《知识讲解 直接证明与间接证明（基础）1212.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《知识讲解 直接证明与间接证明（基础）1212.doc（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、开门见山证明与开门见山证明编稿：赵雷审稿：李霞【深造目的】1.操纵用综合理证题的思路跟特征。2.操纵用分析法证题的思路跟表达办法3操纵开门见山证明中的常用办法反证法的思想过程跟特征【要点梳理】要点一、综合理证题1定义：一般地，从命题的已经清楚条件出发，使用公理、已经清楚的定义及定理等，通过一系列的推实践证，最后推导出所要证明的结论成破，这种证明办法叫做综合理.2综合理的的全然思路：执因索果综合理又叫“顺推证法或“由因导果法.它是由已经清楚走向求证，即从数学题的已经清楚条件出发，通过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的征询题综合理这种由因导果的证明办法，其逻辑按照是三段论式的归结推理办法3综
2、合理的思想框图：用表示已经清楚条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，那么综合理可用框图表示为：已经清楚逐步推导结论成破的需求条件结论要点说明1从“已经清楚看“可知，逐步推出“未知，由因导果，其逐步推理理论上是寻寻它的需求条件；2用综合理证明不等式，证明步伐严谨，逐层递进，步步为营，档次清晰，办法繁复，宜于表达推理的思想轨迹；3因用综合理证明命题“假定A那么D的考虑过程可表示为：故要从A推理到D，由A推演出的两头结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2进一步推演出的两头结论那么可以更多，如C、C1、C2、C3、C4等等因此怎么样寻到“切入点跟有效的推理路途是有效使用综合理证
3、明征询题的“瓶颈4综合理证明不等式时常用的不等式1a2+b22ab当且仅当a=b时取“=号；2a，bR*，当且仅当a=b时取“=号；3a20，|a|0，(ab)20；4a，b同号；a，b异号；5a，bR，6不等式的性质定理1对称性：abba。定理2转达性：。定理3加法性质：。推论。定理4乘法性质：。推论1。推论2。定理5开方性质：。要点二、分析法证题1定义：一般地，从需求证明的命题出发，分析使谁人命题成破的充分条件，逐步寻寻义务题成破的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成破已经清楚条件、定理、定义、公理等，或由已经清楚证明成破，从而判定所证的命题成破的一种证明办法，叫做分析法.2分析法的全然思
4、路：执果索因分析法又叫“逆推证法或“执果索因法.它是从要证明的结论出发，分析使之成破的条件，即寻求使每一步成破的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个清楚成破的条件已经清楚条件、定理、定义、公理等为止.分析法这种执果索因的证明办法，其逻辑按照是三段论式的归结推理办法。3分析法的思想框图：用表示已经清楚条件跟已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，那么用分析法证明可用框图表示为：结论逐步寻寻使结论成破的充分条件已经清楚4分析法的格式：要证，只需证，只需证，由于成破，因此原不等式得证。要点说明：1分析法是综合理的逆过程，即从“未知看“需知，执果索因，逐步靠拢“已经清楚，其逐步推理
5、，理论上是寻寻它的充分条件2由于分析法是逆推证明，故在使用分析法证明时应留心逻辑性与规范性，即分析法有独特的表述5综合理与分析法的横向联系1综合理是把全部不等式看做一个全部，通过对欲证不等式的分析、不雅观看，选择适当不等式作为证题的出发点，其难点在于终究从哪个不等式出发合适，这就恳求我们不仅需熟悉、精确使用作为定理性质的不等式，还要留心这些不等式停顿适当变形后的使用分析法的优点是利于考虑，由于它倾向清楚，思路自然，易于操纵，而综合理的优点是宜于表述，档次清晰，办法繁复我们在证明不等式时，常用分析法寻寻解题思路，即从结论出发，逐步增加范围，进而判定我们所需求的“因，再用综合理有档次地表述证题过程
