数学模型差分方程模型课件.ppt

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1、福福 州州 大大 学学17.1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型7.2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型7.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第七章第七章 差分方程模型差分方程模型福福 州州 大大 学学27.1 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求

2、描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡福福 州州 大大 学学3蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0)平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0,xk+1,xk+2,=x0,yk+1,yk+2,=y0 福福 州州 大大 学学4xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3

3、y3P0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点xy0y0 x0P0fg 曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型 福福 州州 大大 学学5福福 州州 大大 学学6 商品数量减少商品数量减少1单位单位,价格上涨幅度价格上涨幅度 价格上涨价格上涨1单位单位,(下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 ,的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定 小小,有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格经

4、济稳定经济稳定结果解释结果解释福福 州州 大大 学学7经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1.使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段控制价格不变以行政手段控制价格不变2.使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直福福 州州 大大 学学8模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数

5、不变需求函数不变二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k,xkx0的条件的条件福福 州州 大大 学学9福福 州州 大大 学学107.2 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增

6、加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.福福 州州 大大 学学11模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动

7、）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。福福 州州 大大 学学12福福 州州 大大 学学13 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20

8、000千卡千卡 w=100千克不变千克不变福福 州州 大大 学学14福福 州州 大大 学学15 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型福福 州州 大大 学学16 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。福福 州州 大大 学学17福福 州州 大大 学学183）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的

9、方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)福福 州州 大大 学学197.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型(Logistic模型模型)t,xN,x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t)某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=N,则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k,ykN？y*=N 是平衡点是平衡点福福

10、州州 大大 学学20离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程(1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x*的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点福福 州州 大大 学学21(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点x*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点x*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性福

11、福 州州 大大 学学2201的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点稳定性稳定性x*稳定稳定x*不不稳定稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=0不稳定不稳定福福 州州 大大 学学23福福 州州 大大 学学24初值初值 x0=0.2数值计算结果数值计算结果b 0,则则 P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常数决定的常数 且且解解释释L对角化对角化福福 州州 大大 学学32稳态分析稳态分析k充分大充分大种群按年龄组的分布种群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。

12、各年龄组种群数量按同一各年龄组种群数量按同一倍数增减，倍数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄组种群种群数量不变数量不变福福 州州 大大 学学33 1个个体在整个存活个个体在整个存活期内的繁殖数量为期内的繁殖数量为1稳态分析稳态分析存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较）3）=1时时福福 州州 大大 学学34第八章第八章 离散模型离散模型8.1 层次分析模型层次分析模型8.2 循环比赛的名次循环比赛的名次8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程8.4 效益的合理分

13、配效益的合理分配y福福 州州 大大 学学35离散模型离散模型 离散模型：差分方程（第离散模型：差分方程（第7 7章）、章）、整数规划（第整数规划（第4 4章）、图论、对策章）、图论、对策论、网络流、论、网络流、分析社会经济系统的有力工具分析社会经济系统的有力工具 只用到代数、集合及图论（少许）只用到代数、集合及图论（少许）的知识的知识福福 州州 大大 学学368.1 层次分析模型层次分析模型背背景景 日常工作、生活中的决策问题日常工作、生活中的决策问题 涉及经济、社会等方面的因素涉及经济、社会等方面的因素 作比较判断时人的主观选择起相当大作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难

14、以量化的作用，各因素的重要性难以量化 Saaty于于1970年代提出层次分析法年代提出层次分析法 AHP(Analytic Hierarchy Process)AHP一种一种定性与定量相结合的、定性与定量相结合的、系统化、层次化系统化、层次化的分析方法的分析方法福福 州州 大大 学学37目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途一一.层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤例例.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素

15、选择费用、居住条件等因素选择.福福 州州 大大 学学38“选择旅游地选择旅游地”思维过程的归思维过程的归纳纳 将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层，准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，；每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完层次分析法将定性分析与定量分析结

16、合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。成以上步骤，给出决策问题的定量结果。福福 州州 大大 学学39层次分析法的基本步骤层次分析法的基本步骤成对比较阵成对比较阵和权向量和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则设要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵要由要由A确定确定C1,Cn对对O的权向量的权向量选选择择旅旅游游地地福福 州州 大大 学学40成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的

17、允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量福福 州州 大大 学学41成对比较完全一致的情况成对比较完全一致的情况满足满足的正互反阵的正互反阵A称称一致阵一致阵，如，如 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量对于不一致对于不一致(但在允许范围内但在允许范围内)的成对的成对比较阵比较阵A，建议用对应于最大特征根，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量的特征向量作为权向量w，即，即一致阵一致阵性质性质成对比较阵

