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1、在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确计数的基本原理排列组合排列数Pnm公式组合数Cnm公式组合数的两个性质应用本章知识结构在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.分类加法计数原理分类加法计数原理完完成成一一件件事事,有有n类类办办法法,在在第第1类类办办法法中中有有m1种种不不同同的的方方法法,在在第第2类类办办法法中中有有m2种种不不同同的的方方法法，在在第第n类类办办法法中中有有mn种种不不同同的的方方法法,那那么么完完成成这这件件事事共共有有N=
2、种不同的方法种不同的方法.2.分步乘法计数原理分步乘法计数原理完完成成一一件件事事,需需要要分分成成n个个步步骤骤,做做第第1步步有有m1种种不不同同的的方方法法,做做第第2步步有有m2种种不不同同的的方方法法，,做做第第n步步有有mn种不同的方法种不同的方法,那么完成这件事共有那么完成这件事共有N=种不同的方法种不同的方法.m1+m2+m3+mnm1m2mn一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确3.分类和分步的区别分类和分步的区别分分类类：完完成成一一件件事事同同时时存存在在n类类方方法法，每每一一
3、类类都都能能独独立立完完成成这这件件事事，各各类类互互不不相相关关.分分步步：完完成成一一件件事事须须按按先先后后顺顺序序分分n步步进进行行，每每一一步步缺缺一一不不可可，只有当所有步骤完成，这件事才完成只有当所有步骤完成，这件事才完成.一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习练习1：书架上放有书架上放有3本不同的数学书，本不同的数学书，5本本不同的语文书，不同的语文书，6本不同的英语书本不同的英语书（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？取法？（2）若
4、从这些书中，取数学书、语文书、英语）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？少种不同的取法？答案：答案：Nm1m2m335614N=m1m2m3=90N=353656=63一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习练习2：由数字由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？位整数（各位上的数字允许重复）？解
5、：解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步第一步确定百位上的数字，从确定百位上的数字，从14这这4个数字中任选一个数个数字中任选一个数字，有字，有4种选法；种选法；第二步第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选种选法；法；第三步第三步确定个位上的数字，仍有确定个位上的数字，仍有5种选法根据乘法原理，种选法根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是得到可以组成的三位整数的个数是N=455=100答：可以组成答：可以组成100个三位整数个三位整数一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生
6、带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确题型一题型一 利用两个计数原理求方法数利用两个计数原理求方法数例例1（1）现现要要排排一一份份天天的的值值班班表表，每每天天有有一一人人值值班班，共共有有人人，每每人人可可以以多多天天值值班班或或不不值值班班，但但相相邻邻两两天天不不准准由由同同一一人人值值班班，问此值班表共有问此值班表共有种不同排法种不同排法.1280一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(1)值值班班表表须须依依题题设设一一天天一一天天的的分分步步完完成成.
