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1、三维视觉基础介绍三维视觉基础介绍吴吴 毅毅 红红中国科学院自动化研究所中国科学院自动化研究所模式识别国家重点实验室模式识别国家重点实验室nlpr.ia.ac/English/rv/download.htm资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值主要内容主要内容1.绪言绪言2.景物的成像过程景物的成像过程3.三维重建的目的、过程三维重建的目的、过程4.射影几何学简介射影几何学简介资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值绪言绪言 计
2、算机视觉是研究用计算机来模拟人和生物的视觉计算机视觉是研究用计算机来模拟人和生物的视觉系统功能的技术学科系统功能的技术学科.目标目标:让计算机能够感知周围视觉世界让计算机能够感知周围视觉世界,了解它的了解它的空间组成和变化规律空间组成和变化规律.传感、抽象、判断、传感、抽象、判断、识别、理解识别、理解 马尔视觉理论：马尔视觉理论：三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉的核心研究任务之一。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值从二维图像出发，将物体回推到三维空间中这是个什么过程？这个过程如何表述？是否可计
3、算？如何计算？物体三维物体三维形状形状二维图像二维图像？资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值1.景物的成像过程景物的成像过程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值针孔摄像机针孔摄像机成像平面成像平面摄摄像像机机坐坐标标系系ZXYOMm带镜头的摄像机：薄透镜；鱼眼镜头；反射镜面资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值鱼眼镜头鱼眼镜头反射折射镜
4、反射折射镜针孔相机针孔相机资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值蝇眼图像蝇眼图像picasaweb.google/lh/photo/O7.prettyshing.pixnet/cate.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)几种全向摄像机几种全向摄像机 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值鱼
5、眼镜头资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值OmMXOcm0球面成像过程资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值O Ou u摄像机坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系x xy yv v图像坐标系图像坐标系图像坐标系图像坐标系世界坐标系世界坐标系世界坐标系世界坐标系1 1 1 1、世界坐标系：、世界坐标系：、世界坐标系：、世界坐标系：2 2 2 2、摄像机坐标系：、摄像机坐标系：、摄像机坐标系：、摄像机坐标系：3 3 3
6、3、图像坐标系、图像坐标系、图像坐标系、图像坐标系:说明：说明：为了校正成像畸变为了校正成像畸变用理想图像坐标系用理想图像坐标系 和真实图像坐标系和真实图像坐标系 分别描述畸变前后的坐标关系分别描述畸变前后的坐标关系 坐标系坐标系资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值摄像机光学成像过程的四个步骤摄像机光学成像过程的四个步骤 刚体变换刚体变换透视投影透视投影畸变校正畸变校正数字化图像数字化图像世界坐标系世界坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系真实图像坐标系真实图像坐标系数字化图像坐标系数字化图像坐标系理想图像坐标系理
7、想图像坐标系1 1 1 1、刚体变换公式、刚体变换公式、刚体变换公式、刚体变换公式齐次坐标形式齐次坐标形式齐次坐标形式齐次坐标形式资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值C CB B物体物体A AB B图像图像O Of=OB f=OB 为透镜的焦距为透镜的焦距m=OC m=OC 为像距为像距n=AO n=AO 为物距为物距 一般地由于一般地由于 于是于是 这时可这时可以将透镜成像模型近以将透镜成像模型近似地用小孔模型代替似地用小孔模型代替 透视投影透视投影透镜成像原理图透镜成像原理图资金是运动的价值，资金的价值
8、是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 o o o o写成齐次坐标形式为写成齐次坐标形式为 透视投影透视投影小孔成像模型小孔成像模型资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值写成齐次坐标形式为写成齐次坐标形式为 中心透视投影模型中心透视投影模型o o o of f f f资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Position with distortionPosition
9、 with distortionIdeal PositionIdeal Positiondr :radial distortiondr :radial distortiondt :tangential distortiondt :tangential distortion畸变校正畸变校正径向和切向畸变径向和切向畸变径向畸变径向畸变离心畸变离心畸变薄透镜畸变薄透镜畸变径向失真径向失真切向失真切向失真 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 a :barrel distortionb :pincushion di
10、stortionab畸变校正畸变校正其它畸变类型其它畸变类型桶形畸变桶形畸变a a和和枕形畸变枕形畸变b b 薄棱镜畸变薄棱镜畸变 Axis of min tangentialdistortionAxis of maxTangentialdistortion资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 在在 中的坐标为中的坐标为 像素在轴上的物理尺寸像素在轴上的物理尺寸为 Affine Transformation:Affine Transformation:Affine Transformation:Affine
