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1、24.1圆的有关圆的有关性质性质24.1.1 24.1.1 圆圆人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.导入新知导入新知骑车运动骑车运动看了此画看了此画,你有何想法你有何想法?导入新知导入新知【思考】【思考】车轮为什么做成圆形车轮为什么做成圆形?做成三角形、正方形可做成三角形、正方形可以吗？以吗？2.掌握掌握弦弦、弧弧、半圆半圆、优弧优弧、劣弧劣弧、同心圆同心圆、等圆等圆、等弧等弧等与圆有关的概念，并了解它们等与圆有关的概念，并了解它们之间的区别和联系之间的区别和联系.1.认识认识圆圆，理解，理解圆的定
2、义圆的定义.素养目标素养目标 一些一些学生正在做投圈游戏，他们呈学生正在做投圈游戏，他们呈“一一”字排字排开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当开这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？排成什么样的队形？探究新知探究新知 圆的定义圆的定义知识点 1甲丙乙丁为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆为了使游戏公平，在目标周围围成一个圆排队排队.因为圆上各点到圆心的距离都等于半径因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.探究新知探究新知rOAu圆的旋转定义（描述性定义）在一个平面内，线段在一个平面内，线段OA绕它固定绕它固定的一个端点的一个端点O旋转旋转一周一周，另一个端，另一个端点
3、所形成的图形叫做点所形成的图形叫做圆圆以点以点O为为圆心的圆，记作圆心的圆，记作“O”，读作，读作“圆圆O”.u有关概念固定的端点固定的端点O叫做叫做圆心圆心，线段线段OA叫叫做做半径半径，一般用，一般用r表示表示 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？探究新知探究新知一是一是圆心圆心，圆心确定其位置，圆心确定其位置；二是二是半径半径，半径确定其大小，半径确定其大小u确定一个圆的要素同心圆 等圆 半径相同，圆心不同圆心相同，半径不同探究新知探究新知圆可以看成圆可以看成到定点距离等于定长的到定点距离等于定长的所有点组成的所有点组成的.满足什么条件
4、的？满足什么条件的？有间隙吗？有间隙吗？圆也可以看成是由多个点圆也可以看成是由多个点组成组成的的到定点的距离等于定长到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上吗的点都在同一个圆上吗？探究新知探究新知（1）圆上各点到定点（圆心）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于）的距离都等于 （2）到定点的距离等于定长的点都在）到定点的距离等于定长的点都在 圆心为圆心为O、半径为、半径为r的圆可以看成是的圆可以看成是所有到定点所有到定点O的距离等于定长的距离等于定长r的点的的点的集合集合O ACErrrrrD定长定长r同一个圆上同一个圆上u圆的集合定义圆的集合定义【想一想想一想】从画圆的过程可以看出什么呢？从画圆
5、的过程可以看出什么呢？探究新知探究新知圆的基本性质圆的基本性质o同圆半径相等同圆半径相等.探究新知探究新知【想一想想一想】圆圆是一条曲线是一条曲线,还是一个曲面还是一个曲面?提示提示:圆是一条封闭的曲线圆是一条封闭的曲线,它是由到圆心的它是由到圆心的距离等于半径的点组成的曲线距离等于半径的点组成的曲线,而而不是不是曲面曲面.探究新知探究新知例例1 矩形矩形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于相交于O.求证：求证：A、B、C、D在以在以O为圆心的同一圆上为圆心的同一圆上.ABCDO证明：证明：四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，AO=OC，OB=OD.又又AC=BD，OA=OB=OC=OD.
