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1、第章 数与式！ 1 1实数对应学生用书起始页码 2 页考点一 实数的相关概念1 实数的分类正有理数正整数6 二次根式的相关概念 (1) 形如 a ( a;:=0) 的式子叫做二次根式 (2) 被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式是最简二次根式 (3) 几个二次根式化为(J) 最简二次根式 后，如果被开方数正实数11实数饲零正尤理数正分数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式 (4) 二次根式的性质：( a ) 2 = a( a;:=0) ； a2 = l a l 1l1负有理数负实数负尤理数负整数负分数考点二 实数的运算1 运算律和运算顺序(1) 有理数的运算律在实数
2、中仍然适用，如加法交换律，乘2 实数大小的比较(1) 在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数心 大 ，左边的点表示的数小 (2) 正数大于零，负数小于零；两个正数，绝对值大的较大； 两个负数，绝对值大的 较小 (3) 作差法比较两个实数的大小设 a、b 是任意两个实数，若 a-b0，则 ab；若 a-b = 0，则 a =b；若 a-b0，则 a b 3 数轴数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴上的点与 实数 一一对应 4 相反数、倒数、绝对值(1) 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 互为相反数的两个数，和等于 0 (2) 乘积是 1 的两个数互为 倒数 l a l =(3)
3、 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 a( a;:=0)，-a( a0) 考点三 科学记数法与近似数X n1 表示数据时，有时很难取得准确值，或者不必使用准确值时，我们可以用近似数来表示 2 科学记数法：把一个数表示成 a 10 的形式，其中 1冬l a l0，a-c1，b0)log表示 a，b 之间的一种运算 现有如下的运算法则：log an = n，log M = a M( a0，a-c1，N(2) 负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数；正数的任何次幕都是正数；0 的任意正整数次幕都是 0 0，N-c1，M0) aNloga N(3) 如果一个数的平方等于正数
4、 a，则这个数就叫做 a 的平例如：log 23 = 3，log 5 = log10 5，则 log1 000 = 方根，记作 土 a 正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方22log10 2100根是 0，负数没有平方根 正数 a 的正的平方根叫做算术平方根，解 析 log1 000 = log10 1 000 = log10 103 = 3 0 的算术平方根是 0 (4) 如果一个数的立方等于数 a，则这个数就叫做 a 的立方根 每个实数只有一个立方根 答案 3 2100log10 100log10 10225 年中考 3 年模拟 中考数学一、用数轴上的点表示数 对应学生用书起始页码 3
5、 页 解析 原式= 3 X (- 4 ) +6-(1- 3 ) 2数轴是数形结合的基础，能把数与直线上的点生动形象地联系起来 有了数轴，任何一个实数都可以用数轴上的一个确定的点来表示 例 1 ( 2019 吉林长春，1，3 分） 如图，数轴上表示-2 的点 A到原点的距离是( )A.-2B.223=-2+6-(1-2 3 +3)= 2 3 三、实数的混合运算结合特殊锐角的三角函数值、绝对值、负整数指数幕、零指数幕、二次根式的性质等基础知识，运用实数的运算律，进行实C.- 1D. 1数混合运算 运算过程中，注意数字的符号和运算顺序 1 -22解析 表示-答 案 B22的点到原点的距离是 2 故选
6、 B 例 3( 2019 山西， 16 ( 1）， 5 分） 计算： 27 + (- 2 ) -3tan 60 +(忨- 2 ) 0 十对|东1 ( 2019 内蒙古包头，2，3 分） 实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是()A.abB.a-b解析 原式= 3 3 +4-3 3 +1(4 分)= 5(5 分)十对|东 3 ( 2018 云南，15，6 分） 计算： 18 - 2cos 45 +( 1 ) -1 -(忨-1) 0 2C.-abD.-ab 故选 C 二、二次根式的运算- 3 a - 2,1 b 2,. 2 -a 3,- 2-b 解析 原式= 3 2 -2X