11、 Transformation:图像数字化图像数字化U U U UC C C CV V V V齐次坐标形式齐次坐标形式:其中其中资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值线性摄像机成像模型线性摄像机成像模型图像物理坐标系图像物理坐标系图像像素坐标系图像像素坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系世界坐标系世界坐标系图像像素坐标系图像像素坐标系世界坐标系世界坐标系最终得到：最终得到：这是忽略畸变的线性成像模型这是忽略畸变的线性成像模型2.三维重建的目的、任务三维重建的目的、任务资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的
12、，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉的最三维重建是人类视觉的主要目的，也是计算机视觉的最主要的研究方向主要的研究方向.(Marr 1982)所谓三维重建就是指从所谓三维重建就是指从单幅图像加景物约束、二幅、二单幅图像加景物约束、二幅、二幅以上图像幅以上图像恢复空间点三维坐标的过程。恢复空间点三维坐标的过程。成像平面成像平面O资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值照相机的成像模型：照相机的成像模型：三维重建三维重建主要目的：从图
13、像出发，求出所有的主要目的：从图像出发，求出所有的Mi摄像机摄像机标定标定：从图像出发，求出内参数：从图像出发，求出内参数K摄像机标摄像机标定位定位或运动参数求解或运动参数求解：从图像出发，求出运动参数从图像出发，求出运动参数R，t资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值鱼眼模型下鱼眼模型下应用标定的参数对图像校正应用标定的参数对图像校正资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值因此，有必要研究图像之因此，有必要研究图像之间约束，
14、图像之间的几何间约束，图像之间的几何图像几何学 三维重建的三个关键步骤三维重建的三个关键步骤 图像对应点的确定图像对应点的确定 摄像机标定摄像机标定 摄像机运动参数的确定摄像机运动参数的确定Ou u摄像机坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系摄像机坐标系x xy yv v图像坐标系图像坐标系图像坐标系图像坐标系世界坐标系世界坐标系世界坐标系世界坐标系空间物体空间物体O摄像机摄像机摄像机摄像机oIIMomm eel lwzwxwyR,T3.射影几何学简介射影几何学简介资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值为什么要学习射
15、影几何？为什么要学习射影几何？l照相机的成像过程是一个射影变换(透视或中心射影)的过程：物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持几何是：研究某个空间里的图形在变换之后保持不变的性质的不变的性质的 学科。学科。几何学几何学:希腊文希腊文 geometrein，土地测量土地测量简单交易、土地面积计算、简单交易、土地面积计算、在陶器上绘制几何图案等等在陶器上绘制几何图案等等经过生产实践，总结出一些计算法则和公式资金是运动的价值，
16、资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l圆周率的计算：张衡、祖冲之、刘徽等l勾股定理圆周长的平方圆周长的平方12圆面积圆面积圆周率圆周率=3埃及金字塔建于年前，是古埃及法老（即国王）和王后的陵墓。陵墓是用巨大石块修砌成的方锥形建筑，因形似汉字“金”字，故译作“金字塔”。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值大金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”。它建于埃及第四王朝第二位法老胡夫统治时期（约公元前年），原高米，因顶端
17、剥落，现高米，塔的个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约多米，占地面积万平方米。塔身由万块巨石组成，它们大小不一，分别重达吨至吨，平均重约吨。据考证，为建成大金字塔，一共动用了万人花了年时间。古人测量金字塔？古人测量金字塔？利用金字塔的影子，采用三角形相似原理，进行测量。发现了有关三角形的一些重要定理资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 常见的旋转和平移是欧氏变换，研究在欧氏变换下保持不变的性质（欧氏性质）的几何，是欧氏几何。比如长度、角度、平行性等都是欧氏性质。Euclid（约公元前约公元前3
18、30-275）原本，欧氏几何学原本，欧氏几何学整理、归纳、升华资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Pappus(约公元3世纪)，提出交比、对合等概念，射影几何萌芽文明的发展文明的发展并不是一帆并不是一帆风顺的风顺的古罗马文明，数学并不受到信奉基督教的罗马统治者的欢迎，数学家：“占星术士”，占星术被严禁。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值之后到公元1100年，欧洲数学的发展停滞。文艺复兴，作画，作图需要产生透视法。艺术家
19、企图用表象艺术的手法描绘世界：布局，光源，深度感，存在数学基础资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值Desargues(1591-1661),引入无穷远元素，透视定理，交比、调和不变，极点、极线，创立射影几何。射影几何独一无二，来自艺术达芬奇，30岁研究数学，l 视觉图像在空间中是沿直线传播的，眼睛只能以光椎体的形式看到东西l 越远的物体看起来越小l 不保持距离，不保持角度。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影几何是一