6、A、B、C、D在以在以O为圆心，以为圆心，以OA为半径的圆上为半径的圆上.圆的定义的应用圆的定义的应用素素养养考考点点 1探究新知探究新知 1.如如图图,O的半径的半径OA,OB分别交弦分别交弦CD于点于点E,F,且且CE=DF.求证求证:OEF是等腰三角形是等腰三角形.巩固练习巩固练习分析：分析：作辅助线构造作辅助线构造OCE和和ODF,然后证明两三然后证明两三角形全等角形全等,最后根据全等的性质得出结论最后根据全等的性质得出结论.解解：连接连接OC,OD,OC=OD,C=D,CE=DF.OCEODF,OE=OF,OEF是等腰三角形是等腰三角形.u弦:COAB连接圆上任意两点的线段（如图中的
7、连接圆上任意两点的线段（如图中的AC）叫做）叫做弦弦.经过圆心的弦（如图中的经过圆心的弦（如图中的AB）叫做）叫做直径直径1.弦和直径都是弦和直径都是线段线段.2.直径是弦直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦最长的弦，但弦，但弦不一定是直径不一定是直径.探究新知探究新知圆的有关概念圆的有关概念圆的有关概念圆的有关概念知识点 2注注意意OABOAB探索：探索：圆中最长的弦是什么？为什么圆中最长的弦是什么？为什么？OABCCDCDOABCOABCDOABCD【发现发现】直径是最长的弦直径是最长的弦探究新知探究新知u弧:COAB圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条
8、弧，每一条弧都叫做圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆半圆劣弧与优弧 COAB半圆圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简弧以A、B为为端点的弧记作端点的弧记作 AB，读作，读作“圆弧圆弧AB”或或“弧弧AB”(小于半圆的弧叫做劣弧.如图中的AC;(大于半圆的弧叫做优弧.如图中的ABC.(劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示劣弧用两个字母表示，优弧用三个字母表示.探究新知探究新知u等圆:COA能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆.CO1A容易看出，等圆是容易看出，等圆是两个半径相等的圆两个半径相等的圆.u等弧:在同圆或等圆中，能
9、够互相重合的弧叫在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做做等弧等弧.探究新知探究新知【结论结论】等弧仅仅存在于同圆或者等圆中等弧仅仅存在于同圆或者等圆中.可见这两条弧可见这两条弧不可能不可能完全重合完全重合实际上这两条弧弯曲程度不同实际上这两条弧弯曲程度不同“等弧等弧”要区别于要区别于“长度相等的弧长度相等的弧”如图，如果如图，如果AB和和CD的拉直长度都是的拉直长度都是10cm，平移并调整，平移并调整小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合小圆的位置，是否能使这两条弧完全重合？DCAB【想一想想一想】长度相等的弧是等弧吗？长度相等的弧是等弧吗？探究新知探究新知ABCD例例2 2 如图如图.(1)请写
10、出以点请写出以点A为端点的优弧及劣弧为端点的优弧及劣弧;(2)请写出以点请写出以点A为端点的弦及直径为端点的弦及直径.弦弦AF,AB,AC.其中弦其中弦AB又是直径又是直径.（3）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧）请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.答案不唯一，答案不唯一，如：弦如：弦AF,它所对的弧是它所对的弧是 和和 .ABCEFDO劣弧劣弧：优弧优弧：AF,(AD,(AC,(AE.(AFE,(AFC,(ADE,(ADC.(AF(圆的有关概念的识别圆的有关概念的识别ABF(素素养养考考点点 2探究新知探究新知2.2.在在以下所给的命题中以下所给的命题中:半圆是弧半圆是弧;弦是弦是直径直径;如
11、图所围成的图形是半圆如图所围成的图形是半圆.其中正确的命题有其中正确的命题有.巩固练习巩固练习解析：解析：弧不但包括半圆，还包括优弧、弧不但包括半圆，还包括优弧、劣弧，劣弧，所以所以正确正确,不不正确；正确；弦包括经过圆心的弦弦包括经过圆心的弦(即直即直径径)与不经过圆心的与不经过圆心的弦所以弦所以不不正确；正确；例例3 如图，如图，MN是半圆是半圆O的直径，正方形的直径，正方形ABCD的顶点的顶点A、D在半圆上，顶点在半圆上，顶点B、C在直径在直径MN上。（上。（1）求证：）求证：OB=OC.连连OA,OD即可，即可，同圆的半径相等同圆的半径相等.10？x2x（2）设）设OB=x，则，则AB
12、=2x，在在RtABO中，中，（2）设设 O的半径为的半径为10，则正方形，则正方形ABCD的边长为的边长为 .圆的有关概念的应用圆的有关概念的应用解：解：（1）连接）连接OA，OD，证明证明RtABO RtDCO解得解得：素素养养考考点点 3探究新知探究新知3.3.CD为为 O的直径的直径,EOD=72,AE交交 O于于B,且且AB=OC,则则A=_.24解析：解析：OB=OC，AB=CO，AB=OB，A=BOA.又又OB=OE，E=EBO，EBO=2A，E=2A，又又EOD=E+A，3A=EOD，EOD=72，A=24巩固练习巩固练习1.对对下列生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）下列