7、第第一一天天有有5人人可可选选，有有5种种排排法法，第第二二天天不不能能用用第第一一天天的的人人，有有4种种排排法法，同同理理，第第三三天天、第第四四天天、第第五五天天也也有有4种种，故故由由分分步步计计数数原原理理排排值值班班表表共共有有54444=1280种，应填种，应填1280.一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)设另两边长为设另两边长为x、y,且且1xy11(x、yZ)，构构 成成 三三 角角 形形，则则 x+y12，当当 y取取 11时时，x=1,2,3,11,有有11个个;当当y取
8、取10时时，x=2,3,10,有有个个;当当y取取9时时，x=3,4,9,共共7个个;当当y取取6时时，x也也只只能能为为6，有有1个个，故故满满足足题题设设的的三三角角形形共共有有：11+9+7+5+3+1=36个个，故故选选C.(2)三三角角形形的的三三边边长长均均为为整整数数,且且最最长长的的边边长为长为11,则这样的三角形的个数有则这样的三角形的个数有()A.25个个B.26个个C.36个个D.37个个C（1）是分步问题，用分步计数原）是分步问题，用分步计数原理理;(2)是分类问题，用分类计数原理是分类问题，用分类计数原理.一、两个原理一、两个原理在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着
9、问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确 从从n个不同的元素中，任取个不同的元素中，任取M个元素，个元素，按照一定的按照一定的顺序顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个个不同的元素中取出不同的元素中取出M个元素的一个个元素的一个排列排列。二、排列与排列数二、排列与排列数所有排列的个数叫做所有排列的个数叫做排列数排列数，用，用表示。表示。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(3)排列数计算公式排列数计算公式.=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=(其中其中mn).()若若m=n，排列称为，排
10、列称为全排列全排列，记，记=123(n-1)n=n!(称为称为n的阶乘的阶乘)；()规定规定0!1.二、二、排列与排列数排列与排列数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确从从n个个不不同同元元素素中中，取取出出m(mn)个个不不同同元元素素组组成成一一组组，叫叫做做从从n个个不不同同元元素素中中取取出出m个个元元素素的的一一个个组合组合.所有组合的个数叫做所有组合的个数叫做组合数组合数,用符号用符号表示表示.组合与组合数组合与组合数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出
11、的问题也很明确(3)组合数计数公式组合数计数公式.=.=.规定规定=1.(4)组合数的两个性质组合数的两个性质.()=;()=+.组合与组合数组合与组合数在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确排排列列与与组组合合的的共共同同点点是是“从从n个个不不同同元元素素中中，任任取取m个个不不同同元元素素”；而而不不同同点点是是排排列列要要“按按照照一一定定的的顺顺序序排排成成一一列列”，而而组组合合却却是是“只只需需组组成成一一组组（与与顺顺序序无无关关）”.因因此此，“有有序序”与与“无无序序”是是排排列列与与组组合合的的重重要要
12、标标志志.“”为为排排列列问问题题,“”为组合问题为组合问题.有序有序无序无序排列与组合的区别排列与组合的区别在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确题型二题型二 排列、组合数方程问题排列、组合数方程问题例例2解下列方程：解下列方程：(1)=140;(2)=+.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(1)根据排列的意义及公式得根据排列的意义及公式得42x+13x(2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140 x(x-1)(x-2),x(4x-23)(x-3
13、)=0,解之并检验得解之并检验得x=3.则有则有在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)由组合数的性质可得由组合数的性质可得+=+=+.又又=,所以所以=+,即即+=+,所以所以=，所以所以5=x+2,x=3,经检验知经检验知x=3.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确凡凡遇遇到到解解排排列列、组组合合的的方方程程,不不等等式式问问题题时时，应应首首先先应应用用性性质质和和排排列列、组组合合的的计计算算公公式式进进行行变变形形与与化化简简，并并注注意
