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1、精选优质文档-倾情为你奉上第三节 二阶线性微分方程及其解法n阶微分方程的一般形式为： ，一般情况下，求阶微分方程的解是困难的. 作为基础知识，本节仅讨论二阶常系数线性微分方程的求解方法.一、 二阶线性微分方程解的结构如果二阶微分方程的未知函数及其导数都是一次项的，称为二阶线性微分方程. 二阶线性微分方程的一般形式为 （7.3.1）如果，则方程（7.3.1）成为 （7.3.2）方程（7.3.2）称为二阶齐次线性微分方程，相应地，方程（7.3.1）称为二阶非齐次线性微分方程.定理7.1 齐次线性微分方程解的叠加性定理. 设和是二阶齐次线性微分方程（7.3.2）的两个解，则也是微分方程（7.3.2）
2、的解，其中为任意常数.证： 将代入方程（7.3.2）的左端，可得=0，所以，也是微分方程（7.3.2）的解.定理7.1表明，二阶齐次线性微分方程的解可叠加. 如果我们已知二阶齐次线性微分方程的两个解和，很容易得到含有任意常数的解，. 如果解和有一定关系，那么，解中的任意常数可以合并成一个任意常数. 因此，依据本章第一节的论述，它并不是二阶齐次线性微分方程的通解. 那么，二阶齐次线性微分方程的两个解和要满足哪些条件才能使解成为二阶齐次线性微分方程的通解呢？为此，引入线性相关和线性无关的概念.定义7.1 设函数和是定义在某个区间I上的两个函数，如果存在两个不全为零的常数，使在区间上恒成立，则称函数
3、和在区间上是线性相关的，否则是线性无关的.确定两个函数和在区间上是否线性相关的简易方法为：看这两个函数之比是否为常数. 如果等于常数，则与线性相关；如果等于函数，则与线性无关. 例如, 则与线性相关. ,则与线性无关.定理7.2 二阶齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果和是二阶齐次线性微分方程（7.3.2）的两个线性无关的特解，则是微分方程（7.3.2）的通解，其中为任意常数. 例如, ,都是二阶齐次线性微分方程的解, 是任意常数,则下列哪些选项表示微分方程的通解:A. B. C. D. E. F. G. 由二阶齐次线性微分方程的通解结构定理,可知:选项B,G为该方程的通解. 本定理可推广到
4、更高阶齐次线性微分方程.定理7.3 非齐次线性微分方程的通解结构定理. 如果是二阶非齐次线性微分方程（7.3.1）的一个特解，是该方程对应的二阶齐次线性微分方程（7.3.2）的通解，即余函数，则 是二阶非齐次线性微分方程（7.3.1）的通解.证： 将代入方程（7.3.1）的左端，可得=，所以，是微分方程（7.3.1）的解，又是二阶齐次线性微分方程（7.3.2）的通解，它含有两个任意常数，即解中含有两个任意常数，因此是二阶非齐次线性微分方程（7.3.1）的通解.上述定理和定义是求非齐次线性微分方程通解的理论基础.根据上述定理和定义，求二阶非齐次线性微分方程通解的步骤为：（1） 求对应的二阶齐次线
5、性微分方程（7.3.2）的两个线性无关的特解和，构成对应的二阶齐次线性微分方程的余函数；（2） 求二阶非齐次线性微分方程（7.3.1）的一个特解；则，二阶非齐次线性微分方程（7.3.1）的通解为.上述步骤也适用于求更高阶非齐次线性微分方程的通解.二、 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为 （7.3.3）其中，为常数. 根据定理7.2，要求二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的通解，只要求出该方程的任意的两个线性无关的特解和即可. 注意到方程（7.3.3）的系数是常数，可以设想如果能找到一个函数，其导数 ，和 之间只相差一个常数，该函数就可能是方程（7.3.3）的
6、特解. 而基本初等函数中的指数函数恰好具有这个性质. 因此，设方程（7.3.3）的解为，其中为待定常数，将、和代入微分方程（7.3.3），则有 ，即 （7.3.4）我们称方程（7.3.4）为二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的特征方程，而称为二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的特征多项式，特征方程的根称为二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的特征根.因为微分方程（7.3.3）的特征方程（7.3.4）为二次代数方程，其特征根有三种可能的情况，下面分别讨论并给出微分方程（7.3.3）的通解.（1） 当时，特征方程有两个相异的实根和，因此，微分方程有两个特解由于，所以线性无关.故二阶
7、常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的通解为 （为任意常数） （7.3.5）（2） 当时，特征方程有重根，因此，微分方程只有一个特解.设是微分方程（7.3.3）另一个特解，求导得:， . 将代入微分方程（7.3.3），注意到方程和，化简后得：.满足这个条件的函数无穷多, 取最简单的一个，则微分方程（7.3.3）另一个特解为，且线性无关.故二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的通解为 （为任意常数） （7.3.6）（3） 当时，特征方程有一对共轭复根，其中，. 因此，微分方程有两个特解.因为，所以线性无关. 为了便于在实数范围内讨论问题，我们用欧拉公式找两个线性无关的实数解. 由欧拉公式可得
