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1、数学论文之中学数学教育中数学观念的培养 中学数学教育中数学观念的培养北师大实验中学 张继林 一、征询题的提出 中学数学教学大纲明确指出，中学数学教育的目的是：使学生学好从事社会主义现代化建立和进一步学习现代科学技术所必需的数学根底知识和根本技能，培养学生的运算才能、逻辑思维才能和空间想象才能，以逐步构成运用数学知识来分析征询题和处理实际征询题的才能。要培养学生对数学的兴趣，鼓舞学生为实现四个现代化学好数学的积极性，培养学生的科学态度和辩证唯物主义的观点。 一般教育的目的，在于养成学生许多各种不同的质量，能够按照一定条件把这些质量分为两个范畴：一般的和特别的。属于一般的质量，它不仅是在某一学科的
2、教学的过程中，而且是在学校全部的教学和教育过程中，乃至是在学生的全部生活过程中构成的。属于一般质量的有，辩证唯物主义世界观和思维，经历力，留意力，言语的一般开展水平，道德理想，审美才能等等。 在这里我考虑的征询题是：有哪些特别的质量关于学生个性的全面开展和社会成熟来说是必须的。中学的数学教育确实是为了构成这些质量。 布鲁纳如此写道：“在评价数学课程的时候，通过数学课所传授的专业知识的重要程度，并不如它提供的智慧课，也不如学生对数学课所传授的知识的信任感。实际上两个目的密不可分，缺少一个，另一个就不能到达。这门详细课程，就象其他任何课程一样，它的真正内容确实是人，作为生物的人的本性以及正在构成和
3、将构成人类质量的那些要素”。 那些只能在数学教学过程中养成的特别的质量有：建立现实的现象或过程的数学模型的才能，运用数学的方法分析现象的习惯和才能；掌握研究某些数学模型的工具等等。为了培养学生的这些特别质量，就要求在数学教学过程中，使学生掌握数学知识和以这些知识为根底的技能技巧构成一个系统，以便使学生： 科学地、正确地理解数学反映自然、社会和消费中数量关系和空间方式的最简单的法则的特点，并对这些知识的历史、来源和开展有明晰的认识； 明晰地明白得数学中采纳科学研究和证明的根本方法的本质； 能够运用掌握的数学知识处理一些实际征询题。 教育的根本主旨是培养人，确切地说，是为今后培养人。因而就不能仅教
4、给学生知识。技能，更重要的是教会学生思维，培养他们的才能。而数学观念的培养，就能到达这一目的。所谓数学观念，也确实是人们常说的数学头脑、数学教养。精确地说，是指用数学的思维方式去考虑征询题，处理征询题的自觉认识或思维习惯。比方；推理认识、整体认识、抽象认识、化归认识等等。 为到达数学教学目的，需取决于以下要素： 教学内容、知识的序列如何安排，知识的深度和广度、技能技巧要求的程度。 教学中理论联络实际的程度，特别是抽象的数学概念的构成以及其它的数学知识发生和开展的过程的教学的情况。 在课程体系中数学和其它学科的关系。 老师运用的数学方法是否得当。 学生对待数学学习的态度和方法。 二、数学观念的详
5、细内容及教育作用 数学观念与数学气质是不尽一样的。数学气质是指具有数学天才的人身上具有的独特的心理质量。它表现为力求把四周的现象数学化，总是处处留意现象的数学要素，留意空间和数量的关系、结合及各种函数的依存关系，总之是通过数学的目光来看世界。它是数学才能强的人所具有的一种特性。而数学观念是任何一个学生通过学习训练以后都可构成的运用数学思维方式的习惯。具有数学气质的人一定有数学观念，反之则不然。 要理解数学观念的内容，先要明白所谓数学思维。奥加涅认为真正完满的数学思维首先是辩证的思维，它又是自然科学的思维，即具有科学思绪的素养，如灵敏性、独创性、深化性、目的性、合理性、概括性等等。数学思维的特点
