变分有限差变分有限差VargaVarga 1962 1962结构
6、类比替代法结构类比替代法结构类比替代法结构类比替代法Hrenikoff Hrenikoff 19411941McHenry 1943 McHenry 1943 NewmarkNewmark 1949 1949定向连续单元定向连续单元定向连续单元定向连续单元ArgyrisArgyris 1949 1949Turner 1956Turner 1956现在的有限元方法现在的有限元方法现在的有限元方法现在的有限元方法第十章第十章 矩阵位移法矩阵位移法力法和位移法都是传统的结构力学基本方法，力法和位移法都是传统的结构力学基本方法，力法和位移法都是传统的结构力学基本方法，力法和位移法都是传统的结构力学基本
7、方法，适合于手算计算。适合于手算计算。适合于手算计算。适合于手算计算。电算的方法是电算的方法是电算的方法是电算的方法是“结构矩阵分析结构矩阵分析结构矩阵分析结构矩阵分析”，它更适合计，它更适合计，它更适合计，它更适合计算机编程。算机编程。算机编程。算机编程。杆件结构的矩阵分析杆件结构的矩阵分析杆件结构的矩阵分析杆件结构的矩阵分析杆有限元法杆有限元法杆有限元法杆有限元法1)把结构分解为有限个较小的单元，即进把结构分解为有限个较小的单元，即进把结构分解为有限个较小的单元，即进把结构分解为有限个较小的单元，即进行所谓离散化。行所谓离散化。行所谓离散化。行所谓离散化。2)把各单元又集合成原来的结构，这
8、就要各单把各单元又集合成原来的结构，这就要各单把各单元又集合成原来的结构，这就要各单把各单元又集合成原来的结构，这就要各单元满足原结构的集合条件。元满足原结构的集合条件。元满足原结构的集合条件。元满足原结构的集合条件。整体分析。整体分析。整体分析。整体分析。分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵分析单元内力与位移的关系，建立单元刚度矩阵单元分析。单元分析。单元分析。单元分析。10.1 10.1 概述概述概述概述10102 2 单元刚度矩阵单元刚度矩阵写出力和位移的关系写出力和位移的关系这称为单元的刚度方程这
9、称为单元的刚度方程需要将单元在局部坐标需要将单元在局部坐标需要将单元在局部坐标需要将单元在局部坐标下的刚度距阵变换到整下的刚度距阵变换到整下的刚度距阵变换到整下的刚度距阵变换到整体坐标下的刚度距阵体坐标下的刚度距阵体坐标下的刚度距阵体坐标下的刚度距阵10103 3 单元刚度距阵的坐标变换单元刚度距阵的坐标变换杆端力的变换杆端力的变换杆端力的变换杆端力的变换写成矩阵形式写成矩阵形式杆端位移杆端位移杆端位移杆端位移局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：局部坐标系下杆端力和杆端位移之间的关系是：代入上面两个整体坐
10、标和局部坐标代入上面两个整体坐标和局部坐标代入上面两个整体坐标和局部坐标代入上面两个整体坐标和局部坐标下杆端力和位移的转换公式：下杆端力和位移的转换公式：下杆端力和位移的转换公式：下杆端力和位移的转换公式：两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘两边同时左乘T-1 1由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我由于整体分析是在结点处建立平衡方程，我们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。们以结点为单位将矩阵写成分块的形式。i ji ji ij j10-4 10-
11、4 结构的原始刚度矩阵结构的原始刚度矩阵矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。矩阵位移法是以结点位移为基本未知量的。为了很好的统计未知量并建立各个结点之间为了很好的统计未知量并建立各个结点之间为了很好的统计未知量并建立各个结点之间为了很好的统计未知量并建立各个结点之间的联系关系，需要对单元和结点进行编号的联系关系，需要对单元和结点进行编号的联系关系，需要对单元和结点进行编号的联系关系，需要对单元和结点进行编号自顶向下，逐步求精。自顶向下，逐步求精。确定位移分量和力分量确定位移分量和力分量确定位移分量和力分量确定位移分量