20、个基础几何：欧氏几何和双曲几何、黎曼几何等许多非欧几何都是射影几何的子几何。Einstein：伟大的广义相对论著名公式E=mc2Riemann弯曲空间的工作成果GrossmanEinstein资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值照相机的成像过程不保持欧氏性质例如:平行线不再平行资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值无穷远元素无穷远元素 平行线交于一个无穷远点;平行平面交于一条无穷远直线;资金是运动的价值，资金的价值是随时间
21、变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l在一条直线上只有唯一一个无穷远点.所有的一组平行线共有一个无穷远点.无穷远点无穷远点无穷远无穷远资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l在一个平面上,所有的无穷远点组成一条直线,称为这个平面的无穷远直线.平行线无穷远直线资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l3维空间中所有的无穷远点组成一个平面,称为这个空间的无穷远平面.无穷远平面无穷
22、远平面平行线平行线平平行行平平面面和和直直线线资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影空间射影空间 对 n 维欧氏空间加入无穷远元素,并对有限元素和无穷远元素不加区分,则它们共同构成了 n 维射影空间维射影空间.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 1维射影空间是一条射影直线,它由我们所看到的欧氏直线和它的无穷点组成;2维射影空间是一个射影平面,它由我们所看到的欧氏平面和它的无穷远直线组成;3维射影空间由我们所在的空间与
23、无穷远平面组成.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值齐次坐标齐次坐标 在欧氏空间中建立坐标系后,便有了点与坐标间的一一对应,但当引入无穷点以后,无穷远点无坐标,为了刻化无穷远点的坐标,我们引入齐次坐标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 在 n 维空间中,建立欧氏坐标后,每一个有限的点的坐标为 ,对任意 n+1 个数 ,如果满足:则 被叫作这个点的齐次齐次坐标坐标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时
24、间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 相对于齐次坐标,被称作非非齐次坐标齐次坐标.不全为0的数 组成的坐标 被称作无穷远点的齐次坐标齐次坐标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 例如:在欧氏直线上的普通点的坐标为 x,则适合 的两个数 组成的坐标 为这个点的齐次坐标,x 为这个点的非齐次坐标.对任意的 ,则 为无穷远点的齐次坐标.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 引入齐次坐标后,l
25、在二维平面上,如果直线的方程为:则直线的齐次方程为:无穷远直线的方程则为:资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l在三维空间中,如果平面的方程为:则平面的齐次方程为:无穷远平面的方程则为:资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影参数射影参数 对于 n 维空间中的任意一条直线,如果 是它上的任意两个取定的点,则它上的任意一个点 可以由 线性生成:其中 分别是 的齐次坐标,是两个不全为零的常数.资金是运动的价值，资金的价值是随
26、时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 比例 被叫作 关于 在这条直线上的射影参数射影参数.如果 ,则射影参数为 .资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值交比交比 对于共线的4个点 ,比例：被叫作 关于 的交比交比，记为 其中 分别是 ，的射影参数。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l定理：设四个不同的共线点中的三点及其交比值为已知，则第四点必唯一确定。资金是运动的价
27、值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影变换射影变换 记 是两个由点组成的射影空间,是由 到 的映射.如果 保持:(i)点和直线的结合关系.比如:点在直线上;直线通过点;等等.(ii)共线的四个点的交比.则 被叫作 n 维射影变换维射影变换.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值两个射影空间 可以是同一个空间,则 是同一个空间里的变换.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金
28、就是原有资金的时间价值l点用齐次坐标表示,则射影变换可用一个(n+1)-(n+1)的矩阵表示:l 的行列式非零,则它是一个非退化的非退化的射影变换射影变换,否则是个退化的射影变换.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 例如:是两条射影直线,让 与 对应,其中 与 的连线都交于一点,则这个映射是一个 1 维射影变换.(透视或中心射影)P1P2P3BP3P2P1P0AOLL资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l照相机的成像过
29、程是一个从3维空间到2维空间的退化的射影变换。成像平面成像平面摄摄像像机机坐坐标标系系ZXYOMm资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影几何射影几何 射影几何射影几何是：研究射影空间中在射影变换下保持不变的性质的几何学。射影变换射影变换射影空间射影空间射影空间射影空间几何性质几何性质/数量数量几何性质几何性质/数量数量=资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值射影平面中的对偶射影平面中的对偶l“点”与“直线”叫作射影平面上