14、意有有关关解解排排列列、组组合合的的方方程程、不不等等式式问问题题，最最后后结结果果都都需需要检验要检验.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确题型三题型三 结合两个计数原理求结合两个计数原理求排列、组合问题的方法数排列、组合问题的方法数例例3用用0,1,2,3,4这这五五个个数数字字，可可以以组组成成多多少少个个满满足足下下列列条条件件的的没没有有重重复复数数字的五位数：字的五位数：(1)比比21034大的偶数；大的偶数；(2)左起第二位、第四位是奇数的偶数左起第二位、第四位是奇数的偶数.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生
15、带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(1)（方法一）可分五类（方法一）可分五类:当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是2,+=6(个个);当末位数字是当末位数字是0,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有=12(个个);当末位数字是当末位数字是2,而首位数字是而首位数字是3或或4,有有=12(个个);当末位数字是当末位数字是,而首位数字是而首位数字是2,有有+=3(个个);当末位数字是当末位数字是4,而首位数字是而首位数字是3，有，有=6(个个).故有故有6+12+12+3+6=39(个个).在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，
16、而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(方法二方法二)不大于不大于21034的偶数可分为三类：的偶数可分为三类：1为万位数字的偶数，有为万位数字的偶数，有=18(个个);2为万位数字，而千位数字是为万位数字，而千位数字是0的偶数，有的偶数，有=2(个个);还有还有21034本身本身.而由而由0,1,2,3,4组成的五位偶数共有组成的五位偶数共有+=60(个个).故满足条件的五位偶数共有故满足条件的五位偶数共有60-1=39(个个).在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(2)（方法一）可分两类（方法一）可
17、分两类:0是末位数，有是末位数，有=4（个）；（个）；或是末位数，有或是末位数，有=4(个个).故共有故共有4+4=8(个个).(方方法法二二)第第二二位位、第第四四位位从从奇奇数数1，3中中取取，有有个个;首首位位从从,中中取取，有有个个；余余下下排排在剩下的两位，有在剩下的两位，有个个,故共有故共有=8(个个).在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确不不同同数数字字的的无无重重复复排排列列是是排排列列问问题题中中的的一一类类典典型型问问题题，常常见见的的附附加加条条件件有有：奇奇偶偶数数、位位数数关关系系及及大大小小关关
18、系系等等，也也可可有有相相邻邻问问题题、不不相相邻邻问问题题等等，解解决决这这类类问问题题的的关关键键是是搞搞清清受受限限条条件件，然然后后按按特特殊殊元元素素（位位置置）的的性性质质分分类类.这这类类问问题题有有0参参与与时时，不不可可忽忽视视它它不不能能排排在在首位的隐含条件首位的隐含条件.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确为为了了参参加加学学校校的的元元旦旦文文艺艺会会演演，某某班班决决定定从从爱爱好好唱唱歌歌的的名名男男同同学学和和名名女女同同学学中中选选派派名名参参加加小小合合唱唱节节目目，如如果果要要求求男男
19、女女同同学学至至少少各各选选派派名名，那那么么不不同同的的选派方法有多少种？选派方法有多少种？在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(方法一方法一)按选派的男同学的人数分三类：按选派的男同学的人数分三类：选选派派一一名名男男同同学学，三三名名女女同同学学有有40种种方法；方法；选选派派两两名名男男同同学学，两两名名女女同同学学有有60种种方法；方法；选选派派三三名名男男同同学学，一一名名女女同同学学有有20种种方法；方法；由由分分类类计计数数原原理理，共共有有不不同同的的选选派派方方法法有有40+60+20=120种种.在整
20、堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确(方法二方法二)在这九名同学中任选四名，有在这九名同学中任选四名，有=126种种方方法法.其其中中四四人人都都是是男男同同学学的的有有=1种种方方法法；四四人人都都是是女女同同学学的的有有=5种种方方法法，因因此此符符合合要要求求的的选选派方法有派方法有126-1-5=120种种.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确有限制条件的组合应用题的限制条件主有限制条件的组合应用题的限制条件主要表现在被选出的元素要表现在被选出的元
21、素“含含”或或“不含不含”某些元某些元素，或是素，或是“至少至少”“至多至多”等类型的组合问题，等类型的组合问题，对于这类组合应用题解题的总体思路为：对于这类组合应用题解题的总体思路为：(1)用直接法用直接法.一般是从整体分类，然后再局部分步一般是从整体分类，然后再局部分步.对于较复杂的从若干个集合里选元素的问对于较复杂的从若干个集合里选元素的问题，首先应以其中一个集合为基准进行分题，首先应以其中一个集合为基准进行分类（当然，为了使类别尽量少，这个集合类（当然，为了使类别尽量少，这个集合里的元素较少为好），里的元素较少为好），在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一
