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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、 选择题：（18小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目规定的。）(1)下列反常积分中收敛的是(A)2+1xdx (B)2+lnxxdx(C)2+1xlnxdx (D) 2+xexdx【答案】D。【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到对的答案。 2+1xdx=2x2+=+； 2+lnxxdx=2+lnxd(lnx)=12(lnx)22+=+； 2+1xlnxdx=2+1lnxd(lnx)=ln(lnx)2+=+； 2+xexdx=-2+xde-x=-xe-x2+2+e-xdx =2e
2、-2-e-x2+=3e-2， 因此(D)是收敛的。综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学一元函数积分学反常积分 (2)函数fx=limt0(1+sintx)x2t在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1”型极限，直接有fx=limt01+sintxx2t =elimt0x2t1+sintx-1=e xlimt0sintt=ex(x0), fx在x=0处无定义，且limx0fx=limx0ex=1,所以 x=0是fx的可去间断点，选B。 综上所述，本题对的答案是B。 【考点】高等数学函数、极限、连续两个重要极限(3)
3、设函数fx=xcos1x, &x0，0, &x0(0,0).若fx在x=0处连续，则(A)-1 (B)02 (D)00，0, &x0再有 f+0=limx0+fx-f0x=limx0+x-1cos1x=0, 1,不存在，1， f-0=0于是，f(0)存在1，此时f0=0.当1时，limx0x-1cos1x=0， limx0x-1sin1x=0, -10,不存在，-10，因此，fx在x=0连续-1。选A综上所述，本题对的答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数f(x)在(-,+)内连续，其f(x)二阶导函数f(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(
4、x)的拐点个数为AOBx (A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】C【解析】f(x)在(-,+)内连续，除点x=0外处处二阶可导。 y=f(x)的可疑拐点是fx=0的点及f(x)不存在的点。fx的零点有两个，如上图所示，A点两侧f(x)恒正，相应的点不是y=fx拐点，B点两侧fx异号，相应的点就是y=fx的拐点。虽然f0不存在，但点x=0两侧f(x)异号，因而(0,f(0) 是y=fx的拐点。综上所述，本题对的答案是C。【考点】高等数学函数、极限、连续函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数f(,)满足fx+y,yx=x2-y2，则f=1=1与f=1=1依次是 (A)12,0 (B)0,
5、12(C)-12,0 (D)0,-12【答案】D【解析】先求出f,令=x+y,=yx,x=1+,y=1+,于是 f,=2(1+)2-22(1+)2=2(1-)1+=2(21+-1)因此f=1=1=221+-11,1=0 f=1=1=-22(1+)21,1=-12综上所述，本题对的答案是D。【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，函数f(x,y)在D上连续，则Dfx,ydxdy= (A)43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr (B) 43d12sin21sin2f(rc
6、os,rsin)rdr (C) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr (D) 43d12sin21sin2f(rcos,rsin)dr 【答案】 B 【解析】D是第一象限中由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,y=3x 围成的平面区域，作极坐标变换，将Dfx,ydxdy化为累次积分。 D的极坐标表达为 34，1sin212sin2， 因此 Dfx,ydxdy=43d12sin21sin2f(rcos,rsin)rdr 综上所述，本题对的答案是B。 【考点】高等数学多元函数积分学二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。(7)设矩阵A=11112a14a2,b=1dd2。若