30、的对偶对偶元素元素。l“过一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫作对偶作图对偶作图。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l在射影平面里设有点，直线及其相互结合和顺序关系所组成的一个命题，将此命题中的各元素改为它的对偶元素，各作图改为它的对偶作图，其结果形成另一个命题，这两个命题叫作平面对偶命对偶命题题。l对偶原则对偶原则：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l例如：命
31、题：通过不同两点必有一直线。对偶命题：两不同直线必有一交点。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l共线的四个点有交比,根据对偶,共点的四线也有交比.L1L2L3L4P1P2P3P4(P1,P2;P3,P4)=(L1,L2;L3,L4)资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值调和关系调和关系 如果点对 和 的交比是-1,即:则称 与 是调和调和的.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增
32、值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 点对 与 是调和的,当且仅当:其中 分别是 ,的射影参数.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l一线段的中点为无穷远点关于这个线段的两个端点的调和点。l因为调和关系是由交比定义的，所以它是射影不变的。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l例如：利用这种不变的调和关系，我们可以求出无穷远点的像。无穷远点的像可以用来对照相机进行标定。成像平面摄像机坐标系ZXYOP p资金是运动的
33、价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值完全四点形中的调和完全四点形中的调和:P1P2P3P4P1,P2,P3,P4 是四个顶点，六条白线是三对对边，三个红点 A,B,C 是对边点，三条红线和三个红点组成对边三点形。ABC(CA,CB;CG,CE)=-1DEFGH(D,B;P2,P1)=-1(A,B;G,E)=-1(F,B;P3,P4)=-1(A,M;P2,P4)=-1(A,H;P3,P1)=-1M资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值二
34、次曲线二次曲线 记射影平面上点的齐次坐标为 ,则满足一个二次方程,即:的所有点的集合构成一条由 决定的 二次曲线二次曲线,其中至少有一个 非零.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 在二次曲线的定义中的方程又可以写为:矩阵 是对称的,它的秩在一个非退化的射影变换下保持不变.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 如果矩阵 的行列式非零,则这个二次曲线非退化非退化.否则二次曲线退化为两条直线,或一条直线.例如:圆,椭圆,双曲
35、线和抛物线都是非退化的二次曲线.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值二次曲线的对偶：l射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲线的点元素换为线元素，则这些线的包络为一个二次曲线。l二次曲线 （为点坐标）的对偶为：（为线坐标）其中 为 的伴随矩阵。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值互为对偶点的轨迹线的包络资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价
36、值绝对二次曲线绝对二次曲线 欧氏空间中,无穷远平面上的二次曲线:称为绝对二次曲线绝对二次曲线.它都由虚点构成,任何一个圆都与它交于一对虚共轭点(圆环圆环点点).资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧密相连.假定照相机的内参数为:则绝对二次曲线的像是:反之,如果绝对二次曲线的像已知,则 K 可以被完全确定.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l如果圆环点的像已知，也可以对照相机的内参数构成
37、约束，通过解方程组来得到内参数的值。假定 m 是圆环点的像，则：资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值极点与极线极点与极线l对于一个二次曲线 C 和某个点 A(向量)，由 L=C A 确定的直线（线坐标），称为点 A 关于二次曲线 C 的极线极线。l当 A 在二次曲线 C 上时，点 A 的极线为过它的切线。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l对于一个二次曲线 C 和某条直线 L(向量)，由 A=L 确定的点，称为线 L
38、关于二次曲线 C 的极点极点。l当 L 为二次曲线 C 的切线时，线 L 的极点为它上的切点。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值l对极关系是射影不变的关系,利用这个关系我们可以对照相机进行标定.资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值三维射影几何三维射影几何l点、直线、平面l二次曲面l扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密相连。资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值参考书目参考书目lJ.G.Semple,G.T.Kneebone,Algebraic Projective Geometry,Oxford University Press,1952.l梅向明,刘增贤,王汇淳,王智秋,高等几何,高等教育出版社,2019.l 周兴和，高等几何，科学出版社，2019.