13、生活现象的解释其数学原理运用错误的是（）A把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了把一条弯曲的道路改成直道可以缩短路程是运用了“两点两点之间线段最短之间线段最短”的原理的原理B木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的木匠师傅在刨平的木板上任选两个点就能画出一条笔直的墨线是运用了墨线是运用了“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短垂线段最短”的原理的原理C将自行车的车架设计为三角形形状是运用了将自行车的车架设计为三角形形状是运用了“三角形的稳三角形的稳定性定性”的原理的原理D将车轮设计为圆形是运用了将车轮设计为圆形是运用了“圆的旋
14、转对称性圆的旋转对称性”的原理的原理巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考B连接中考2.如图如图，O的半径为的半径为1，分别以，分别以 O的直径的直径AB上的上的两个四等分点两个四等分点O1，O2为圆心，为半径作圆，则图为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（中阴影部分的面积为（）A B0.5C0.25 D2巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考 B1.填空：填空：（1）_是圆中最长的弦，它是是圆中最长的弦，它是_的的2倍倍（2）图中有）图中有 条直径，条直径，条非直径的弦，条非直径的弦，圆中以圆中以A为一个端点的优弧有为一个端点的优弧有 条，条，劣弧有劣弧有 条条 直径直径半径半径一一二
15、二四四四四课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题ABCDOFE2.一点和一点和 O上的最近点距离为上的最近点距离为4cm,最远的距最远的距离为离为10cm,则这个圆的半径是则这个圆的半径是 .7cm或或3cm课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题3.判断下列说法的正误，并说明理由或举反例判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.(1)弦是直径；弦是直径；(2)半圆是弧；半圆是弧；(3)过圆心的线段是直径；过圆心的线段是直径；(4)过圆心的直线是直径；过圆心的直线是直径；(5)半圆是最长的弧；半圆是最长的弧；(6)直径是最长的弦；直径是最长的弦；(7)长度相等的弧是等弧长度相等的弧是等
16、弧.课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题 一根一根5m长的绳子，一端栓在柱子上，另一端长的绳子，一端栓在柱子上，另一端栓着一只羊，请画出羊的栓着一只羊，请画出羊的活动区域活动区域 5m课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题求证：直径是圆中最长的弦求证：直径是圆中最长的弦.证明：证明：如图，在如图，在 O中，中，AB是是 O的直径，半径是的直径，半径是r.CD是不同于是不同于AB的任意一条弦的任意一条弦.连接连接OC、OD，则则OA+OB=OC+OD=2r,即即AB=OC+OD.在在OCD中，中，OC+ODCD，ABCD.即直径是圆中最长的弦即直径是圆中最长的弦.课堂检测课堂检测拓
17、拓 广广 探探 索索 题题圆圆定定义义旋转定义旋转定义（描述性定义）（描述性定义）要画一个确定的圆，关要画一个确定的圆，关键是键是确定圆心和半径确定圆心和半径集集 合合 定定 义义同圆半径相等同圆半径相等有关有关概念概念弦弦（直直径径）直径是圆中最长的弦直径是圆中最长的弦弧弧半圆是特殊的弧半圆是特殊的弧劣劣弧弧半半圆圆优优弧弧同心圆同心圆等圆等圆同圆同圆等弧等弧能能 够够 互互 相相 重重 合合 的的 两两 段段 弧弧课堂小结课堂小结课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习PPT内容若有不全，系转换问题。内容完整，请放心下载！2 24
18、 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/24.1 圆的有关性质24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/你你知道赵州桥吗知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？导入新知导入新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.灵活运用灵活运用垂径定理垂径定理解决有关圆的问题解决有关圆的问题.1.