6、不仅表现为它具有科学思维的全部素养要素。还表现为它有本身的独特方式，即详细思维和抽象思维，函数思维，直觉思维等。关于数学思维的特点，数学家莫洛德希认为：能把不同内容的纯粹方式抽象出来，这确实是数学思维的特征。柯尔莫哥罗夫认为：数学思维的特点是连续的。适当分解的逻辑推理的艺术。欣钦则认为是：推理的逻辑方案，推理过程的精确的分解。格涅坚科认为是：数学思维经常表现为所谓数学才能，纯粹的逻辑论证的习惯。 综上所述，数学思维是具有辩证思维、抽象思维、逻辑思维、直觉思维等思维的特征且反映数学特点的思维。进展数学思维离不开推理，抽象概括，也离不开全面的看征询题及对 征询题进展转化。因而数学观念至少能够包括整
7、体认识、抽象认识、推理认识与化归认识。 （1）推理认识 推理认识确实是推理的习惯，或者说讲理的习惯。推理作为科学认识中导出知识的过程和方法，既包括在理论考虑中由一个或一些推断导致另一推断，也包括由经历事实引出概念、推断。推理包括演绎推理。归纳推理和类比推理。 推理不仅是个别人的思维过程，整个科学认识的开展确实是一系列的推理和连续推理。演绎推理不仅是检验命题真伪性的手段，而且还有科学的预见性。如欧几里得证明有无穷多个素数；英国剑桥的亚当斯与法国数学家列维烈按照牛顿引力假说计算出一个新行星的位置，柏林的天文学家加勒按照他们所预告的方位月望远镜寻找，果然觉察一颗行星，命名为海王星。这些都是演绎推理的
8、伟大成功。中学数学教学要让学生掌握演绎推理的根本思想，养成落笔有据、言之有理的习惯，即构成推理、讲理的自觉认识。数学中要加强演绎推理的标准体系，即公理化体系有其思想方法的教学，使学生深化体会演绎推理的本质。同时也要加强归纳推理与类比推理的教学，这种推理具有觉察新知识，新结论的功能。如欧拉利用类比推理将代数方程论的知识用到三角方程展开得到的所谓无穷次代数方程中，从而处理了自然倒数平方级数和征询题。这是一个光芒的例子。此外，归纳推理与类比推理，没有一定的法则能够遵照，对思维的灵敏性是一个特别好的训练，但要留意，归纳类比的结果未必一定是真确的，必须通过严格的证明才能确信。总之，推理认识包括归纳、类比
9、、演绎推理和自觉认识，使学生构成推理认识确实是养成落笔有据，言之有理的习惯。其作用是； 有助于构成良好的道德质量，提高实际生活才能。一个具有推理认识的人，不管遇到什么事情，都会自觉的弄清事情发生的本来，判明是非，从而采取公正、合理的措施处理征询题。这正是正直、老实的人所应该具有的。 体会科学研究的全过程。科学研究一般是始于观察与实验，在观察与实验的根底上，通过归纳与类比等推理提出假说，猜测。然后再列假说，猜测进展检验，包括理论上的论证和进一步的实验，最后上列为理论。培养推理认识的过程中，实际上就让学生理解了科学研究的一般过程及消除他们对科学研究的奇异感。树立起本人进展研究作出觉察的决心与决心。
10、这种从小的陶冶对青年学生今后的成长会起良好的作用。 促进良好思维质量的构成。捉进逻辑思维才能的提高，培养思维的批判性与组织性（经历的条理性）。 （2）抽象认识 抽象是数学及一切理论科学的共同特点，科学抽象是理性思维方法的一种方式。抽象认识是指学生学了数学以后构成的如下思维习惯： 从本质上看征询题。关于复杂的事物，现象，有认识地区分主要要素与次要要素。本质与外表现象，从而抓住本质处理征询题。 自觉地把适当的征询题化为数学征询题，即自觉地进展抽象概括，建立数学模型。对数量及形状的敏感等等。 抽象认识的培养，有助于培养思维的深化性，培养抽象概括才能。有助于加深对数学的应用性的认识，加强运用数学知识伪
11、才能。有助于对所学的知识的更深的理解。教学中应对抽象认识的培养给予充分的注重。 （3）整体认识 整体认识是指全面地、从全局上考虑征询题的习惯。这也是辩证法的要求，是数学教学中能够培养的，对学生今后的生活有严峻意义的观念。同时整体认识也是系统论思想的预备。美国学者E拉兹洛在评论贝塔朗菲的一般系统论时；把他的根本观点归纳为四点； 整体观点； 科学知识的整体化； 自然界的统一性； 注重人的要素。 “整体大于孤立部分的总和”这是贝塔朗菲关于组成系统的著名定律。整体认识的培养，更有助于培养思维的宽阔性，培养求异思维的才能。 （4）化归认识 化归认识是指在处理征询题的过程中，有认识的对征询题进展转化，变为
