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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页4 函数的极值与最大(小)值二、最大值与最小值一、极值判别们将逐一研究函数的这些几何特征.有着很明显的几何特征.在本节中,我返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页费马定理告诉我们费马定理告诉我们.可微函数的极值点一定是稳可微函数的极值点一定是稳一、极值判别我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的我们在这里再次强调：费马定理是在函数可微的定是水平的定是水平的.定点定点.也就是说也就是说,在曲线上相应的点处的切线一在曲线上相应的点处的切线一条件，费马定理的结论条件，费马定理的结论 就无从说起就无从说起.条件下建立的条件下建
2、立的.换句话说，若没有可微这个前提换句话说，若没有可微这个前提返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页当然，费马定理的逆命题亦不真当然，费马定理的逆命题亦不真.例如对于任意例如对于任意下面给出极值的充分条件下面给出极值的充分条件.定理定理6.10 (极值的第一充分条件极值的第一充分条件)设函数设函数 f(x)在在极值点极值点.的可微函数的可微函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 根据导函数的符号判别函数单调性的方法根据导函数的符号判别函数单调性的方法,可可出出(i)的证明的证明.以知道该定理的几何意义十分明显以知道该定理的几何意义十分明显.在这里仅给在这里仅给返回返
3、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 6.11 (极值的第二充分条件极值的第二充分条件)设设 f(x)在点在点 x0证证 同样我们仅证同样我们仅证(i).因为因为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以由保号性，所以由保号性，由极值判别的第一充分条件得知由极值判别的第一充分条件得知:x0 是极小值点是极小值点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 建议读者与教材上的证明方法相比较建议读者与教材上的证明方法相比较,这里这里的的例例1解解 由由求得稳定点求得稳定点证明方法更具一般性证明方法更具一般性.返回返
4、回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2解解稳定点为稳定点为 x=0，没有不可导点没有不可导点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页为了更好地加以判别，我们列表如下：为了更好地加以判别，我们列表如下：不存在不存在增增增增减减返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页请读者自行讨论请读者自行讨论.-11-2-11(1)-1-11O1(2)即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理 6.12(极值的第三充分条件极
5、值的第三充分条件)设设 f 在点在点 x0 的的某邻域内存在直到某邻域内存在直到对于对于 的情形的情形,可借助于更高可借助于更高阶的导数来判别阶的导数来判别.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 由泰勒公式由泰勒公式,有有(ii)n 为奇数时为奇数时,不是极值点不是极值点.其中其中 它在某邻域它在某邻域 内恒与内恒与 同号同号.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这就说明这就说明了了 不是极值点不是极值点.例例 4所以由第二判别法所以由第二判别法,解解返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页求得极小值为求得极小
6、值为因此因此 x=1 不是极值点不是极值点(n=3 是奇数是奇数).又因又因而对于稳定点而对于稳定点 却无法知道结果却无法知道结果,我们尝试我们尝试用用第三充分条件来进行判别第三充分条件来进行判别.由于由于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(n=4是偶数是偶数).注注 第三充分条件并不是万能的第三充分条件并不是万能的.例如例如 x=0 是是所以无法用定理所以无法用定理 6.12 来判别来判别.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、最大值与最小值 由连续函数的性质由连续函数的性质,若若 f(x)在在 a,b 上连续上连续,那那只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得
7、只可能在极值点、区间端点和不可导点之中取得.一定是极大一定是极大(小小)值值.这也就告诉我们这也就告诉我们:最大最大(小小)值值区间内部区间内部(不是端点不是端点)取得最大取得最大(小小)值值,那么这个值那么这个值因为极大因为极大(小小)值是局部的最大值是局部的最大(小小)值值,故若函数在故若函数在值提供了强有力的保证值提供了强有力的保证.么一定有最大、最小值么一定有最大、最小值,这对求函数的最大这对求函数的最大(小小)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页下面具体介绍求函数最大下面具体介绍求函数最大(小小)值的方法值的方法.(3)设设(1)和和(2)的点为的点为 由前面的分由前面的
8、分析析,可知可知 f(x)在在 a,b上有上有:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以在在 x=0 连续，由导数极限定理推知连续，由导数极限定理推知故在故在 x=0 不可导不可导.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以 这样就得到不可导点为这样就得到不可导点为 0,稳定点为稳定点为 1,2.又因又因返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上无极小值点上无极小值点.所以最小值只能在端点取到所以最小值只能在端点取到,故故 例例 6 证明不等式：证明不等式：证证就是要证就是要证 F(x)的最小值非负的最小值非
9、负.于是证得于是证得(见下图见下图)返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页解解 设正方形的边长为设正方形的边长为 a,每一个小正方形的边长每一个小正方形的边长因为因为为为 x，则盒子的容积为，则盒子的容积为 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页仅有唯一的极值仅有唯一的极值,那么这个极那么这个极(大大)值一定是最大值一定是最大例例8 设某商店每天向工厂按出厂价每件设某商店每天向工厂按出厂价每件3元购进一元购进一小正方形后，得到最大容积为小正方形后，得到最大容积为 的无盖盒子的无盖盒子.值值.所以问题的解为所以问题的解为:在四个
10、角上截取边长为在四个角上截取边长为 的的 为为 400 件件.若零售价每降低若零售价每降低 0.05元元,可多售可多售 40 件件,批商品零售批商品零售.若零售价定为每件若零售价定为每件 4 元元,估计销售量估计销售量返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页结论：结论：(1)定价为定价为 3.75 元元/件时可获最大利润件时可获最大利润 450 元元;(2)应从工厂购进应从工厂购进 L(3.75)=450(元元)是极大值是极大值.因为因为 L(p)在所讨论的在所讨论的区间上仅有一个极值，所以区间上仅有一个极值，所以 L(3.75)就是最大值就是最大值.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页复习思考题1.若若 f(x)在在 x0 取极大值，是否可断定在取极大值，是否可断定在 x0 充充分分2.若若 f(x)在区间在区间 I 上连续，且仅有惟一的极值点上连续，且仅有惟一的极值点考察例子考察例子:小邻域内小邻域内,f(x)在在 x0 的左侧递增，右侧递减？的左侧递增，右侧递减？试试 必为必为 I 上的最大上的最大(小小)值？值？x0。试问当试问当 f(x0)为极大为极大(小小)值时，为什么值时，为什么 f(x0)