19、进一步认识圆，了解进一步认识圆，了解圆是轴对称图形圆是轴对称图形.2.理解理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.素养目标素养目标2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/实践探究实践探究实践探究实践探究 把一个圆沿着它的任意一条直径把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能得到什么结论？圆是轴对称图形，圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴探究新知探究新知圆
20、的轴对称性圆的轴对称性知识点 12 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/（1 1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.O说一说说一说（2 2）如何来证明圆是轴对称图形呢？）如何来证明圆是轴对称图形呢？探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/BOACDE 是轴对称图形是轴对称图形大胆猜想大胆猜想 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E【思考思考】左左图是轴
21、对称图形吗图是轴对称图形吗？探究新知探究新知满足什么条满足什么条件才能证明件才能证明圆是轴对称圆是轴对称图形呢？图形呢？2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/证明：证明：连结连结OA、OB.则则OAOB又又CDAB，直径直径CD所在的直线是所在的直线是AB的垂直平分线的垂直平分线.对于圆上任意一点，在圆上都有关于直对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线线CD的对称点，即的对称点，即 O关于直线关于直线CD对称对称.BOACDE 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴都是圆的对称轴.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关
22、性质/如如图，图，AB是是 O的一条弦的一条弦,直径直径CDAB,垂足为垂足为E.你能发现图中有那些相你能发现图中有那些相等的线段和劣弧等的线段和劣弧?为什么为什么?线段线段:AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD理由：理由：把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点两侧的两个半圆重合，点A与点与点B重合重合，AE与与BE重合重合，AC和和BC,AD与与BD重合重合 OABDEC探究新知探究新知垂径定理及其推论垂径定理及其推论知识点 22 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/u垂径定理垂径定理OABCDE垂直于弦的直径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且并且平分弦
23、所对的两条弧平分弦所对的两条弧.CD是直径是直径，CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.u推导格式：推导格式：温馨提示：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理垂径定理是圆中一个重要的定理,三种三种语言要相互转化语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/想一想：想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是，请说明为什么？是是不是，因为不是，因为没有垂直没有垂直是是不是，因为不是，因为CD没有过圆心没有过圆心ABOCDEOABCABOEABDCOE探
24、究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABO DC探究新知探究新知 归纳总结归纳总结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/【思考思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？题是真命题吗？过圆心过圆心 ；垂直于弦；垂直于弦；平分弦；平分弦；平分弦平分弦所对的优弧所对的优弧 ；平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的上述五个条件中的任何两个条件任何两个条件都可
25、以推出其他都可以推出其他三个结论吗？三个结论吗？一条直线一条直线过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦平分弦平分弦平分线所对的优弧平分线所对的优弧平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧具备其中两条具备其中两条其余三条成立其余三条成立探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/DOABEC举例证明其中一种组合方法。已知:求证：CD是直径是直径 CDAB，垂足为，垂足为E AE=BE AC=BC AD=BD探究新知探究新知证明猜想2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如图，如图，AB是是 O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使AE=BE.（1）CDAB吗？为什么？吗？为什么？
26、（2）BD（2）由垂径定理可得由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.（1）连接）连接AO,BO,则则AO=BO,又又AE=BE，OE=OEAOEBOE（SSS），），AEO=BEO=90，CDAB.证明举例AC与与BC相等吗相等吗？AD与与BD相等吗相等吗？为什么为什么？探究新知探究新知DOABEC证明：证明：2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/思考：思考：“不是直径不是直径”这个条件能去掉吗？这个条件能去掉吗？如不能如不能，请举出反例，请举出反例.平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平分并且平分弦所对的弧弦所对的弧.u垂径定理垂径定理的推论的推论