12、易解或已解的征询题。化归认识还意味着用联络的、开展的、运动变化的目光观察征询题，认识征询题：化归的品种特别多，如：整体与单一的转化；模型间的转化；正与逆的转化等等。化归的方向一般是：从未知到已经明白，由难到易，由繁到简，由一般到特别。化归的一般原则是RMI原则。所谓RMI原则确实是：令R表示一组原象的关系构造（或原象系统），其中包含着待确定的原象X，令M表示一种映射（一对应法则），通过它的作用假定原象构造系统R被映射成映象关系构造R1，其中自然包含着未知原象x的映象x1，假设有方法把x1确定下来，则通过反演即逆映射1M-1也就相应地把x确定下来。这确实是RMI原则的根本内容。 化归思想具有广泛
13、的应用。数学中的无限到有限的化归，数与形的互化，曲线到直线的化归，空间到平面的化归等等，处理了许多难以处理的征询题。数学中的函数、对应、同构，成为化归的几种方法。化归思想不仅能用于处理征询题，它关于培养思维的灵敏性也有特别大作用。也有利于培养逆向思维。 培养数学观念有助于良好的思维质量的构成，反过来，良好的思维质量的构成又可促进数学观念的构成，数学观念是在数学学习的过程中构成的。同时，具有数学观念又有利于数学的学习。数学与数学观念的培养是在同一过程中进展的，它们又具有互相促进的关系。 阻碍学生进一步学习的要素，在教育心理学中称之为学习预备。学习预备是指那些促进学习或者阻碍学习的个人特点的总和。
14、阻碍数学观念构成的要素可分别归入认知要素与非认知要素之中。 认知要素包括知识预备与认知开展预备。认知开展预备是指学生从事新的学习或一定范围的智慧活动所具备的认知功能的适 当开展水平。知识预备比起认知开展预备要复杂得多，它不仅涉及到学生学习的结果，而且与学生接受知识的过程也有特别大关系。因而要求学生结实掌握中学数学中的根底知识。根本技能，不仅掌握结果，还要掌握知识的来龙去脉，而且能用数学思想、方法统摄知识、技能，也确实是把根底知识根本技能作为数学思想、方法的“下位概念”（即特例）。 非认知要素包括学生的学习动机、学习兴趣、个人的意志质量、个人素养等等。老师所提出的要求直截了当阻碍到学生的学习目的
15、，从而阻碍知识预备到数学观念的构成。 培养数学观念的根本策略是知识预备：抓知识的教学，重思想的构成，促观念的培养。详细地说，有如下的要求： 使数学教学成为数学活动的教学。这是由于学习是一个过程。学习是从不知到知。从知之不多到知之较多的过程。是经历的获得及行为变化的过程。知识的获得。才能的提高、思维方式的构成等等无一不是在这个过程中完成的。因而我们要想在教学中到达某种目的，就必须紧紧抓住教与学的整个过程。 数学观念的构成不是一朝一夕的事，需要在长期的学习过程中体会。教学中，老师要有认识地引导学生进展数学思维活动，使他们通过积极的考虑，掌握知识。同时提示学生不满足于经历公式、法则和详细的解题、证题
16、的方法。更重要的是悉心体会处理征询题的过程中所用的各种手法，并把它们应用四处理新征询题的过程中去。 注重数学思想、数学方法的归纳。数学思想与数学方法是原认知构造中起固定作用的固定点。因而要培养数学观念，就必须注重数学思想与方法的归纳。 注重学生提出征询题处理征询题的实践。 注重非智力要素。非智力要素是认知要素中的主观要素，由于它们构成了学生学习过程中的心理条件，因而直截了当阻碍着学习的进展，从而阻碍着数学观念的构成。抓非智力要素，注重培养学生高尚的精神世界，使他们具有不懈的追求，抓非智力要素是促进数学观念构成的关键。 三、中学生学习数学的“过五关” （l）完成由算术到代数的转变，过好“抽象关”