7、集合=1,2，则线性方程 Ax=b 有无穷多解的充足必要条件为 (A)a,d (B) a,d (C)a,d (D) a,d 【答案】D 【解析】Ax=b 有无穷多解rAb=rA0，D是由曲线段y=Asinx(0x2)及直线y=0,x=2所 围成的平面区域，V1,V2分别表达D绕x轴与绕y轴旋转所成旋转体的体积。若V1=V2，求A的值 【解析】 V1=02A2sinx2=A2021-cos2x2dx=2A24 由A0可得 V2=202xAsinxdx =-2A02xdcosx =-2A(xcosx02-02cosxdx) =2A又 V1=V2 可得A=8【考点】高等数学一元函数积分学定积分的应用
8、(17)已知函数fx,y满足 fxyx,y=2y+1ex,fxx,0=x+1ex,f0,y=y2+2y 求fx,y的极值。 【解析】由 fxyx,y=2y+1ex，得 fxx,y=(y+1)2ex+(x)又已知 fxx,0=x+1ex 可得 ex+x=x+1ex 得x=x ex ,从而 fxx,y=(y+1)2ex+x ex对x积分得 fx,y=(y+1)2ex+x-1ex+(y)又f0,y=y2+2y， 所以y=0所以fx,y=(y+1)2ex+x-1ex于是fyx,y=(2y+2)ex, fxxx,y=(x+y2+2y+2)ex, fyyx,y=2ex令fxx,y=0，fyx,y=0得驻点
9、(0,-1)，所以A=fxx0,-1=1 B=fxy0,-1=0C=fyy0,-1=2由于B2-AC0,所以极小值为f0,-1=-1【考点】高等数学多元函数微分学二元函数的无条件极值(18)计算二重积分Dx(x+y)dxdy,其中D=(x,y)|x2+y22,yx2【解析】由于区域D关于y轴对称，所以Dxydxdy=0 原式=Dx2dxdy=201dxx22-x2x2dy =201x2(2-x2-x2)dx =201x22-x2dx-201x4dx令x=2sint,则 01x22-x2dx=044sin2tcos2tdt=12041-cos4tdt=8又01x4dx=15所以二重积分=4-25
10、【考点】高等数学多元函数积分学二重积分的计算(19)已知函数 fx=x11+t2dt+1x21+tdt，求fx的零点个数 【解析】 fx=-1+x2+2x1+x2,令fx=0，得驻点x=12, 当x12时，fx12时，fx0, fx单调增长； 由于f1=0，所以fx在(12,+)上存在唯一零点。 又f120.解得 T=Ce-kt+20 将初始条件T(0)=120代入上式，解得C=100 将t=30,T=30代入得k=ln1030,所以 T=100e-ln1030t+20 令T=21，得t=60,因此要降至21摄氏度，还需60-30=30（min） 【考点】高等数学常微分方程一阶常微分方程，微分
11、方程应用(21)已知函数fx在区间a,+上具有2阶导数，fa=0,fx 0,fx0.设ba,曲线y=fx在点(b,f(b)处的切线与x轴 的交点是(x0,0),证明ax00，故fx单调增长。由ba可知fbfa=0.又fb0,故f(b)f(b)0,即有x0b x0-a=b-f(b)f(b)-a=b-afb-f(b)f(b)由拉格朗日中值定理得 fb=fb-fa=fb-a,a0，所以fx单调增长，从而ffb,故 fb0,即x0a 综上所述，ax0b【考点】高等数学一元函数微分学微分中值定理(22)设矩阵A=a101a-101a,且A3=0 (1)求a的值； (2)若矩阵X满足X-XA2-AX+AX
12、A2=E,其中E为三阶单位矩阵，求X 【解析】(1) 由于A3=0，所以A=a101a-101a=a3=0于是a=0(2) 由于X-XA2-AX+AXA2=E所以 E-AXE-A2=E由(1)知E-A=1-10-1110-11,E-A2=001010-102由于E-A,E-A2均可逆，所以X=E-A-1E-A2-1=21-1010100=31-211-121-1【考点】线性代数矩阵矩阵方程(23)设矩阵A=02-3-13-31-2a相似与矩阵B=1-200b0031 (1)求a,b的值； (2)求可逆矩阵P,使PAP-1为对角矩阵。 【解析】(1) 由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr A=tr B,A=B于是 3+a=2+b,2a-3=b,解得 a=4,b=5(2) 由(1)知矩阵A=02-3-13-31-24,B=1-20230031由于矩阵A与矩阵B相似,所以E-A=E-B=-12(-5)故A的特性值为1=2=1，3=5.当1=2=1,解方程组E-Ax=0,得线性无关的特性向量1=210，2=-301当3=5，解方程组5E-Ax=0,得特性向量3=-1-11令P=1,2,3=10010-1011,则PAP-1=，故P为所求可逆矩阵。【考点】线性代数矩阵的特性值与特性向量矩阵的相似对角化