7、 2 +3-1(4 分)= 2 2 +2(6 分)四、用科学记数法表示实数如果二次根式的被开方数含有分母，那么可以利用 a科学记数法就是把一个数写成 aX10n 的形式，其中 1冬l a l0) 进行化简；如果被开方数中有因数( 或因式) 能开方开于原数中整数部分的位数减去 1，如 1 315 = 1 315X103 -a( ab)，BM =CH，BH = FH (1) 写出 AG 的长度( 用含字母 a，b 的代数式表示)； (2) 观察图形，当用不同的方法表示图形中阴影部分的面积时，你能否获得一个因式分解公式？ 请将这个公式写出来；(3) 如果正方形 ABCD 的边长比正方形 DEFG 的
8、边长多 16，它们的面积相差 960，试利用(2) 中的公式，求 a，b 的值 考点三 乘法公式公式名称公式表述平方差公式( a+b)( a-b)= a2 -b2完全平方公式( a土b) 2 = a2 土2ab+b2考点四 因式分解1 定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解 解析 (1) AG = a-b (2) 能 阴影部分的面积可表示为 a2 -b2 或 a( a -b) + b (a-b);a2 -b2 = a( a-b) +b( a-b) = (a+b)( a-b),即 a2 -b2 = (a+b)(a-b) (3) 由题意,得 a-b = 16心,a2 -b
9、2 = (a+b)(a-b) = 960,= 38 = 22. a+b = 60,由心、解得 a,b 5 年中考 3 年模拟 中考数学一、求代数式的值 三、整式的运算 对应学生用书起始页码 8 页求代数式的值，一般先化简，再代入字母的值进行计算；若给出几个字母之间的关系，则整体代入进行计算求值 9例 1 ( 2019 广东，14，4 分） 已知 x = 2y+3，则代数式 4x-8y+的值是 解析 把 x = 2y+3 代入 4x-8y+9 得,4(2y+3) -8y+9 = 8y+12-8y+9 = 21 答 案 21m十对|东 1 ( 2018 云南昆明，4，3 分） 若 m+ 1 = 3
10、，则 m2 +在运用公式或运算法则进行运算时，要先判断式子的结构特征，再确定解题思路，使解题更加方便、快捷 8例 3 ( 2019 吉林长春，15，6 分） 先化简，再求值：(2a+ 1) 2 - 4a( a-1)，其中 a = 1 解析 (2a+1) 2 -4a( a-1)= 4a2 +4a+1-4a2 +4a= 8a+1 江西当 a = 1 时,原式= 8X 1 +1 = 2 m12 = 答 案 78十对|东-( a-2) 2 3 ( 20188 ，13( 1），3 分） 计算：( a + 1) ( a - 1)解析 m+ 1 = 3,. m2 + 1 = (m+ 1 ) 2 -2 = 3
11、2 -2 = 7 解析 原式= a2 -1-(a2 -4a+4) = 4a-5 m二、幕的运算m2m四、分解因式1 看项数选公式，“ 两项” 考虑平方差公式，“ 三项” 考虑完全掌握幕的运算法则的特点，选择适当的公式进行运算 注意各运算法则的区别 例 2 ( 2018 吉林，3，2 分） 下列计算结果为 a6 的是 () A.a2 a3B.a12 -;a2C.( a2 ) 3D.(-a2 ) 3解析 A 的结果是 a5 ;B 的结果是 a10 ;C 的结果是 a6 ;D 的结果是-a6 故选 C 答 案 C十对|东 2 ( 2019 四川成都，6，3 分） 下列计算正确的是A.5ab-3a =
12、 2bB.(-3a2 b) 2 = 6a4 b2 ()C.( a-1) 2 = a2 -1D.2a2 b-;b = 2a2答 案 D解析 5ab 与 3a 不能合并,( - 3a2 b) 2 = 9a4 b2 ,( a- 1) 2 = a2 - 2a+1,所以选项 A,B,C 错误 2a2 b-;b = 2a2 ,选项 D 正确,故选 D 平方公式 2 分解因式的试题中一般采用“ 一提取”“ 二公式” 的方法进行因式分解，即如果整式中含有公因式，那么要先提取公因式， 再看余下的式子能否用公式法继续分解，直至不能再分解为止 当多项式是四项或五项时，可能需要先合理分组，再提公因式或用公式法进行分解
13、 例 4 ( 2019 湖北黄冈，11，3 分） 分解因式：3x2 - 27y2 = 解析 3x2 -27y2 = 3(x2 -9y2 ) = 3(x+3y)(x-3y) 答案 3(x+3y)(x-3y)十对| 东 4( 2018 湖北黄冈， 8， 3 分） 因式分解： x3 - 9x= 答案 x( x+3)(x-3)解析 x3 -9x = x( x2 -9) = x( x+3)(x-3) 1 3分式第章 数与式对应学生用书起始页码 11 页考点一 分式的有关概念与基本性质B A1 整式 A 除以整式 B，可以表示成 A 的形式，如果除式 B 中含有心 字母 ，那么 B ( B-c0) 称为分
14、式 2 当 分母等于 0 时，分式尤意义；当分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0 3 分式的基本性质分式的分子与分母都乘( 或除以) 同一个不等于 0 的整式， 分式的值不变 考点二 分式的运算1 分式的加、减运算(1) 通分的关键是确定几个分式的最简公分母 最简公分母的判断方法：系数取各个分母的系数的 最小3 分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的；最后的结果能约分的要约分，化为最简 考点三 分式的化简求值分式通过化简后，代入适当的值解决问题 注意代入的值要使分式的分母不为 0 分式的化简求值题型中，自选代值多会设“ 陷阱”，因此代值时千万不