17、。 中学生从初一开场，智力的开展，由形象思维为主要方式向抽象思维为主要方式过渡。良好的教学手段，能够促使这种过渡快速开展。用字母表示数是数学中的一大制造。是算术到代数的一种标志。尽管用字母表示数给数学的开展带来了无限宽阔的前景，但也十分抽象，给中学生学习代数带来了理解上的困难。因而用字母表承数的掌握是学好代数的第一步。在中学数学中还要完成数的三次扩大。在历史上一个新概念难产的时候，往往这个概念在教学中也是难点所在。负数”、“无理数”、“虚数”都是学生难于理解的。恒等变形并不是一种无聊的游戏，而是研究数学的有力的杠杆之一。恒等变形在中学代数中内容十分广泛。例如代数式的运算；化简与求值；整式的加减
18、；乘法公式与因式分解；分式，根式的化简；指数式，对数式及三角函数式化简等等。因而明确恒等变形的目的，培养化归的认识，掌握恒等变形的方法与技巧是学好代数的关键之一。在代数中有许多通性通法，例如各种运算定律；配方法；待定系数法；数学归纳法；消去法等等，这些都是中学生学习代数的分化点。学好代数的又一关键是理解数学思想与方法，并能在解题的实践中灵敏地运用。 （1）确立公理化的思想，过好“方式逻辑关”。 数学这门科学与其它科学的不同之处，除研究对象不同外，最突出确实实是对象的内部规律的真实性，必须用逻辑推理的方式来证明。首先必须明确对象的概念，其次是内部规律必须表现以命题的方式（包括公式），经推理证明后
19、；就叫做定理。因而一部数学理论，即由一套概念、命题和命题的推理证明所组成。这里所说的推理指的是逻辑学中的演绎推理，它是由三段论的方式来实现的。所谓三段论确实是由大前提、小前提得出结论三个阶段命题真实 的方式。命题的推证又有其通法，即直截了当法与间接法；综合法与分析法及一般归纳法等等。通过初等几何的教学，对培养学生的逻辑思维才能有特别的作用。这是由于与中学数学的其它分支相比，初等几何的编排，在逻辑顺序上反映得最突出、最明显也最详细；在用三段论法推证命题时表达得也较完好；常用的推证通法包含得也较全面，而且抽象的概念和命题的构成，也能较详细地表达出由详细到抽象的思维过程。因而培养学生的逻辑思维才能。
20、也就成为初等几何教学目的之一。正由于如此，初等几何也就成为学生的分化点之一。过好初等几何这一关的关键点在于，使学生实在掌握初等几何的根底知识，以及应用这些知识处理有关几何计算和几何作图的根本技能；使学生理解三段论法确立公理化思想，培养与开展学生的由实践到理论、由详细到抽象以及进展推理论证的逻辑思维才能；培养与开展学生的观察、想象与表达几何形象的空间想象的才能。 （3）做好由平面到空间的过渡，过好“空间想象关”。 培养学生的空间想象力，主要是培养学生正确。迅速地看明白直观图所反映的真实形象的才能；培养他们按照文字表达的条件。能正确反映出符合条件的立体形象的才能。但是不管哪一方面才能的培养，都必须
21、通过由画图到看图的训练。空间想象才能正是实现二维平面图形和三维空间囹形互相转化的才能。从学生心理上看；这种转化是困难的。这是由于学生缺乏心理预备，关于平面几何中的位似图形以及视图的知识没有掌握，以致学生在学习立体几何之前，缺乏必要的心理预备和知识预备：另外歪曲真象的平而图内阻碍感知和想象，成为学生不理解、不习惯的重要要素；同时在立体几何中为了实现由二维图形向三维空间图形的转化，必须借助于逆向思维，由于学生的逆向思维才能不强，加上又是按照歪曲真象的图形进展思维；学生不理解，难于掌握也就成为特别自然的事了。习惯学生心理，培养学生空间想象力的做法通常是： 老师演示和学生动手相结合，提高感知效果。 强
22、化图形立体感，提高想象效果。例如，利用标准图形衬托立体感，加强比照加深立体感受，利用理论认识，强化立体感等等。 通过比拟，抑制负迁移的阻碍，发挥正迁移的作用。例如，通过比拟，建立概念，利用概念，进展比拟；通过比拟画图利用图形进展比拟；通过图形转化进展比拟，利用比拟实现图形转化等等。 利用坐式培养学生的想象才能。 发挥思维的作用，提高学生的想象才能。例如，通过分析，由整体想部分；通过分析，由部分想整体；通过分析、比拟，寻求征询题的共同本质和不同的解法等等。 （4）做好由常量数学到变量数学的过渡，过好“函数关”。 函数在中学代数里占有重要地位。这是由于： 由常量数学到变量数学在思维方面是个飞跃，这