6、分析法一般用于综合理难以实施的时候2有些不等式的证明，需求把综合理跟分析法结合起来使用：按照条件的结构特征去转化结论，掉掉落两头结论Q；按照结论的结构特征去转化条件，掉掉落两头结论P假定由P可以推出Q成破，就可以证明结论成破，这种边分析边综合的证明办法，称之为分析综合理，或称“两头挤法分析综合理充分说明分析与综合之间互为条件、互相渗透、互相转化的辩证分歧关系，分析的起点是综合的起点，综合的起点又成为进一步分析的起点命题“假定P那么Q的推演过程可表示为：要点三、反证法证题开门见山证明不是从正面判定命题的真实性，而是证明它的反面为假，或改证它的等价命题为真，开门见山地抵达目的，反证法是开门见山证明
7、的一种全然办法1反证法定义：一般地，起首假定要证明的命题结论不精确，即结论的反面成破，然后使用公理，已经清楚的定义、定理，命题的条件逐步分析，掉掉落跟命题的条件或公理、定理、定义及清楚成破的理想等冲突的结论，以此说明假定的结论不成破，从而证明了原命题成破，如斯的证明办法叫做反证法.2反证法的全然思路：假定冲突确信分清命题的条件跟结论做出与命题结论相冲突的假定由假定出发，结合已经清楚条件，使用归结推理办法，推出冲突的结果判定发作冲突结果的缘故，在于开始所做的假定不真，因此原结论成破，从而开门见山地证明原命题为真3反证法的格式：用反证法证明命题“假定p那么q时，它的全部过程跟逻辑按照可以表示如下：
8、要点说明：1反证法是开门见山证明的一种全然办法.它是先假定要证的命题不成破，即结论的反面成破，在已经清楚条件跟“假定谁人新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已经清楚条件、临时假定等相冲突的结论，从而判定结论的反面不克不迭成破，即证明了命题的结论肯定是精确的.(2)反证法的优点：对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已经清楚条件.4反证法的一般步伐：1反设：假定所要证明的结论不成破，假定结论的反面成破；2归谬：由“反设出发，通过精确的推理，导出冲突与已经清楚条件、已经清楚的公理、定义、定理、反设及清楚的理想冲突或自相冲突；3结论：由于推理精确，发作冲突的缘故在于“反设的差错，既然
9、结论的反面不成破，从而确信了结论成破要点说明：1结论的反面即结论的否定，要特不留心：“全然上的反面为“不全然上，即“至多有一个不是，不是“都不是；“都有的反面为“不都有，即“至多有一个不，不是“都不；“都不是的反面是“部分是或全部是，即“至多有一个是，不是“全然上；“都不的反面为“部分有或全部有，即“至多有一个有，不是“都有2归谬的要紧典范：与已经清楚条件冲突；与假定冲突自相冲突；与定义、定理、公理、理想冲突5宜用反证法证明的题型：要证的结论与条件之间的联系不清楚，开门见山由条件推出结论的线索不足清晰；比如“存在性征询题、唯一性征询题等；假定从正面证明，需求分成多种状况停顿分类讨论，而从反面停
10、顿证明，只需研究一种或特不少的几多种状况.比如带有“至多有一个或“至多有一个等字样的数学征询题.要点说明：反证法表达出正难那么反的思想策略补集的思想跟以退为进的思想策略，故在处置某些正面考虑难度较大年夜跟探求型命题时，有独特的结果【模典范题】典范一、使用综合理证明有关命题例1已经清楚，试用综合理证明：.【分析】由于，因此；又由于，；因此.因此.【总结升华】使用综合理时，从已经清楚出发，停顿运算跟推理掉掉落要证明的结论，同时在用均值定理证明不等式时，一要留心均值定理使用的条件，二要使用定理对式子作适当的变形，把式分成假定干部分，对每部分使用均值定理后，再把它们相加或相减。举一反三：【变式1】求证
11、：【答案】待证不等式的左端是3个数跟的办法，右端是一常数的办法，而左端3个分母的真数一样，由此可遥想到公式，转化成能开门见山使用对数的运算性质停顿化简的办法.，左边，.【变式2】设、是互不相当的正数，且，试用综合理证明：【答案】由于，因此.例2.已经清楚数列称心,，求证：是等比数列；【思路点拨】按照等比数列的定义变形。【分析】由an1an6an1，an12an3(an2an1)(n2)a15，a25a22a115故数列an12an是以15为首项，3为公比的等比数列【总结升华】此题从已经清楚条件入手，分析数列间的互相关系，公正实现了数列间的转化，从而使征询题获解，综合理是开门见山证明中最常用的证
12、明办法。举一反三：【变式】已经清楚数列an中，Sn是它的前n项跟，同时Sn+1=4an+2n=1，2，a1=1。1设bn=an+12ann=1，2，求证：数列bn是等比数列。2设n=1，2，求证：数列cn是等差数列。【答案】1Sn+1=4an+2，Sn+2=4an+1+2，两式相减，得Sn+2Sn+1=4an+14ann=1，2，3，,即an+2=4an+14an，变形得an+22an+1=2(an+12an)。bn=an+12ann=1，2，bn+1=2bnn=1，2，。由此可知，数列bn是公比为2的等比数列。由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1，得a2=5，b1=a22a1=3。故bn
