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1、第五章 相交线与平行线5.1相交线5.1.1 相交线邻补角与对顶角两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表：图形顶点边的关系大小关系对顶角121与2有公共顶点1的两边与2的两边互为反向延长线对顶角相等即1=2邻补角43 3与4有公共顶点3与4有一条边公共，另一边互为反向延长线.3+4=180注意点：（1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；（2）假如与是对顶角，那么一定有=；反之假如=，那么与不一定是对顶角；（3）假如与互为邻补角，则一定有+=180；反之假如+=180，则与不一定是邻补角；（4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而
2、对顶角只有一个.例：如图，三条直线交于一点，任意找出图中的四对对顶角 错解：如图， 对顶角为：（1）AOC与BOD ；（2）AOF与BOD ；（3）COF与DOE ；（4）AOC与BOE 错解分析：错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角，导致（2）和（4）错误假如对对顶角的概念没有真正理解和掌握，在比较复杂的图形辨认中会产生错误对顶角就是：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 正解：（1）AOC与BOD ；（2）BOE与AOF；（3）COF与DOE；（4）COE与DOF（答案不唯一： AOE 与BOF，BOC与AOD也是对顶角）5.1.2 垂线1、定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一
3、个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.ABCDO符号语言记作： 如图所示：ABCD，垂足为O2、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短.4、点到直线的距离直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离5.1.3 同位角、内错角、同旁内角12345678两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角.如图，直线被直线所截1、1与5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）2、5与3在截线的两旁（交错），在被截直
4、线之间（内），叫做内错角（位置在内且交错）3、5与4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角.6BAD2345789FEC例：1如图，判断下列各对角的位置关系：（1）1与2；（2）1与7；（3）1与BAD；（4）2与6；（5）5与8.解：我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图.如图所示，不难看出1与2是同旁内角；1与7是同位角；1与BAD是同旁内角；2与6是内错角；5与8对顶角.ABC17ABF21ABCD26ADBF1BAFE58C注意：图中2与9，它们是同位角吗？不是，2与9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成.5.2 平行线及
5、其鉴定5.2.1 平行线1、平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作.2、两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交；平行.因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也同样（这里，我们把重合的两直线当作一条直线）判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来拟定：有且只有一个公共点，两直线相交；无公共点，则两直线平行；两个或两个以上公共点，则两直线重合（两点拟定一条直线）3、平行公理平行线的存在性与惟一性通过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行4、平行公理的推论：假如两条直线都与第三条
6、直线平行，那么这两条直线也互相平行如左图所示，注意符号语言书写，前提条件是两直线都平行于第三条直线，才会结论，这两条直线都平行.例：同一平面内，不相交的两条线是平行线.错解：对 错解分析：平行线是同一平面内两条直线的位置关系，不相交的两条线，说的不明确若是射线或线段有也许不相交.说法是错误的 正解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线 5.2.2 平行线的鉴定鉴定方法 1 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行鉴定方法 2 两条直线被第三条直线所截，假如内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行鉴定方法 3 两条直线被第三条
7、直线所截，假如同旁内角互补，那么这两条直线平行ABCDEF1234 简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：32ABCD（同位角相等，两直线平行）12ABCD（内错角相等，两直线平行）42180ABCD（同旁内角互补，两直线平行）例：判断下列说法是否对的，假如不对的，请给予改正：（1）不相交的两条直线必然平行线.（2）在同一平面内不相重合的两条直线，假如它们不平行，那么这两条直线一定相交.（3）过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行解：（1）错误.平行线是在“同一平面内不相交的两条直线”.“在同一平面内”是一项重要条件，不能漏掉. （2）对的 （3）错误.对的的说法是“过直线外一点”而
8、不是“过一点”.假如这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的.例：如图，由条件2B，1D，3F180，可以鉴定哪两条直线平行，并说明鉴定的根据是什么？ABEDFC123解：（1）由2B可鉴定ABDE，根据是同位角相等，两直线平行； （2）由1D可鉴定ACDF，根据是内错角相等，两直线平行；（3）由3F180可鉴定ACDF，根据同旁内角互补，两直线平行.5.3 平行线的性质 5.3.1 平行线的性质性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；ABCDEF1234性质3：两直线平行，同旁内角互补.几何符号语言：ABCD12（两直线平行，内错角相等）ABCD32（两直线平
9、行，同位角相等）ABCDADEBC1242180（两直线平行，同旁内角互补）例：已知1B，求证：2C证明：1B（已知）DEBC（同位角相等，两直线平行）2C（两直线平行，同位角相等）例：如图，ABDF，DEBC，165ADFBEC123求2、3的度数解：DEBC2165（两直线平行，内错角相等）ABDF32180（两直线平行，同旁内角互补）3180218065115例：如图，直线AB，CD分别和直线MN相交于点E，F，EG平分BEN，FH平分DFN若ABCD，你能说明EG和FH也平行吗? 错解：EG平分BEN，BEG =BEN同理，FH平分DFN，DFH =DFN 又ABCD，BEN =DFN
10、；从而BEG =DFHEGFH 错解分析：在复杂的图形中对的地找出同位角、内错角或同旁内角，是运用平行线的鉴定或性质的前提认清一对同位角、内错角或同旁内角的关键是弄清截线和被截线，截线就是它们的公共边，其余两条边就是被截线而BEG和DFH不是直线EG，FH被某条直线所截得的同位角， 由BEG=DFH不能鉴定EGFH 正解：EG平分BEN， BEG =GEN =BEN，同理，FH平分DFN， DFH =HFN =DFN， 又ABCD，BEN =DFN，从而GEN =HFN 而GEN，HFN 是直线EG，FH被直线MN所截得的同位角，EGFH 例：如图，ABC中，已知1+2=180，3=B， 试判
11、断DE与BC的位置关系，并说明理由 错解：1+2=180，EFAB 3+BDE =1803=B，B+BDE =180DEBC错解分析：由12=180，不能得到EFAB虽然1和2是由直线EF和AB被直线DC所截得的角，但由于它们不是同旁内角， 尽管12=180， 也不能得到EFAB 正解：1=4，12=180，2+4=180 EFDB(同旁内角互补，两直线平行) 3+BDE=180(两直线平行， 同旁内角互补) 3=B，B+BDE=180 DEBC( 同旁内角互补，两直线平行) 5.3.2 命题、定理、证明1、命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题.2、命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组
12、成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.3、假如题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题.假如题设成立，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题.4、通过推理证实而得到的真命题叫做定理.5、在很多情况下，一个命题的对的性需要通过推理才干作出判断，这个推理过程叫做证明.5.4平移1、平移变换把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同.新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是相应点连接各组相应点的线段平行且相等2、平移的特性：通过平移之后的图形与本来的图形的相应线段平行（或在同一直线上）且相等，相应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化.通过平移后，相应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等.ADBECF例：如图，ABC通过平移之后成为DEF，那么：（1）点A的相应点是点；（2）点B的相应点是点.（3）点的相应点是点F；（4）线段AB的相应线段是线段；（5）线段BC的相应线段是线段；（6）A的相应角是.（7）的相应角是F.解：（1）D；（2）E；（3）C；（4）DE；（5）EF；（6）D；（7）ACB.