27、OABCD特别说明：圆的两条直径是互相平分的.探究新知探究新知归纳总结归纳总结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例1 如图，如图，OEAB于于E，若，若 O的半径为的半径为10cm,OE=6cm,则则AB=cm.OABE解析：解析：连接连接OA，OEAB，AB=2AE=16cm.16cm.素素养养考考点点1垂径定理及其推论的计算垂径定理及其推论的计算探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/1.如图，如图，O的弦的弦AB8cm，直径，直径CEAB于于D，DC2cm，求半径求半径OC的长的长.OABECD解：解：连接连接OA，CEAB于于D，设设OC=x c
28、m，则则OD=x-2,根据勾股定理，得根据勾股定理，得解得解得 x=5，即半径即半径OC的长为的长为5cm.x2=42+(x-2)2，巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例2已知：已知：O中弦中弦ABCD,求证：求证：ACBD.MCDABON证明：证明：作直径作直径MNAB.ABCD，MNCD.则则AMBM，CMDM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）AMCMBMDMACBD利用垂径定理及推论证明相等利用垂径定理及推论证明相等平行弦夹的弧相等平行弦夹的弧相等素素养养考考点点2探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关
29、性质/解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距过圆心作弦的弦心距（垂线段）（垂线段），或，或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线连结半径等辅助线，为应用垂径定理，为应用垂径定理创造条件创造条件.归纳总结归纳总结探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/2.如如图，在图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两条为互相垂直且相等的两条弦，弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形求证四边形ADOE是正方形是正方形D DO OA AB BC CE E又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOEADOE为为正方形正方形.证明：
30、证明：OEAC，ODAB，ABACOEA=EAD=ODA=90四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，AE=AC,AD=AB巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/例例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗中赵州桥主桥拱半径的问题吗?素素养养考考点点 3垂径定理的实际应用垂径定理的实际应用探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/解：解：如图，用如图，用AB表示主桥拱，设表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为半径为R.经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC垂足
31、为垂足为D，与弧，与弧AB交于点交于点C，则则D是是AB的中的中点，点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.AB=37m，CD=7.23m.解得解得R27.3（m）.即主桥拱半径约为即主桥拱半径约为27.3m.R2=18.52+(R-7.23)2 AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.如图如图a、b,一弓形弦长为一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆，弓形所在的圆的半径为的半径为7cm，则弓形的高为，则弓形的高为 .C DCBOADOAB图a图b2cm或或12cm 巩固练习巩固练习2 24 4.1
32、1 圆的有关性质圆的有关性质/在圆中有关弦长在圆中有关弦长a,半径半径r,弦心距弦心距d（圆心到弦的距圆心到弦的距离离），弓形高），弓形高h的计算题时，常常通过的计算题时，常常通过连半径连半径或作或作弦弦心距心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.涉及垂径定理时辅助线的添加方法涉及垂径定理时辅助线的添加方法弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：弓形中重要数量关系弓形中重要数量关系ABC DOhrdd+h=r OABC归纳总结归纳总结探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考C
33、2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/1.已知已知 O中，弦中，弦AB=8cm，圆心到，圆心到AB的距离为的距离为3cm，则此圆的半径为，则此圆的半径为 .5cm课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2.O的直径的直径AB=20cm,BAC=30则弦则弦AC=.2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.（分类讨论题）已知（分类讨论题）已知 O的半径为的半径为10cm，弦，弦MNEF,且且MN=12cm,EF=16cm,则弦则弦MN和和EF之间之间的距离为的距离为 .14cm或或2cm课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关
34、性质/已知：如图，在以已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆为圆心的两个同心圆中，大圆的弦的弦AB交小圆于交小圆于C，D两点。你认为两点。你认为AC和和BD有什么有什么关系？为什么？关系？为什么？证明：证明：过过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE.AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE课堂检测课堂检测能能 力力 提提 升升 题题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如图，一条公路的转弯处是一段圆弧如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧即图中弧CD,点点O是弧是弧CD的圆心的圆心),其中其中CD=600m,E为弧为弧CD上的一点上的一点,且且OE