22、定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确分分类类时时要要做做到到不不重重不不漏漏，也也就就是是各各类类的的并并集集是是全全集集，任任意意两两类类的的交交集集是是空空集集，在在合合理理正正确确分分类类的的前前提提下下，在在每每一一类类中中，依依据据题题目目的的要要求求进进行行分分步步，分分步步要要做做到到步步步步连连续续，各各步步之之间间相相互互独立独立.()用间接法用间接法.当当正正面面求求解解较较为为困困难难时时，也也可可采采用用正正难难则则反反的的思思想想，用用“间间接接法法”求求解解，但但要要注注意意找找准准对立面对立面.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有
23、一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确球球台台上上有有4个个黄黄球球，6个个红红球球，击击黄黄球球入入袋袋记记2分分，击击红红球球入入袋袋记记1分分.欲欲将将此此0个个球球中中的的4个个球球击击入入袋袋中中，但但总总分分不低于不低于5分，则击球方法有几种？分，则击球方法有几种？能力提高能力提高在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确设击入黄球设击入黄球x个个,红球红球y个符合要求个符合要求,x+y=42x+y5x,yN*,x=1x=2x=3x=4y=3,y=2,y=1,y=0.故共有不同击球方法数为故共有不同击球方法数为+
24、=195.则有则有解得解得在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确本本题题需需运运用用不不等等式式的的知知识识，确确定定击击入入黄黄球球与与红红球球的的个个数数，有有时时则则需需利利用用集集合合的的运运算算等等知知识识，确确定定相相关关元元素素的的个个数数，再再利利用用排排列列或或组组合合的的知知识识解决方法种数问题解决方法种数问题.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.解解决决应应用用题题时时，应应分分析析：要要完完成成做做一一件件什什么么事事；这这件
25、件事事怎怎样样做做才才可可以以做做好好；需需要要分分类类还还是是分分步步.运运用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理，关关键键在在于于两两方方面面，认认真真分分析析题题意意，设设计计合合理理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.解解决决应应用用题题时时，应应分分析析：要要完完成成做做一一件件什什么么事事；这这件件事事怎怎样样做做才才可可以以做做好好；需需要要分分类类还还是是分分步步.运运用用分分类类计计数数原原理理和和分分步步计计数数原原理理，关关键
26、键在在于于两两方方面面，认认真真分分析析题题意意，设设计计合合理理的求解程序是求解问题的关键的求解程序是求解问题的关键.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2.如如果果任任何何一一类类办办法法中中的的任任何何一一种种方方法法都都能能完完成成这这件件事事，即即类类与与类类之之间间是是相相互互独独立立的的，即即分分类类完完成成，则则选选用用分分类类计计数数原原理理；如如果果完完成成一一件件事事要要经经历历几几个个步步骤骤（即即几几步步），且且只只有有当当这这些些步步骤骤都都做做完完，这这件件事事才才能能完完成成，即即步步与与步
27、步之之间间是是相相互互依依存存、相相互互连连续续的的，即即分分步步完完成成，则则选选用用分分步步计计数原理数原理.3.排排列列与与组组合合的的本本质质区区别别在在于于排排列列不不仅仅取取而而且且排排，即即与与顺顺序序有有关关，而而组组合合只只取取出一组即可，与顺序无关出一组即可，与顺序无关.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确4.注注意意排排列列数数公公式式、组组合合数数公公式式有有连连乘形式与阶乘形式两种，乘形式与阶乘形式两种，公式公式=n(n-1)(n-m+1),=常用于计算常用于计算,而而公公式式=,=常常用用于于证
28、证明恒等式明恒等式.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略例例1.由由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字可以组成多少个没有重复数字五位奇数五位奇数.解解:由于末位和首位有特殊要求由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排应该优先安排,以免不合要求的元以免不合要求的元素占了这两个位置素占了这两个位置先排末位共有先排末位共有_然后排首位共有然后排首位共有_