13、=32n1。2n=1，2，将bn=32n1代入，得n=1，2，。由此可知，数列cn是公差的等差数列，它的首项，故。例3如图，设在周围体中，是的中点.求证：垂直于所在的立体.【思路点拨】要证垂直于所在的立体，只需在所在的立体内寻到两条订交直线与垂直.【分析】连、由于是歪边上的中线，因此又由于,而是、的大年夜众边，因此因此,而，因此，由此可知垂直于所在的立体.【总结升华】使用综合理证明立体几多何中线线、线面跟面面关系的关键在于熟练地使用判定定理跟性质定理。这是一例模范的综合理证明.现将用综合理证题的过程展现给大年夜伙儿，供参考：1由已经清楚是歪边上的中线，推出，记为已经清楚；2由跟已经清楚条件，推
14、出三个三角形全等，记为；3由三个三角形全等，推出，记为；4由推出，记为结论.谁人证明步伐用标志表示的确是已经清楚结论.举一反三：【变式】如以下列图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F。求证：1PA立体EDB；2PB立体EFD。【答案】1贯串衔接AC交BD于O，贯串衔接EO。底面ABCD是正方形，点O是AC的中点，在PAC中，EO是中位线，PAEO。而EO立体EDB且PA立体EDB，PA立体EDB。2PD底面ABCD且DC底面ABCD，PDDC。由PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是歪边PC上的中线，D
15、EPC。异常由PD底面ABCD，得PDBC。底面ABCD是正方形，DCBC，BC立体PDC。而DE立体PDC，BCDE。由跟推得DE立体PBC。而PB立体PBC，DEPB。又EFPB且DEEF=E，PB立体EFD。典范二、使用分析法证明有关命题例4求证：【分析】错证：由不等式，平方得，即，那么1820，由于1820，因此错因：由于上述分析法的流程结构是，因此上述抄写格式导致了逻辑差错精确的证法如下：证明：欲证不等式，只需证成破，即证，即证1820成破由于1820是成破的，因此证毕【总结升华】1.在证明过程中，假定使用综合理出现艰辛时，应及时调解思路，分析一下要证明结论成破需求如何样的充分条件是
16、明智之举.从结论出发，结合已经清楚条件，逐步反推，寻寻使当前命题成破的充分条件的办法.2.用分析法证明征询题时，肯定要恰本地用好“要证“只需证“即证“也即证等词语举一反三：【变式1】已经清楚、是正数，用分析法证明:.【答案】要证成破，只需证成破，即证.即证，也的确是要证,即.该式显然成破，因此.【变式2】用分析法证明：假定a0，那么。【答案】要证，只需证。a0，单方均大年夜于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成破。原不等式成破。【高清课堂：开门见山证明与开门见山证明401471例题2】【变式3】已经清楚，求证：【答案】要证只需证，只需证，即欲证，只需证，即显然成破。欲证，只需证
17、，即显然成破。成破，且以上各步都可逆，故原不等式成破。例5.求证：【思路点拨】由于此题所给的条件较少，且不等式中项全然上根式的办法，因此用综合理证明比较艰辛.这时，可从结论出发，逐步反推，寻寻义务题成破的充分条件；不的，假定留心到，也可用综合理证明.【分析】法一：分析法要证成破，只需证明，单方平方得，因此只需证明，单方平方得，即，恒成破，原不等式得证.法二：综合理，.即原不等式成破.【总结升华】1.在证明过程中，假定使用综合理出现艰辛时，应及时调解思路，分析一下要证明结论成破需求如何样的充分条件是明智之举.从结论出发，结合已经清楚条件，逐步反推，寻寻使当前命题成破的充分条件的办法.2综合理写出
18、的证明过程档次清晰，易于理解；但综合理的证题思路并不随便想到，因此，在一般的证题过程中，屡屡是先用分析法寻寻解题思路，再用综合理抄写证明过程.举一反三：【变式】设a、b是两个正实数，且ab，求证：证明一：(分析法)要证+成破，只需证(a+b)(-ab+)ab(a+b)成破，即需证-ab+ab成破。(a+b0)只需证-2ab+0成破，即需证0成破。而由已经清楚条件可知，ab，有a-b0，因此0显然成破，由此命题得证。证明二：(综合理)ab，a-b0，0，即-2ab+0亦即-ab+ab由题设条件知，a+b0，(a+b)(-ab+)(a+b)ab即+，由此命题得证。典范三、反证法证明相关征询题例6.