18、和权向量成对比较阵和权向量福福 州州 大大 学学422 4 6 8比较尺度比较尺度aij Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其互反数及其互反数1,1/2,1/9尺度尺度 1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反的重要性与上面相反 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个 用用13,15,117,1p9p(p=2,3,4,5),d+0.1d+0.9(d=1,2,3,4)等等27种比较尺度对若干实例构造成对比较种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，

19、与实际对比发现，阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。尺度较优。便于定性到定量的转化：便于定性到定量的转化：成对比较阵和权向量成对比较阵和权向量福福 州州 大大 学学43一致性检验一致性检验对对A确定不一致的允许范围确定不一致的允许范围已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重RI0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 n1 2345678

20、91110为衡量为衡量CI 的大小，引入的大小，引入随机一致性指标随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得RI。定义一致性比率定义一致性比率 CR=CI/RI 当当CR0.1时，通过一致性检验时，通过一致性检验Saaty的结果如下的结果如下福福 州州 大大 学学44“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致

21、性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0163)个顶点的双向连通竞赛图，存在个顶点的双向连通竞赛图，存在正整数正整数r，使邻接矩阵，使邻接矩阵A 满足满足Ar 0，A称称素阵素阵 素阵素阵A的最大特征根为正单的最大特征根为正单根根，对应正特征向量，对应正特征向量s，且且排名为排名为1，2，4，3用用s排名排名1234(4)1,2,3,4?福福 州州 大大 学学701234566支球队比赛结果支球队比赛结果排名次序为排名次序为1，3，2，5，4，6福福 州州 大大 学学71v1能源利用量；能源利用量；v2能源价格；能源价

22、格；v3能源生产率；能源生产率；v4环境质量；环境质量；v5工业产值；工业产值；v6就业机会；就业机会；v7人口总数。人口总数。8.3 社会经济系统的冲量过程社会经济系统的冲量过程系统的元素系统的元素图的顶点图的顶点元素间的影响元素间的影响带方向的弧带方向的弧影响的正反面影响的正反面弧旁的弧旁的+、号号带符号的有向图带符号的有向图影响影响直接影响直接影响符号符号客观规律；方针政策客观规律；方针政策例例 能源利用系统的预测能源利用系统的预测+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5福福 州州 大大 学学72带符号有向图带符号有向图G1=(V,E)的邻接矩阵的邻接矩阵AV顶点集顶点集 E弧集弧集定

23、性模型定性模型-vivj+某时段某时段vi 增加导致增加导致下时段下时段vj 增加增加减少减少带符号的有向图带符号的有向图G1+-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5福福 州州 大大 学学73加权有向图加权有向图G2及其邻接矩阵及其邻接矩阵W定量模型定量模型某时段某时段vi 增加增加1单位导致单位导致下时段下时段vj 增加增加wij单位单位v70.311.511.51.20.8-2-2-0.7-0.5v1v2v3v4v5v6加权有向图加权有向图G2福福 州州 大大 学学74冲量过程冲量过程（Pulse Process)研究由某元素研究由某元素vi变化引起的系统的演变过程变化引起的系统的演变过

24、程 vi(t)vi在时段在时段t 的的值值；pi(t)vi在时段在时段t 的的改变量改变量(冲量冲量)冲量过程模型冲量过程模型或或福福 州州 大大 学学75231-10010-12-21-110-11-11-10103-32-211-1能源利用系统的预测能源利用系统的预测简单冲量过程简单冲量过程初始冲量初始冲量p(0)中中某个分量为某个分量为1，其余为，其余为0的冲量过程的冲量过程若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变设设能源利用系统的能源利用系统的 p(t)和和v(t)-110-11-100011-100000100000010000000福

25、福 州州 大大 学学76简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 任意时段任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限的各元素的值和冲量是否为有限(稳定稳定)S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定 S冲量稳定冲量稳定对任意对任意 i,t,|pi(t)|有界有界 S值稳定值稳定对任意对任意 i,t,|vi(t)|有界有界值稳定值稳定冲量稳定冲量稳定S的稳定性取决于的稳定性取决于W的特征根的特征根记记W的非零特征根为的非零特征根为 福福 州州 大大 学学77 S冲量稳定冲量稳定|1 S冲量稳定冲量稳定|1且均为单且均为单根根 S值稳定值稳定 S冲量稳定冲

26、量稳定且且 不等于不等于1对于能源利用系统的邻接矩阵对于能源利用系统的邻接矩阵A特征多项式特征多项式能源利用系统存在能源利用系统存在冲量冲量不稳定不稳定的简单冲量过程的简单冲量过程简单冲量过程简单冲量过程S的稳定性的稳定性 福福 州州 大大 学学78简单冲量过程的稳定性简单冲量过程的稳定性 改进的玫瑰形图改进的玫瑰形图S*带符号的带符号的有向图双向连通，且存在一个有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点。位于所有回路上的中心顶点。回路长度回路长度 构成回路的边数构成回路的边数回路符号回路符号 构成回路的各有向边符号构成回路的各有向边符号+1或或-1之乘积之乘积ak长度为长度为k的回路