29、最后排其它位置共有最后排其它位置共有_由分步计数原理得由分步计数原理得=288在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确位置分析法和元素分析法是解决排列位置分析法和元素分析法是解决排列组合合问题最常用也是最基本的方法最常用也是最基本的方法,若以元素分析若以元素分析为主主,需先安排特殊元素需先安排特殊元素,再再处理其它元素理其它元素.若以若以位置分析位置分析为主主,需先需先满足特殊位置的要求足特殊位置的要求,再再处理其它位置。若有多个理其它位置。若有多个约束条件，往往是束条件，往往是考考虑一个一个约束条件的同束条件的同时还要兼要兼
30、顾其它条件。其它条件。一一.特殊元素和特殊位置优先策略特殊元素和特殊位置优先策略在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1.1.7 7种不同的花种在排成一列的花盆里种不同的花种在排成一列的花盆里,若若两种花不种在中间，也不种在两端的花两种花不种在中间，也不种在两端的花盆里盆里，问有多少不同的种法？问有多少不同的种法？练习题解一：分两步完成；第一步选两葵花之外的花占据两端和中间的位置第二步排其余的位置：解二：第一步由葵花去占位：第二步由其余元素占位：小结：当排列或组合问题中，若某些元素或某些位置有特殊要 求 的时候，那么，一般先
31、按排这些特殊元素或位置，然后再 按排其它元素或位置，这种方法叫特殊元素（位置）分析法。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确二.相邻元素捆绑策略例例2.72.7人站成一排人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相其中甲乙相邻且丙丁相 邻邻,共有多少种不同的排法共有多少种不同的排法.甲甲乙乙丙丙丁丁由分步计数原理可得共有由分步计数原理可得共有种不同的排法种不同的排法=480解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时丙丁也看成一
32、个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。同时对相邻元素内部进行自排。要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用可以用可以用可以用捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并即将需要相邻的元素合并为一个元素为一个元素为一个元素为一个元素,再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列再与其它元素一起作排列,同时同时同时同时要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排
33、列要注意合并元素内部也必须排列要注意合并元素内部也必须排列.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中4 4枪，枪，4 4枪命中恰好枪命中恰好有有3 3枪连在一起的情形的不同种数为（枪连在一起的情形的不同种数为（）练习题20在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确三三.不相邻问题插空策略不相邻问题插空策略例例3 3.一一个个晚晚会会的的节节目目有有4 4个个舞舞蹈蹈,2 2个个相相声声,3 3个个 独独唱唱,舞舞蹈蹈节节目目
34、不不能能连连续续出出场场,则则节节目目的的出出 场场顺顺序序有有多多少少种种？解解:分两步进行第一步排分两步进行第一步排2 2个相声和个相声和3 3个独唱共个独唱共 有有 种，种，第二步将第二步将4 4舞蹈插入第一步排舞蹈插入第一步排好的好的6 6个元素中间包含首尾两个空位共有个元素中间包含首尾两个空位共有种种不同的方法不同的方法 由分步计数原理,节目的不同顺序共有 种相相相相独独独独独独元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端再把不相邻元素插入中间和两端在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具
35、有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确某班新年联欢会原定的某班新年联欢会原定的5 5个节目已排成节个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目目单，开演前又增加了两个新节目.如果如果将这两个新节目插入原节目单中，且两将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（为（）30练习题在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确四四.定序问题倍缩空位插入策略定序问题倍缩空位插入策略例例4.74.7人排队人排队,其中甲乙丙其中甲乙丙3 3人顺序一定共有多人顺序一定共有多 少不