12、和力分量4 4 4 4个结点个结点个结点个结点考虑结构各个结点处的平衡条件考虑结构各个结点处的平衡条件考虑结构各个结点处的平衡条件考虑结构各个结点处的平衡条件2 2 2 2结点处的平衡条件：结点处的平衡条件：结点处的平衡条件：结点处的平衡条件：矩阵形式矩阵形式矩阵形式矩阵形式求杆端力向量求杆端力向量求杆端力向量求杆端力向量F F F F根据结点处的变形协调根据结点处的变形协调根据结点处的变形协调根据结点处的变形协调代入代入代入代入F F2 2得到以位移表示的结点得到以位移表示的结点得到以位移表示的结点得到以位移表示的结点2 2 2 2的平衡方程的平衡方程的平衡方程的平衡方程同理可得同理可得同理
13、可得同理可得1 1 1 1、3 3 3 3、4 4 4 4结点处的结点处的结点处的结点处的平衡方程平衡方程平衡方程平衡方程结点力和结点结点力和结点结点力和结点结点力和结点位移的关系位移的关系位移的关系位移的关系总体刚度距阵总体刚度距阵总体刚度距阵总体刚度距阵如何得到总体刚度矩阵？如何得到总体刚度矩阵？如何得到总体刚度矩阵？如何得到总体刚度矩阵？对号入座对号入座对号入座对号入座10-5 10-5 支承条件的引入支承条件的引入F F已知结点荷载已知结点荷载已知结点荷载已知结点荷载未知结点位移未知结点位移未知结点位移未知结点位移求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。求出结点位移后，可由单
14、元刚度方程计算各单元的内力。求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。求出结点位移后，可由单元刚度方程计算各单元的内力。或者或者或者或者10106 6 非结点荷载的处理非结点荷载的处理结点固端力结点固端力结点固端力结点固端力等效结点荷载等效结点荷载等效结点荷载等效结点荷载将固端力反号，对号入座将固端力反号，对号入座将固端力反号，对号入座将固端力反号，对号入座放到结点放到结点放到结点放到结点荷载列阵荷载列阵荷载列阵荷载列阵中去。中去。中去。中去。叠加上原来作用叠加上原来作用叠加上原来作用叠加上原来作用在结点上的荷载。在结点上的荷载。在结点上的荷载。在结点上的荷载。综合结点荷载综合结点荷载
15、综合结点荷载综合结点荷载最后的单元固端力是固端力与综合结点荷最后的单元固端力是固端力与综合结点荷最后的单元固端力是固端力与综合结点荷最后的单元固端力是固端力与综合结点荷载作用下产生的杆端力之和载作用下产生的杆端力之和载作用下产生的杆端力之和载作用下产生的杆端力之和整体坐标系下整体坐标系下整体坐标系下整体坐标系下局部坐标系下局部坐标系下局部坐标系下局部坐标系下10107 7 矩阵位移法的计算步骤及示例矩阵位移法的计算步骤及示例1.对结点和单元进行编号，选定对结点和单元进行编号，选定对结点和单元进行编号，选定对结点和单元进行编号，选定整体坐标系和局部坐标系。整体坐标系和局部坐标系。整体坐标系和局部
16、坐标系。整体坐标系和局部坐标系。2.计算各杆的单元刚度矩阵计算各杆的单元刚度矩阵计算各杆的单元刚度矩阵计算各杆的单元刚度矩阵K Ke e3.形成结构的原始刚度矩阵。形成结构的原始刚度矩阵。形成结构的原始刚度矩阵。形成结构的原始刚度矩阵。4.计算固端力，等效结点荷载及计算固端力，等效结点荷载及计算固端力，等效结点荷载及计算固端力，等效结点荷载及综合结点荷载综合结点荷载综合结点荷载综合结点荷载5.引入支承条件，修改结构原始刚度引入支承条件，修改结构原始刚度引入支承条件，修改结构原始刚度引入支承条件，修改结构原始刚度方程。（划去支座编号的行和列）方程。（划去支座编号的行和列）方程。（划去支座编号的行和列）方程。（划去支座编号的行和列）6.求解结构刚度方程，求出结点位移。求解结构刚度方程，求出结点位移。求解结构刚度方程，求出结点位移。求解结构刚度方程，求出结点位移。7.计算各单元杆端力计算各单元杆端力计算各单元杆端力计算各单元杆端力