35、CD，垂足为，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.解解:连接连接OC.OCDEF设这段弯路的半径为设这段弯路的半径为Rm,则则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得根据勾股定理，得解得解得R=545.这段弯路的半径约为这段弯路的半径约为545m.课堂检测课堂检测拓拓 广广 探探 索索 题题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/垂径定理垂径定理内容内容推论推论辅助线辅助线一条直线满足一条直线满足:过圆心过圆心;垂直于弦垂直于弦;平分弦（不是直径）平分弦（不是直径）;平分弦所对的优平分弦所对的优弧弧;平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧.“知二推三知二推三”垂直于弦的直
36、径垂直于弦的直径平分弦平分弦,并且平分弦所并且平分弦所对的两条弧对的两条弧两条辅助线：两条辅助线：连半径，作弦心距连半径，作弦心距构造构造RtRt利用勾股定理计算或建立方利用勾股定理计算或建立方程程.基本图形及基本图形及变式图形变式图形课堂小结课堂小结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/课后作业课后作业作业内容教材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/PPT内容若有不全，系转换问题。内容完整，请放心下载！2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/24.1 24.1 圆的有关性质24.1.3 24
37、.1.3 弧、弦、圆心角人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？你会分吗？导入新知导入新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/3.理解理解圆心角、弧、弦圆心角、弧、弦之间关系定理中的之间关系定理中的“在同圆或等圆在同圆或等圆”条件的意义条件的意义.1.理解理解圆心角圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性旋转不变性.2.探索探索圆心角、弧、弦圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其之间关系定理并利用其解决相关问题解
38、决相关问题.素养目标素养目标2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/【思考思考】圆是中心对称图形吗圆是中心对称图形吗?它的对称中它的对称中心在哪里心在哪里?探究新知探究新知圆心角的概念圆心角的概念圆心角的概念圆心角的概念知识点 12 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/圆是中心对称图形.OAB180 【观察观察】1.将圆绕圆心旋转将圆绕圆心旋转180后，得到的后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的把圆绕圆心旋转任意一
39、个角度呢？仍与原来的圆重合吗？圆重合吗？O圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/OB A OB A观察在观察在 O中，这些角有什么共同特点？中，这些角有什么共同特点？顶点在顶点在圆心圆心上上探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/OABM1.圆心角：圆心角：顶点在圆心顶点在圆心的角，如的角，如AOB.3.圆心角圆心角 AOB所对的所对的弦为弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角圆心角弧弧 2.圆心角圆心角 AOB 所对的所对的弧为弧为 AB.弦弦探究新知探究新知2 24 4
40、.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/练一练：练一练：判别下列各图中的角是不是圆心角，并判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由说明理由.顶点在圆内，但不是圆心，不是圆心角顶点在圆外，不是圆心角顶点在圆周上，不是圆心角圆心角探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/AOBAOBOABAB 如图，在如图，在 O中，将圆心角中，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋旋转到转到AOB的的位置，你能发现哪些等量关系？位置，你能发现哪些等量关系？为什么？为什么？得到：得到：AB=AB探究新知探究新知圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的
41、关系知识点 22 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/在在 O中，如果中，如果AOB=COD，那么，那么，AB与与CD，弦，弦AB与弦与弦CD有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？COABD 由圆的旋转不变性，可得：由圆的旋转不变性，可得：在在 O中，中，如果如果AOB=COD，那么，那么，AB与与CD ，弦弦AB=弦弦CD归纳探究新知探究新知在同圆中探究在同圆中探究2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/OAB 如图，在等圆中，如果如图，在等圆中，如果AOBCO D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？O CD 通过平移和旋转将通过平移
42、和旋转将两个等圆变成同一个圆，两个等圆变成同一个圆，可得：可得：如果如果AOB=COD，那么，那么，AB=CD，弦弦AB=弦弦CD.归纳探究新知探究新知在等圆中探究在等圆中探究2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/在同一个圆或等圆中，在同一个圆或等圆中，如果圆心角相等，那么如果圆心角相等，那么它们所对的它们所对的弧相等弧相等，所对的，所对的弦相等弦相等AOB=CODAB=CD AB=CDABODC探究新知探究新知弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/【想一想想一想】定理定理“在同圆或等圆中，相等的圆心在同圆或等圆中，相等的圆心