36、同的排法少不同的排法解:(倍缩法倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列对于某几个元素顺序一定的排列问题问题,可先把这几个元素与其他元素一起可先把这几个元素与其他元素一起进行排列进行排列,然后用总排列数除以然后用总排列数除以这几个元这几个元素之间的全排列数素之间的全排列数,则共有不同排法种数则共有不同排法种数是：是：（空位法空位法）设想有）设想有7 7把椅子让除甲乙丙以外把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有的四人就坐共有 种方法，其余的三个种方法，其余的三个位置甲乙丙共有位置甲乙丙共有 种坐法，则共有种坐法，则共有 种种 方法方法 1思考思考:可以先让甲乙丙就坐吗可以先让甲乙丙就坐吗?在整堂课的教学
37、中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确五五.重排问题求幂策略重排问题求幂策略例例5.5.把把6 6名实习生分配到名实习生分配到7 7个车间实习个车间实习,共有共有 多少种不同的分法多少种不同的分法解解:完成此事共分六步完成此事共分六步:把第一名实习生分配把第一名实习生分配 到车间有到车间有 种分法种分法.7 7把第二名实习生分配把第二名实习生分配 到车间也有到车间也有7 7种分法，种分法，依此类推依此类推,由分步计由分步计数原理共有数原理共有 种不同的排法种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究允许重复的排列问题的特点是以元素为
38、研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限不同的元素没有限制地安排在制地安排在m个位置上的排列数为个位置上的排列数为种种n nm m在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确六六.环排问题线排策略环排问题线排策略例例6.56.5人围桌而坐人围桌而坐,共有多少种坐法共有多少种坐法?解：解：围桌而坐与围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成坐成一排的不同点在于，坐成 圆形没有首尾之分，所以固定一人圆形没有首尾之分，所以固定一人A A并从并
39、从 此位置把圆形展成直线其余此位置把圆形展成直线其余4 4人共有人共有_ 种排法即种排法即 A AB BC CE ED DD DA AA AB BC CE E（5-1)5-1)！一般地一般地,n n个不同元素作圆形排列个不同元素作圆形排列,共有共有(n-1)!n-1)!种排法种排法.如果从如果从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素作个元素作圆形排列共有圆形排列共有在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确七七.多排问题直排策略多排问题直排策略例例7.87.8人排成前后两排人排成前后两排,每排每排4 4人人,其中甲乙
40、在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法共有多少排法解解:8人排前后两排人排前后两排,相当于相当于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4个位置排甲乙两个位置排甲乙两个特殊元素有个特殊元素有_种种,再排后再排后4个位置上的个位置上的特殊元素有特殊元素有_种种,其余的其余的5人在人在5个位置个位置上任意排列有上任意排列有_种种,则共有则共有_种种.前排后排后排一般地一般地,元素分成多排的排列问题元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑可归结为一排考虑,再分段研究再分段研究.在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的
41、梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确八八.排列组合混合问题先选后排策略排列组合混合问题先选后排策略例例8.8.有有5 5个不同的小球个不同的小球,装入装入4 4个不同的盒内个不同的盒内,每盒至少装一个球每盒至少装一个球,共有多少不同的装共有多少不同的装 法法.解解:第一步从第一步从5 5个球中选出个球中选出2 2个组成复合元共个组成复合元共 有有_种方法种方法.再把再把4 4个元素个元素(包含一个复合包含一个复合 元素元素)装入装入4 4个不同的盒内有个不同的盒内有_种方法种方法.根据分步计数原理装球的方法共有根据分步计数原理装球的方法共有_解决排列组合混合问题解决排列组合混合问题,先选后排是
42、最基本先选后排是最基本的指导思想的指导思想.此法与此法与相邻元素捆绑策略相似吗?在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确练习题一个班有一个班有6 6名战士名战士,其中正副班长各其中正副班长各1 1人人现从中选现从中选4 4人完成四种不同的任务人完成四种不同的任务,每人每人完成一种任务完成一种任务,且正副班长有且只有且正副班长有且只有1 1人人参加参加,则不同的选法有则不同的选法有_ _ 种种192192在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解排列组合问题的基