27、符号和的回路符号和r使使ak不等于不等于0的最大整数的最大整数 S*冲量稳定冲量稳定 若若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 +-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5福福 州州 大大 学学79简单冲量过程简单冲量过程S*的稳定性的稳定性 a1=0,a2=(-1)v1v2 (-1)v2v1=1a3=(+1)v1v3v5v1+(-1)v1v4v7v1+(+1)v1v3v2v1=1,a4=0,a5=1,r=5 S*冲量稳定冲量稳定 (-1)v1v2(+1)v1v2(由鼓励利用变为限制利用由鼓励利用变为限制利用)a2=-1+S*冲量不稳定冲量不稳定A的的特征多项式特征多项式S*冲量稳定冲量

28、稳定 S*冲量稳定冲量稳定|1且均为单根且均为单根v1利用量利用量,v2价格价格v7+-+-+-+v2v1v3v4v6v5福福 州州 大大 学学80 若S*冲量稳定，则冲量稳定，则S*值稳定值稳定 S*冲量稳定冲量稳定 v3能源生产率能源生产率 v5工业产值工业产值(-1)v3v5 违反客观规律违反客观规律S*值不稳定值不稳定S*值值稳定稳定(+1)v3v5(-1)v3v5能源利用系统的值不应稳定？能源利用系统的值不应稳定？-+-+-+v2v1v3v4v6v7v5+福福 州州 大大 学学818.4 效益的合理分配效益的合理分配例例甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作

29、获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，元，三人合作获利三人合作获利11元。又知每人单干获利元。又知每人单干获利1元。元。问三人合作时如何分配获利？问三人合作时如何分配获利？记甲乙丙三人分配为记甲乙丙三人分配为解不唯一解不唯一(5，3，3)(4，4，3)(5，4，2)福福 州州 大大 学学82(1)Shapley合作对策合作对策 I,v n人合作对策，人合作对策，v特征函数特征函数n人从人从v(I)得到的分配，满足得到的分配，满足v(s)子集子集s的获利的获利福福 州州 大大 学学83公理化方法公理化方法 s 子集子集 s中的元素数目，中的元素数目，Si

30、包含包含i的所有子集的所有子集由由 s 决定的决定的“贡献贡献”的权重的权重 Shapley值值 i 对合作对合作s 的的“贡献贡献”Shapley合作对策合作对策福福 州州 大大 学学84三人三人(I=1,2,3)经商中甲的分配经商中甲的分配x1的计算的计算 1/3 1/6 1/6 1/31 1 2 1 3 I1 7 5 11 0 1 1 4 1 6 4 7 1/3 1 2/3 7/3x1=13/3类似可得类似可得 x2=23/6,x3=17/61 2 2 3福福 州州 大大 学学85合作对策的应用合作对策的应用 例例1 污水处理费用的合理分担污水处理费用的合理分担20km38km河流河流三

31、城镇地理位置示意图三城镇地理位置示意图123 污水处理，排入河流污水处理，排入河流三城镇可单独建处理厂，三城镇可单独建处理厂，或联合建厂或联合建厂(用管道将污水用管道将污水由上游城镇送往下游城镇由上游城镇送往下游城镇)Q1=5Q3=5Q2=3Q污水量，污水量，L管道长度管道长度建厂费用建厂费用P1=73Q0.712管道费用管道费用P2=0.66Q0.51L福福 州州 大大 学学86污水处理的污水处理的5 种方案种方案1）单独建厂）单独建厂总投资总投资2）1,2合作合作3）2,3合作合作4）1,3合作合作总总投资投资总投资总投资合作不会实现合作不会实现福福 州州 大大 学学875）三城合）三城合

32、作总投资作总投资D5最小最小,应联合建厂应联合建厂 建厂费：建厂费：d1=73(5+3+5)0.712=453 12管道费：管道费：d2=0.66 50.51 20=30 23管道费：管道费：d3=0.66 (5+3)0.51 38=73D5城城3建议：建议：d1 按按 5:3:5分担分担,d2,d3由城由城1,2担负担负城城2建议：建议：d3由城由城1,2按按 5:3分担分担,d2由城由城1担负担负城城1计算：计算：城城3分担分担d1 5/13=174C(3),城城2分担分担d1 3/13+d3 3/8=132C(1)不不同同意意D5如何分担？如何分担？福福 州州 大大 学学88特征函数特征

33、函数v(s)联合联合(集集s)建厂比单独建厂节约的投资建厂比单独建厂节约的投资三三城从城从节约投资节约投资v(I)中得到的分配中得到的分配 Shapley合作对策合作对策福福 州州 大大 学学89计算计算城城1从从节约投资中得到的分配节约投资中得到的分配x11 1 2 1 3 I 0 40 0 640 0 0 250 40 0 39 1 2 2 31/3 1/6 1/6 1/3 0 6.7 0 13 x1=19.7,城城1 C(1)-x1=210.4,城城2 C(2)-x2=127.8,城城3 C(3)-x3=217.8三城在总投资三城在总投资556中的分担中的分担x2=32.1,x3=12.