15、可任性 总的来说有以下两类：(1) 当分式运算中不含除法运算时，自选字母的值要使原分式的分母不为 0；-1(2) 当分式运算中含有除法运算时，自选字母的值不仅要使原分式的分母不为 0，还要使除式不为 0 例 先化简，再求值： a -; (a-1-2a ) ，并从- 1，0，1，2 四公倍数 ；因式取分母中含有的所有因式，注意：相同的因式留一个，每个因式的指数取最高指数 (2) 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 a+1个数中选一个合适的数代入求值 解析 原式= a -; (a2 -1-2a-1 )a+1(3) 异分母分式相加减，先通分， 变为同分母的分式， 然后 2 -a+1a+1a+1
16、+a 1加减 2 分式的乘、除运算= aa 1-;a +2a(1) 约分的关键是确定分子、分母的公因式 = a a+1 公因式的判断方法：系数取分子、分母的系数的 最大公约数 ；因式取分子、分母都含有的因式( 即分子、分母中相同的因式)，注意：相同因式的指数取最低指数 a+1=, 1 a-2a( a-2)(2) 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母 a+1-c0 且 a-c0 且 a-2-c0,. a-c-1 且 a-c0 且 a-c2,(3) 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除. a = 1, 1 式相乘 当 a = 1 时,原式= 1-2 =-1 5 年
17、中考 3 年模拟 中考数学分式的化简求值灵活应用分式的基本性质，对分式进行通分和约分，一般要 对应学生用书起始页码 11 页 十对|东 ( 2019 福建，19，8 分） 先化简，再求值：( x - 1) -;(x-2x-1 ) ，其中 x = 2 +1 x先分解因式 化简求值时，一要注意整体思想，二要注意解题技巧，三要注意代入的值要使分式有意义 例 ( 2018 新疆，17，8 分） 先化简，再求值： ( 1 +1 ) -; x ，x解析 原式= (x-1) -;xx2 -2 +1x2 -(2x-1)其中 x 是方程 x2 +3x = 0 的根 x-1x2 -1= (x-1) -;x2解析
18、原式= 1+x-1-; x = x (x+1)(x-1) = x+1= (x-1) -;(x-x1)x-1x2 -1 x-1 x x x (4 分)= (x-1) -2 = x-1 x2 +3x = 0,. x = 0 或 x =-3 (6 分)(x 1) 当 x = 0 时,原式无意义,故 x =-3,此时原式= x+1 =-2 当 x = 2 +1 时,原式=2 +1= 2 +1 = 1+ 2 (8 分)( 2 +1) -122第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组） 2 1一次方程（ 组）考点一 一元一次方程及其应用1 定义：只含有心 一个未知数 ，并且未知数的次数是 1，这样的整式方程叫
19、做一元一次方程 (3)2 解一元一次方程的主要步骤：( 1) 去分母；( 2) 去括号； 移项；(4) 合并同类项 ；(5) 未知数的系数化为 1 3 常见应用问题 对应学生用书起始页码 16 页 (ii) 把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数， 得到一个一元一次方程；(iii) ) 解这个一元一次方程；(iv) 将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 问题模型常用等量关系鸡兔同笼(1) 鸡的头数+兔的头数= 头的总数；(2) 鸡脚的总数+兔脚的总数= 脚的总数增收节支总收入-总支出= 总利润数字问题(1) 变化前，两位数( 或三位数
20、) 各数位上的数字之间的大小关系；(2) 变化后，新旧两数之间的大小关系考点三 二元一次方程组的应用考点二二元一次方程组及其解法不定方程( 组) 是数论中的一个古老分支，内容极其丰富，我国对不定方程的研究已延续数千年，“ 百鸡问题”“ 五家共井问题” 等一直流传至今，秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来 如果二元一次方程 ax +by = e( a、b 为互质的整数，e为整数) 有整数解x = x0 ，那么它有通解x = x0 +bk，( k 为整数) 1 二元一次方程：含有两个未知数，且含有未知数的项的次 y = y0 ，y = y0 -ak数都是 1 的整式方程 2 把具有相同未