8、根据齐次线性微分方程的解的叠加性定理,有和均为微分方程（6.3.3）的解. 而. 故二阶常系数齐次线性微分方程（6.3.3）的通解为 （为任意常数） . （7.3.7）综上所述，求二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的通解，只须先求出其特征方程（7.3.4）的根，再根据特征根的不同情况，分别选用公式（7.3.5）、（7.3.6）或（7.3.7），即可写出其通解.上述求二阶常系数齐次线性微分方程（7.3.3）的通解的方法称为特征根法，其步骤为：（1） 写出的特征方程；（2） 求出特征根；（3） 根据特征根的三种不同情况，分别用公式（7.3.5）、（7.3.6）或（7.3.7）写出微分方程（7
9、.3.3）的通解.特征根法亦适用于求更高阶常系数齐次线性微分方程的通解.例1 求方程的通解.解： 特征方程为特征根，所求通解为 （为任意常数）.例2 求方程的通解.解： 特征方程为特征根 所求通解为 （为任意常数）.例3 求方程的通解.解： 特征方程为特征根 所求通解为 （为任意常数）.例4 求方程的满足定解条件，的特解.解： 特征方程为特征根 所求通解为 对上式求导，得由定解条件，代入：，因此，所求特解为.三、二阶常系数非齐次线性微分方程 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为 （，为常数） （7.3.8）由定理7.3可知，如果是二阶非齐次线性微分方程的一个特解，则二阶非齐次线性微分方程的
10、通解为 其中为余函数，即该方程对应的二阶齐次线性微分方程的通解，可用二中的方法求得.当为某些特殊类型函数时，可用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解，代入公式（6.3.4）即可得到二阶非齐次线性微分方程的通解. 现就为某些特殊类型函数时，讨论用待定系数法确定二阶非齐次线性微分方程一个特解的方法. 1、 当，其中为常数，为次多项式： ，.因为多项式与指数函数的积的导数的形式不变，因此设微分方程（7.3.3）的一个特解为，其中为次待定多项式.例如, 则设;则设以，代入微分方程（6.3.3），整理后可得待定系数平衡公式或. （7.3.9）由此，通过比较两端的同次幂的系数确定待定多项式中的待定
11、系数. 因为特征方程的根不同，的次数也不同，分别讨论之.（1） 当，即不是特征方程的根时，要使平衡公式（7.3.9）的两端恒等，与应为同次多项式，即代入平衡公式（7.3.9），比较等式两端的同次幂的系数，可得含有待定系数的个联立方程：确定，就可以确定待定多项式，得到微分方程（7.3.3）的一个特解.(2) 当，即是特征方程的单根时，. 要使平衡公式（6.3.9）的两端恒等， 与为同次多项式，设.用与（1）同样的方法，就可以确定，得到微分方程（7.3.3）的一个特解.(3) 当，即是特征方程的重根时，要使平衡公式（7.3.9）的两端恒等，与为同次多项式，设.用与（1）同样的方法，就可以确定，得到
12、微分方程（7.3.3）的一个特解.上述讨论可归纳如下：当，其中常数，次多项式已知，微分方程的特解形式为，即，其中：与为同次多项式；，分别根据不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根而确定.2、 当，其中为常数时，可得复数.设微分方程的特解形式为，其中：为待定常数；，分别根据不是特征方程的根或是特征方程的一对共轭复根而确定.以代入原方程，比较同类项的系数，解得.例5 求方程的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为 其中为余函数，可用待定系数平衡公式确定.解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.特征多项式为，且,不是特征方程的根.设根据待定系数平衡公式,
13、比较系数, , 得所求通解为 （为任意常数）.例6 求方程的通解.分析: .解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.特征多项式为，且不是特征方程的根，为二次多项式，故设，根据待定系数平衡公式得比较等式两端同次幂的系数，可得 解得 即所求通解为 （为任意常数）.例7 求方程通解.解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.特征多项式为，且是特征方程的单根，为一次多项式，故设，即，根据待定系数平衡公式得 比较系数, ,得所求通解为, (为任意常数).例8 求方程的通解.解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.特征多项式为，且是特征方程的重根，为零次多项式，故设，即.根据待定系数
14、平衡公式得.所求通解为 (为任意常数).例9 求方程的通解.分析：所给方程为二阶常系数非齐次线性微分方程，通解可写为 其中为余函数，可用7.3节二中的方法求得：为一个特解，可用待定系数法确定.解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.因为，是特征方程的一对共轭复根.设微分方程的特解为， 为待定常数.，代入方程，可得，比较等式两端项的系数，得，特解为所求通解为 (为任意常数).例10 求方程满足定解条件的特解.解：特征方程为其特征根为，余函数为 为任意常数.特征多项式为，且是特征方程的单根，为零次多项式，故设微分方程的特解为，即.根据待定系数平衡公式得 所以，特解为，所求通解为 (为任意常数).，由定解条件代入可得：，联立求解得，所以，方程满足定解条件的特解为专心-专注-专业