23、对培养学生思维才能方面有重要意义； 特别多常量数学不能处理或不易处理的征询题，通过变量数学可IJ得到特别好的处理； 变量数学是学习物理、化学等其它学科的有力工具； 特别多常量数学的征询题能够用变量数学的观点未处理。 在中学数学教学中，关于函数的内容主要是下面三个方面； 研究根本初等函数（其中包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数）的概念、定义域、值域、性质、图象； 通过根本初等函数的研究，掌握函数的一般性质，如定义域、值域、有界性、奇偶性、互 逆性、单调性、周期性等； 一整套作函数的图象的方法，包括平行挪动法，尺标变换法，综合变换法。 函数的教学大致能够分为三个阶段： 感性认识阶
24、段。这一阶段的根本内容有；通过各品种型的算术运算，让学生观察运算的结果与组成这一运算的各项之间的互相关系；通过代数式和方程的学习，让学生进一步认识到如何用文字来表示一般的函数关系，如何用代数式来表示量与量之间的关系等等；通过数的概念开展，来积累学生关于“集合”这一概念的初步思想；通过数铀和坐标的教学积累关于“对应”这一概念的初步思想。 理性认识阶段。这一阶段是函数教学的主要阶段，它分为两个小循环，即初中的“函数及其图象”和高中的从集合不断到三角函数。在高中要求学生构成函数的一般概念，深化地理解函数关系，掌握绘制简单的函数图象和讨论它们的性质的方法，学会应用函数的性质处理某些简单的实际征询题，把
25、学生的认识水平和思维才能向前推进一步。 稳定、深化和开展阶段。这一阶段主要的任务是理解国数的变化趋势，并通过它，初步掌握极限的方法一无限精确化的方法；利用微积分这一工具，对函数的增减、极限再作进一步的研究，并指出初等方法研究函数的局限性。微积分这一内容，今后参加中学数学教材是必定的。 讲解函数的概念时，要留意加强的几个内容： 求函数值； 像和原像； 离开定义城去议论函数是无意义的； 求函数的定义域； 在一个表达式中谁是自变量，谁是因变量都是相对而言的； 函数关系是区别各个不同函数的最主要的标志。 （5）掌握坐标法，过好“数形结合关”。 恩格斯指出：“笛卡尔的变数是数学中的转机点。由此运动和辩证
26、法进入了数学”。变量数学的建立，第一个决定性的步骤在于解析几何。通过解析几何的教学，使学生能利用常用的坐标法，运用代数、三谕等方面的理论，研究并掌握常用的平面几何图形的性质；建立曲线与方程的关系，并掌握相应为用的方法；开展学生的逻辑思维才能特别是辩证思维佬力；培养学生运用所学的知识来处理实际征询感的才能以及计算、绘图的才能和技巧。 高考中的解析几何综合题的要求是根高的。主要表如今： 要求结实掌握解析几何的根底知识； 计算量大，恒等变形要求高； 与代数及三角联络严密，因而要求学生对代数与三角知识不仅要掌握而且要灵敏运用； 数学思想方法的综合运雨，如方程的思想、函数的思想、化归的认识、转化的思想、数形结合的思想、待定系数法、配方法、反证法、分类与讨论、根本量法，多参数的消去法等等； 解析几何的教学方法上的特点是：。 充分利用直观要素进展教学，是反映变化观点的有力方法； 类比与比拟这两种方法的经常使用； 对代数、几何与三角的知识为学生进展必要的稳定； 有目的、有计划、有步骤的进展综合，由简单到复杂，由单科的综合到多科的缀合，由单一的数学思想方法的运用到多种数学思想方法的综合运用； 研究简化计算的方法，包括合理建立坐标系等； 不断做学生的思想工作，留意非智力要素，协助学生克服怕难、怕繁的思想，下决心学好解析几何。