21、知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组 3 二元次方程组的解法(1) 用代入法解二元一次方程组的一般步骤例 ( 2019 黑龙江齐齐哈尔，8，3 分） 学校计划购买 A 和 B 两种品牌的足球，已知一个 A 品牌足球 60 元，一个 B 品牌足球75 元 学校准备将 1 500 元钱全部用于购买这两种足球( 两种足球都买)，该学校的购买方案共有( )A.3 种B.4 种C.5 种D.6 种(i) 从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含B解析 设恰好用完 1 500 元,可购买 a 个A 品牌足球和 b 个有 另一个未知数 的代数式表示出来；(ii) 将这个代数式代
22、入另一个方程，消去一个未知数，得到品牌足球 由题意,得60a+75b 5= 1 500,含有另一个未知数的一元一次方程；(iii) ) 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；(iv) 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解 (2) 用加减法解二元一次方程组的一般步骤(i) 方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数且不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使两方程中同一个未知数的系数相等或 互为相反数 ；整理得 a = 25- 4 b, a,b 为正整数,. 心b = 4 时,a = 20;b = 8 时,a = 15;b = 12
23、 时,a = 10;b = 16 时,a = 5 . 有 4 种方案,故选 B 答 案 B5 年中考 3 年模拟 中考数学一、用适当的方法解方程组掌握两种基本的消元方法：代入消元法和加减消元法，解方程组时要根据系数的特点选择适当的方法 + =4x+y = 10 例 1 ( 2018 福建，17，8 分） 解方程组：x+y = 1，x y 1, 心 对应学生用书起始页码 16 页 第三步 列，用含未知数的代数式表示等量关系中各部分的数量，并将等量关系转化成方程，联立成方程组；第四步 解，解所列方程组，求出方程组的解； 第五步 验，检验方程组的解是否符合题意； 第六步 答，规范写出答语 例 2 (
24、 2018 湖北黄冈，16，6 分） 在端午节来临之际，某商解析 4x+y = 10,店订购了 A 型和 B 型两种粽子，A 型粽子 28 元 千克，B 型粽子-心,得 3x = 9,解得 x = 3 把 x = 3 代入心,得 3+y = 1,解得 y =-2 24 元 千克，若 B 型粽子的质量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克，购进两种粽子共用了 2 560 元，求两种型号粽子各多少千克 由题意得解得解析 设 A 型粽子 x 千克,B 型粽子 y 千克,y =-2 所以原方程组的解为x = 3,y = 2x-20,28x+24y = 2 560,x = 40,y = 60 x+3y
25、= 9 - = 1 心十对 | 东 1( 2019 广东广 州， 17， 9 分） 解 方 程组：x-y = 1，x y,答：A 型粽子 40 千克,B 型粽子 60 千克 十对|东 2 ( 2018 江西，9，3 分） 中国的九章算术是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“ 今有牛五、羊二，直金十两 牛二、羊五，直金八两 问牛羊各直金几何？” 译文：今有解析 x+3y = 9,牛 5 头，羊 2 头，共值金 10 两；牛 2 头，羊 5 头，共值金 8 两 问-心得,4y = 8,解得 y = 2,将 y = 2 代入心,得 x-2 = 1,解得 x = 3,牛、羊每头各值金多少？ 设
26、牛、羊每头各值金 x 两、y 两，依题意， 可列出方程组为 y = 2 所以方程组的解为x = 3,答案5x+2y = 1022x+5y = 8二、列二元一次方程组解应用题一般步骤：第一步 审，明确文字中表述的两个等量关系和两个未知数； 第二步 设，用字母表示未知数；解析 每头牛值金 x 两,每头羊值金 y 两,根据“ 牛 5 头,羊头, 共值金 10 两; 牛 2 头, 羊 5 头, 共值金 8 两, 可5x+2y = 10,得2x+5y = 8 2 2一元二次方程第二章 方程（ 组） 与不等式（ 组） 对应学生用书起始页码 20 页 3 用根与系数之间的关系求值时常见的三个转化 1 + 1
27、 = x1 +x2 ； x2 + x2 = ( x + x ) 2 - 2x x ；( x - x ) 2 = ( x +考点一 一元二次方程及其解法x1 x2x1 x212121 21211 定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是心 2 的方程叫做一元二次方程 2 常用解法(1) 直接开平方法： 对于形如 x2 = b ( b ;:=0) 或( ax + b ) 2 =e( e;:=0) 的方程，直接开平方为 x = 土 b 或 ax+b = 土 e ；(2) 配方法： 将一元二次方程 ax2 + bx + e = 0( a -c0) 配方为( x+m) 2 = n(
