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1、量子物理基础2一、自由粒子状态描写一、自由粒子状态描写简谐平面波简谐平面波1 1、经典简谐波的波函数经典简谐波的波函数以坐标原点为参考点，以坐标原点为参考点，沿沿 x 正方向传播的一维简谐波的波函数，速率为正方向传播的一维简谐波的波函数，速率为 。欧拉公式：欧拉公式：3一般情况：一般情况：t 时刻时刻,到达空间到达空间 r（x,y,z）处某体积处某体积dV内的粒子数内的粒子数 t 时刻，出现在空间时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比数与总粒子数之比 t 时刻，粒子出现在空间时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的点附近单位体积内
2、的概率概率密度。概率概率密度。t 时刻，粒子在空间的概率密度分布时刻，粒子在空间的概率密度分布的物理意义：的物理意义：4波的相速度（对物质波而言没有物理意义）波的相速度（对物质波而言没有物理意义）1 1）物质波的波函数物质波的波函数不表示任何实在物理量的波动，不表示任何实在物理量的波动，不描不描述介质中运动状态（相位）传播的过程。述介质中运动状态（相位）传播的过程。注意：注意：概率密度，描述粒子在空间的统计分布概率密度，描述粒子在空间的统计分布概率幅概率幅2 2）有物理意义的不是有物理意义的不是 本身，而是本身，而是5干涉项干涉项波函数的归一化条件和标准条件波函数的归一化条件和标准条件粒子在整
3、个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1 11 1）归一化条件归一化条件对微观客体的量子力学描述：对微观客体的量子力学描述：脱离日常生活经验，避免借脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。用经典语言引起的表观矛盾，将波粒二象性统一到一起。2 2）标准条件标准条件6薛定谔方程薛定谔方程是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。是量子力学的基本假设之一，其正确性由实验检验。一、一、建立建立 （简单（简单复杂，特殊复杂，特殊一般）一般）1 1、一维自由粒子的薛定谔方程、一维自由粒子的薛定谔方程7非相对论情况下非相对论情况下自由粒子：自由粒子：代入代入*得得
4、即即 一维自由粒子的薛定谔方程一维自由粒子的薛定谔方程推广到三维情况推广到三维情况 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 8上式简化为：上式简化为：自由粒子的薛定谔方程自由粒子的薛定谔方程 拉普拉斯算符拉普拉斯算符 将上面的运算符号作用到波函数上，即可得到自由粒将上面的运算符号作用到波函数上，即可得到自由粒子的薛定谔方程。子的薛定谔方程。92 2、处在势场中的粒子的薛定谔方程、处在势场中的粒子的薛定谔方程粒子在力场中运动，且势能函数为粒子在力场中运动，且势能函数为哈密顿算符哈密顿算符3 3、定态薛定谔方程、定态薛定谔方程如果势能函数不显含时间如果势能函数不显含时间10其波函数可以用分离变量法求解薛定谔方程
5、而得：其波函数可以用分离变量法求解薛定谔方程而得：设波函数设波函数 则有则有 等式两边同除以等式两边同除以 是与是与 和和 无关的常数。这样可得两个方程无关的常数。这样可得两个方程 （1）（2）11解方程（解方程（1）得）得式中式中具有能量的量纲具有能量的量纲 方程（方程（2）称为定态薛定谔方程称为定态薛定谔方程（1）（2）它的解依赖于势函数它的解依赖于势函数 的具体形式。的具体形式。本课程只研究定态薛定谔方程问题。本课程只研究定态薛定谔方程问题。12 薛定谔方程应用举例薛定谔方程应用举例(一维问题一维问题)U=0UUU(x)x1313U(x)=0 (0 x a)势函数势函数代入一维定态薛定谔
6、方程的一般形式代入一维定态薛定谔方程的一般形式由题意可知，由题意可知，无限深方势阱无限深方势阱U=0UUU(x)x（粒子不能逸出势阱）（粒子不能逸出势阱）1414 0 x a无限深方势阱无限深方势阱U=0UUU(x)x令令通解通解:得得积分常数积分常数1515得得通解通解:得得 B=0由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：由波函数标准条件（单值、有限、连续）得边界条件：无限深方势阱无限深方势阱U=0UUU(x)x1616于是：于是：由归一化条件由归一化条件由于波函数与由于波函数与n有关，通常记为：有关，通常记为：1717处于一维无限深势阱中的粒子处于一维无限深势阱中的粒子18讨论讨论
7、解的物理意义：解的物理意义：1)1)无限深势阱中粒子的能量量子化无限深势阱中粒子的能量量子化满足不确定关系满足不确定关系粒子不可能静止不动，粒子不可能静止不动，式中式中Eoan=1n=2n=3n=4x只能取一系列得分立值只能取一系列得分立值19由由回到经典情况，能量连续。回到经典情况，能量连续。Eoan=1n=2n=3n=4x202)2)粒子在势阱中的概率分布粒子在势阱中的概率分布经典：经典：势阱中势阱中U=0，粒子匀速直线运动粒子匀速直线运动粒子在势阱内各处出现的概率相等粒子在势阱内各处出现的概率相等量子：量子：振幅函数振幅函数波函数波函数概率密度概率密度波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度
8、不等，粒子出现波函数为驻波形式，势阱中不同位置强度不等，粒子出现的概率不相同。的概率不相同。21oan=1n=2n=3n=4oan=1n=2n=3n=4xx22势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布与经典粒子不同。En但是，当但是，当n很大时，势阱内各处粒子出现的概率可以说是几很大时，势阱内各处粒子出现的概率可以说是几乎相同的（忽略有限个节乎相同的（忽略有限个节 点）点）。在大量子数的极限情况下，量子体系行为将趋于与经典行为在大量子数的极限情况下，量子体系行为将趋于与经典行为一致，这称为一致，这称为“对应原理对应原理”。23小结：求解问题的思路小结：求解问题的思路1.1.写出具体问题中势函数写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程的形式代入方程2.2.用分离变量法求解用分离变量法求解3.3.用归一化条件和标准条件确定积分常数用归一化条件和标准条件确定积分常数只有只有E取某些特定值时才有解取某些特定值时才有解本征值本征值本征函数本征函数4.4.讨论解的物理意义，讨论解的物理意义，即求即求|2，得出粒子在空间的概率分布。得出粒子在空间的概率分布。24例例 粒子在宽度为粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，处于的一维无限深势阱中运动，处于n=1状态，状态，解：解：