19、已经清楚、是整数，且求证：、不克不迭够全然上奇数.【思路点拨】证明含有“不“不“无等否定性词语的命题，应考虑反证法。【分析】设、全然上奇数，那么、全然上奇数，因此为偶数，因此，这与已经清楚冲突，因此、不克不迭够全然上奇数.【总结升华】结论中含有“不是“不克不迭够“不存在等词语的命题，此类征询题的反面比较具体，合适使用反证法举一反三：【变式1】设an是公比为q的等比数列，Sn为它的前n项跟1求证：数列Sn不是等比数列2数列Sn是等差数列吗？什么缘故？【答案】假定Sn是等比数列，那么，即a10，(1+q)2=1+q+q2即q=0，与等比数列中公比q0冲突故Sn不是等比数列【高清课堂：开门见山证明与
20、开门见山证明401471例题5】【变式2】证明：是在理数.【答案】假定不是在理数.即是有理数，那么必存在整数，使得，其中为既约分数，那么，因此，因此能整除，从而为偶数，设，因此，即，因此2能整除，因此m,n均为偶数，这与为既约分数冲突，因此假定不成破。从而原命题成破，即是在理数.例7.如以下列图，已经清楚a，b，c是一致立体内的三条直线，ac，b与c不垂直，求证：a与b必订交【分析】证法一：假定a与b不订交，那么ab，因此1=2由于b与c不垂直，那么290，即190，因此a与c不垂直，这与已经清楚条件冲突，因此a与b必订交证法二：假定a与b不订交，那么a6，因此1=2由于ac，因此1=90，即
21、2=90，因此bc，这与已经清楚b与c不垂直冲突，因此a与b必订交证法三：假定a与b不订交，那么ab，因此1=2又b与c不垂直，那么290，即190又由于ac，因此1=90，得出190与1=90自相冲突，因此a与b必订交【总结升华】题设庞杂清楚，从正面入手较难，而反面易于导出冲突的命题，常用反证法用开门见山法难以入手，但其结论的反面特不清楚，因此用反证法证明比较便当举一反三：【变式】求证：两条订交直线有且只需一个交点【答案】证明：假定结论不成破，即有两种可以：1假定直线a、b无交点，那么ab，与已经清楚冲突；2假定直线a、b不止有一个交点，那么至多有两个交点A跟B，如斯同时通过点A、B就有两条
22、直线，这与“通过两点有且只需一条直线相冲突综上所述，两条订交直线有且只需一个交点例8.假定全然上正实数，求证:、中至多有一个成破.【思路点拨】“至多或“至多语句的证明宜用反证法。【分析】假定跟都不成破，那么有跟同时成破.由于且，因此且.两式相加得，因此，这与已经清楚条件冲突，因此、中至多有一个成破.【总结升华】从正面证明，需求分成多种状况停顿分类讨论，而从反面停顿证明，只需研究一种或特不少的几多种状况的征询题多用反证法.比如带有“至多有一个等字样的数学征询题.举一反三：【变式】已经清楚，求证：中至多有一个大年夜于.【答案】假定都小于或即是，由于，因此三者同为正或一正两负，又由于，因此三者中有两负一正，不妨设，那么由均值不等式得，即，解得，与假定冲突，因其中至多有一个大年夜于.