28、 n;:=0) 的形式，再用直接开平方法求解 (3) 公式法：一元二次方程 ax2 +bx +e = 0( a-c0) 的求根公式(4)2a-：()为 x = -b土 b2 -4ae ( b2 -4ae;:=0) 因式分解法 将一元二次方程通过分解因式变为 x a( x-b)= 0 的形式，进而得到 x-a = 0 或 x-b = 0 来求解 考点二 根的判别式、根与系数之间的关系1 一元二次方程 ax2 +bx+e =0(a-c0)的根的判别式是 Li =b2 -4ae (1) Li0: 一元二次方程有两个 不相等 的实数根；(2) Li = 0: 一元二次方程有两个相等的实数根；(3) L
29、i0: 一元二次方程没有实数根 x2 ) 2 -4x1 x2 考点三 一元二次方程的应用常见的一元二次方程的应用问题有：1 增长率( 降低率) 问题：第一年产值为 a，若以后每年的增长率均为 x，则第二年的产值为 a(1+x)，第三年的产值为 a(1+x) 2 ；若以后每年的降低率均为 x，则第二年的产值为 a(1-x)，第三年的产值为 a(1-x) 2 2 利润问题：利润= 售价-成本，总利润= 单件的利润X数量 若一元二次方程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的解为 x1 、x2 ，则 ax2 +bx+e = a( x-x1 )( x-x2 )( a-c0) 所以我们可以通过求方
30、程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的根来分解二次三项式 ax2 +bx+e( a-c0) 例 在实数范围内分解 2x2 -4x-1 解析 方程 2x2 -4x-1 = 0 中,a = 2,b =-4,e =-1 Li = b2 -4ae = ( -4) 2 -4X2X( -1) = 24,. x = 4土 4 24 = 2土 6 = 1土 6 . x1 = 1+ 6 ,x2 = 1- 6 2 元二次方程的根与系数的关系2222如果方程 ax2 +bx+e = 0( a-c0) 的两个实数根为 x1 ，x2 ，那么. 2x2 -4x-1 = 2 (1 x-1- 6 lI (1 x-1
31、+ 6 lI 12a1 2ax +x =- b ，x x = e 2 丿 2 丿5 年中考 3 年模拟 中考数学一、解一元二次方程掌握一元二次方程几种解法的特点，理解一元二次方程化为一元一次方程的转化思想；用适当的方法解一元二次方程，一般先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑公式法和配方法 2 -=33301例 1 ( 2018 黑龙江齐齐哈尔，19，5 分） 解方程：2( x - 3) = 3x( x-3) 解析 原方程可化为 (x)x( x),( 分 ) 整理得,( x-3)(2-3x) = 0,(2 分)即 x-3 = 0 或 2-3x = 0,(3 分)3解得 x1 = 3,x2 =
32、2(5 分)十对|东 1 ( 2019 黑龙江齐齐哈尔，19，5 分） 解方程：x2 + 对应学生用书起始页码 21 页 2 在一元二次方程有根的情况下，利用根的判别式求参数取值( 或范围) 时，注意二次项系数不为 0 在用根与系数的关系求参数取值( 或范围) 后，要用根的判别式进行检验，若 Li;:=0，则所求参数取值( 或范围) 符合题意；若 Li 0，求 a 的取值范围 解析 关于 x 的一元二次方程 x2 - 2x + a = 0 有两个实数根,. Li = b2 -4ae;:=0,即( -2) 2 -4X1Xa;:=0,. 4-4a;:=0,6x =-7 解析 解法一：( 配方法)x
33、2 +6x+9 =-7+9,(1 分)(x+3) 2 = 2,(2 分)x+3 = 土 2 ,(3 分). a冬1 又由根与系数的关系可得 x1 x2 x1 x2 +x1 +x2 0,. a+20,. a-2,. -20,(2 分). x = -6土 8 = -6土2 2 ,A.m =-2B.m = 3()C.m = 3 或 m =-2D.m =-3 或 m = 2答 案 A22解析 设 x1 ,x2 是 x2 +2mx+m2 +m = 0 的两个实数根,. x1 =-3+ 2 ,x2 =-3- 2(5 分)二、根的判别式、根与系数之间的关系1 由题意知 Li = 4m2 -4(m2 +m) = -4m;:=0,. m冬0 x1 +x2 =-2m,x1 x2 = m2 +m,. x2 +x2 = (x +x ) 2 -2x x = 4m2 -2m2 -2m = 2m2 -2m = 12,在用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，有时要12121 2=先用配方法把 b2 -4ae 的结果写成完全平方式的形式，再利用完. m 3 或 m =-2 全平方式的非负性进行判断 注意区分这个配方法和解一元二次方程的配方法 又 m冬0,. m =-2 故选 A 2 3分式