43、本思路：解排列组合问题的基本思路：（1 1）分类计数原理与分步计数原理的运用；）分类计数原理与分步计数原理的运用；（2 2）将实际问题抽象为排列问题或组合问题或排）将实际问题抽象为排列问题或组合问题或排列组合综合问题列组合综合问题;（3 3）对于带限制条件的排列问题，通常考虑元素）对于带限制条件的排列问题，通常考虑元素分析法、位置分析法、间接法分析法、位置分析法、间接法;（4 4）对于组合问题应注意：）对于组合问题应注意：对组合问题恰当分对组合问题恰当分类；类；“直接法直接法”与与“间接法间接法”的运用；的运用；合理设合理设计分组方案。计分组方案。解排列组合问题应遵循的三大原则：解排列组合问题
44、应遵循的三大原则：先特殊后一般，先特殊后一般，先组后排，先组后排，先分类后分步先分类后分步在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确解排列组合问题的常用策略：解排列组合问题的常用策略：（1 1）相邻问题）相邻问题“捆绑法捆绑法”（2 2）不相邻问题）不相邻问题“插空法；插空法；”（3 3）某些元素顺序一定，应用除法处理策略；）某些元素顺序一定，应用除法处理策略；（4 4）分排问题直排处理；）分排问题直排处理；（5 5）构造模型策略；）构造模型策略；（6 6）穷举法，即将所有满足条件的排列一一列举；）穷举法，即将所有满足条件的排列
45、一一列举；（7 7）等价转换，即将陌生复杂问题转换为熟习简单）等价转换，即将陌生复杂问题转换为熟习简单的问题。的问题。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确考点考点1：组合、二项式公式的变形、推导：组合、二项式公式的变形、推导D高考真题再现在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确1 1或或3 3【点评】本题的关键在于不要遗漏情况，根据组合数的性质！高考真题再现在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题
46、也很明确D适当时可以试着使用特殊值法高考真题再现在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确B高考真题再现在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确高考真题再现【点评】本题看似是捆绑问题，需要注意的是位位置捆绑没有排列数置捆绑没有排列数，另外捆绑后结合插入法结合插入法结合插入法结合插入法会使问题简化。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确二项式定理二项式定理1知识梳理知识梳理（1）二项式定理）二项
47、式定理：其通项是其通项是 知知4求求1，如：，如：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确特别地：特别地：（2）二项展开式系数的性质：）二项展开式系数的性质：对称性对称性,在在二项展开式中，与首末两端二项展开式中，与首末两端“等距离等距离”的两的两项的二项式系数相等，项的二项式系数相等，其中，其中，是是二项式系数。二项式系数。而而系数是字母前的常数。即：即：在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确增增减减性性与与最最大大值值：在在二二项项式式展展开开式式中中，
48、二二项项式式系系数数先先增增后后减减，且且在在在在中中中中间间间间取取取取得得得得最最最最大大大大值值值值。如如果果二二项项式式的的幂幂指指数数是是偶偶数数，中中间间一一项项的的二二项项式式系系数数最最大大，即即n n偶数：偶数：如如果果二二项项式式的的幂幂指指数数是是奇奇数数，中中间间两两项项的的二二项项式式系系数相等并且最大，即。数相等并且最大，即。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于 即即奇奇数数项项的的二二项项式式系系数数和和与与偶偶数数项
49、项的的二二项项式式系系数数和和相相等，即等，即（3 3）二项式定理的应用：近似计算和估计、）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式证不等式,如证明：如证明：取取的展开式中的四项即可。的展开式中的四项即可。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确2 2重点难点重点难点:二项式定理和二项展开式的性质。二项式定理和二项展开式的性质。3 3思维方式思维方式:一般与特殊的转化，赋值法的应用一般与特殊的转化，赋值法的应用在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确。4特别
50、注意特别注意:二项式的展开式共有二项式的展开式共有n+1n+1项，项，是第是第r+1r+1项。项。通通项项是是 （r=0,1,2,n）中中含含有有 五五个个元元素素，只只要要知知道道其其中中四四个个即即可可求求第第五五个个元元素。素。注意二项式系数与某一项系数的异同。注意二项式系数与某一项系数的异同。当当n n不不是是很很大大，|x|x|比比较较小小时时可可以以用用展展开开式式的的前几项求前几项求 的近似值。的近似值。在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定的梯度，由浅入深，所提出的问题也很明确在整堂课的教学中，刘教师总是让学生带着问题来学习，而问题的设置具有一定