43、角所对的弧相等，所对的弦也相等角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条中，可否把条件件“在同圆或等圆中在同圆或等圆中”去掉？为什么？去掉？为什么？不可以，如图不可以，如图.ABODC探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/如果如果弧弧相等相等那么那么弧所对的弧所对的圆心角圆心角相等相等弧所对的弧所对的弦弦相等相等如果如果弦弦相等相等那么那么弦所对应的弦所对应的圆心角圆心角相等相等弦所对应的弦所对应的优弧优弧相等相等弦所对应的弦所对应的劣弧劣弧相等相等如果如果圆心角圆心角相等相等那么那么圆心角所对的圆心角所对的弧弧相等相等圆心角所对的圆心角所对的弦弦相等相等在在同同圆
44、圆或或等等圆圆中中题设题设结论结论探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等探究新知探究新知弧、弦与圆心角关系定理的推论弧、弦与圆心角关系定理的推论2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/关系结构图关系结构图探究新知探究新知圆心角圆心角相等相等弧相等弧相等弦相等弦相等2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/解：解：BC=CD=DE 例例1 如图，如图，AB是是 O 的直径，的直径，BC=CD=DE.COD=35，求，求AOE 的
45、度数的度数AOBCDE素素养养考考点点 1利用弧、弦、圆心角的关系求角度利用弧、弦、圆心角的关系求角度探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/(1)等等弦所对的弧相等弦所对的弧相等.（）(2)等等弧所对的弦相等弧所对的弦相等.（）(3)圆心角圆心角相等，所对的弦相等相等，所对的弦相等.（）巩固练习巩固练习1.判断正误。判断正误。2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/证明：证明：AB=ACABC是等腰三角形是等腰三角形.又又 ACB=60，ABC是等边三角形是等边三角形,AB=BC=CA.AOBBOCAOC.例例2 如图，在如图，在 O中，中，AB=AC,ACB
46、=60.求证：求证：AOB=BOC=AOC.ABCO AB=CD，利用弧、弦、圆心角的关系证明相等利用弧、弦、圆心角的关系证明相等素素养养考考点点 2探究新知探究新知2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/2.填一填填一填.如图，如图，AB、CD是是 O的两条弦的两条弦（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_（2）如果）如果 ，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_CABDEFOAB=CDAB=CDAB=CD(AOB=CODAOB=CODAB=CD(AB=CD(巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/（4）如果）如果AB=CD，OE
47、AB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗？为什么？相等吗？为什么？CABDEFO解：解：OE=OF.巩固练习巩固练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/把把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则图中的虚线表示折痕，则BOC的度数是（）的度数是（）A120 B135 C150 D165解析：解析：如图所示：如图所示：连接连接BO，过点过点O作作OEAB于点于点E，由题意可得：由题意可得：EO=BO，ABDC，可得可得EBO=30，故故BOD=30，则则BOC=150巩固练习巩固练习连连 接接 中中 考考C2 2
48、4 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/1如果两个圆心角相等，那么如果两个圆心角相等，那么 （）A这两个圆心角所对的弦相等这两个圆心角所对的弦相等B这两个圆心角所对的弧相等这两个圆心角所对的弧相等C这两个圆心角所对的弦的弦心距相等这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D以上说法都不对以上说法都不对D课堂检测课堂检测基基 础础 巩巩 固固 题题2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .60 3.在同圆中，圆心角在同圆中，圆心角AOB=2COD,则则AB与与CD的关系是（的关系是（）AA.AB=2CD B.ABCD C.AB
49、CD,即即CD2AB.ABCEO易错点拨：易错点拨：在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；在同圆或等圆中，由弧相等可推出对应的弦相等；但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系但当弧有倍数关系时，弦不具备此关系.课堂检测课堂检测拓拓 广广 探探 索索 题题D2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/圆心角圆心角圆心角相等弧相等弦相等弦、弧、圆心角弦、弧、圆心角的关系定理的关系定理在同圆或等圆中在同圆或等圆中概念：概念：顶点在圆心的角解题指导解题指导注意前提条件；注意前提条件；注意灵活转化注意灵活转化.课堂小结课堂小结2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/课后作业课后作业作业内容教
50、材作业从课后习题中选取从课后习题中选取自主安排配套练习册练习配套练习册练习2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/PPT内容若有不全，系转换问题。内容完整，请放心下载！2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/24.1 24.1 圆的有关性质24.1.4 24.1.4 圆周角人教版人教版 数学数学 九九年级年级 上册上册2 24 4.1 1 圆的有关性质圆的有关性质/问题问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？什么叫圆心角？指出图中的圆心角？顶点在圆心顶点在圆心的角叫圆心角的角叫圆心角,BOC.问题问题2 如图，如图，BAC的顶点和边有哪些特点的顶点和边有哪些特点?A BAC的顶