34、2x2最大，如何解释？最大，如何解释？福福 州州 大大 学学90合作对策的应用合作对策的应用 例例2 派别在团体中的权重派别在团体中的权重 90人的团体由人的团体由3个派别组成，人数分别为个派别组成，人数分别为40,30,20人。人。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。团体表决时需过半数的赞成票方可通过。虽然虽然3派人数相差很大派人数相差很大若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用若每个派别的成员同时投赞成票或反对票，用Shapley合作对策合作对策计算计算各派别在团体中的权重。各派别在团体中的权重。团体团体 I=1,2,3，依次代表，依次代表3个派别个派别=否则否则，的成员超过的成员超过定义

35、定义特征函数特征函数045,1)(ssv福福 州州 大大 学学91优点：优点：公正、合理，有公理化基础。公正、合理，有公理化基础。如如n个单位治理污染个单位治理污染,通常知道第通常知道第i方单独治理的投资方单独治理的投资yi 和和n方共方共同治理的投资同治理的投资Y,及第及第i方不参加时其余方不参加时其余n-1方的投资方的投资zi(i=1,2,n).确定共同治理时各方分担的费用。确定共同治理时各方分担的费用。其它其它v(s)均不知道均不知道,无法用无法用Shapley合作对策合作对策求解求解Shapley合作对策小结合作对策小结若定义特征函数为合作的获利若定义特征函数为合作的获利(节约的投资节

36、约的投资)，则有，则有缺点：缺点：需要知道所有合作的获利，即要定义需要知道所有合作的获利，即要定义I=1,2,n的所有的所有子集子集(共共2n-1个个)的特征函数，实际上常做不到。的特征函数，实际上常做不到。福福 州州 大大 学学92设只知道设只知道无无 i 参加时参加时n-1方合作的获利方合作的获利全体合作的获利全体合作的获利求解合作对策的其他方法求解合作对策的其他方法例例.甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利甲乙丙三人合作经商，若甲乙合作获利7元，元，甲丙合作获利甲丙合作获利5元，乙丙合作获利元，乙丙合作获利4元，三人元，三人合作获利合作获利11元。问三人合作时如何分配获利？元。问三人合作时

37、如何分配获利？福福 州州 大大 学学93（2）协商解）协商解11将剩余获利将剩余获利 平均分配平均分配 模模型型以以n-1方合作的获利为下限方合作的获利为下限求解求解 xi 的下限的下限福福 州州 大大 学学94（3）Nash解解 为现状点（谈判时的威慑点）为现状点（谈判时的威慑点）在此基础上在此基础上“均匀地均匀地”分配全体合作的获利分配全体合作的获利B模模型型平均分配获利平均分配获利B3）Nash解解 2）协商解）协商解福福 州州 大大 学学95（4）最小距离解）最小距离解模模型型 第第i 方的边际效益方的边际效益若令若令4）最小距离解）最小距离解 2）协商解）协商解福福 州州 大大 学学

38、96（5）满意解）满意解di现状点现状点(最低点最低点)ei理想点理想点(最高点最高点)模模型型5）基于满意度的解）基于满意度的解 2）协商解）协商解福福 州州 大大 学学97（6）Raiffi 解解与协商解与协商解x=(5,4,2)比较比较福福 州州 大大 学学98求解合作对策的求解合作对策的6种方法（可分为三类）种方法（可分为三类）Shapley合作对策合作对策A类类B类类协商解协商解Nash解解 最小距离解最小距离解满意解满意解di现状现状,ei理想理想B类类4种方法相同种方法相同福福 州州 大大 学学99例：有一资方例：有一资方(甲甲)和二劳方和二劳方(乙乙,丙丙),仅当资方与至少仅当资方与至少一劳方合作时才获利一劳方合作时才获利10元，应如何分配该获利？元，应如何分配该获利？Raiffi解解C类类福福 州州 大大 学学100B类：计算简单，便于理解，可用于各方实类：计算简单，便于理解，可用于各方实力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。力相差不大的情况；一般来说它偏袒强者。C类：类：考虑了分配的上下限，又吸取了考虑了分配的上下限，又吸取了Shapley的思想，在一定程度上保护弱者。的思想，在一定程度上保护弱者。A类：公正合理；需要信息多，计算复杂。类：公正合理；需要信息多，计算复杂。求解合作对策的三类方法小结求解合作对策的三类方法小结