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1、2023届高考数学专项练习导数解密36专题15导数中同构与放缩的应用同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的，考点一部分同构携手放缩法（同构放缩需有方，切放同构一起上）【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a0且a1时，有，(2)当a0且a1时，有再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x0) (“ex
2、”三兄弟与“lnx”三姐妹)(3)，(4)，(6)，再结合常用的切线不等式：，等，可以得到更多的结论(7)，(8)，(9)，【例题选讲】例1(1)已知，则函数的最大值为_答案2解析(当且仅当xlnx10取等号)1(2)函数的最小值是_答案1解析(当且仅当xlnx0取等号)(3)函数的最小值是_答案1解析(当且仅当x2lnx0取等号)例2(1)不等式恒成立，则实数a的最大值是_答案1解析，当且仅当xlnx0等号成立(2)不等式恒成立，则正数a的取值范围是_答案解析，当xlnx10时，原不等式恒成立，当xlnx10时，由于，当且仅当xlnx1等号成立，所以，故(3)不等式恒成立，则正数a的取值范围
3、是_答案解析(4)已知函数，其中b0，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_答案解析，由于，当且仅当xblnx0等号成立，所以(5)已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析，由于lnx1x，exex，两者都是当且仅当x12等号成立，则，所以(6)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数k的取值范围是_答案解析，由于exex，lnexx，两者都是当且仅当x1等号成立，所以，则，所以(7)已知不等式，对任意的正数x恒成立，则实数a的取值范围是_答案解析，当且仅当axlnx0，即时等号成立，由有解，易得(8)已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是_答案解析，令，显然该函数单调递增，即有两个
4、根，即有两个根，令，在(，1)单调递减，在(1，) 单调递增，例3(2020届太原二模)已知函数.(1)若函数有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若恒成立，求实数a的取值范围解析(1)定义域是，当时，在定义域上单调递增，不可能有两个零点；当时，由，得，当时，在定义域上单调递增，当时，在定义域上单调递减，所以当时，取得极大值当时，当时，因为有两个零点，所以，解得(2)要使恒成立，只要恒成立，只要恒成立，3令，则，当且仅当时取等号所以恒成立，实数a的取值范围为【对点精练】1函数的最小值为_1答案解析，当且仅当xlnx0等号成立2函数的最小值为_2答案1解析，当且仅当xlnx0等号成立3函数的最大
5、值是_3答案0解析(当且仅当xlnx0取等号)4已知不等式，对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_4答案解析，由于，所以5已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_5答案解析，当xlnx10时，原不等式恒成立，当xlnx10时，由于，当且仅当xlnx1等号成立，所以，故6已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_6答案解析，由于lnx1x，e2x2ex，两者都是当且仅当x1等号成立，则，所以7已知a，b分别满足，则ab_47答案e3解析同构化处理，并利用函数的单调性，令，显然该函数单调递增，即，即，则abe38已知x0是函数的零点，则_8答案2解析，所以，即，或，则考点二整体同构携手脱衣法
6、【方法总结】在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型（即不等式两边对应的同一个函数），无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法如，若F(x)0能等价变形为fg(x)fh(x)，然后利用f(x)的单调性，如递增，再转化为g(x)h(x)，这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称为同构方程），简称同构法1地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1) k(x1x2)f(x1)f(x2)kx1kx2f(x1)kx1f(x2)kx2yf(x)kx为增函数；(2) (x1f(x1)f(x2)yf(x)为减
7、函数；含有地位同等的两个变x1，x2或p，q等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）2指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：如，后面的转化同(1)说明；在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知5(2)商型：(3)和差：如；3无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）(1)；(2)；(3)【例题选讲】例4(1)若，则ABCD解析设，则，故在上有一个极值点，即在上不是单调函数，无法判断与的大小，故A、B错；构造函数，故在上单调递减，
8、所以，选C(2)若，都有成立，则a的最大值为()AB1CeD2e解析，即，令，则在上为增函数，在上恒成立，令，解得x1，在上为增函数，在上为减函数，的最大值为1，选B(3)已知，在区间内任取两实数p，q，且pq，不等式6恒成立，则实数a的取值范围为_解析当pq时，即，令，则，在递减，即，在递减，在上恒成立，在上恒成立，在上恒成立，当p0设g(x)f(x)，则g(x)aex10，g(x)在(0，)上单调递增，即f(x)在(0，)上单调递增，当a1时，f(1)0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，f(x)minf(1)1，f(x)1成立；当a1时，1，0，使得f(x0)aex
9、010，且当x(0，x0)时f(x)0，ae x01，lnax01lnx0，因此f(x)minf(x0)ae x01lnx0lnalnax01lna2lna122lna11，f(x)1，f(x)1恒成立；当0a1时，f(1)alnaa1，f(1)0，h(x)单调递增；在(1，)上h(x)0，h(x)单调递减，h(x)maxh(1)0，ln a0，即a1，a的取值范围是1，)【对点精练】1已知函数，若对任意正数x1，x2，当x1x2时，都有成立，则实数m的取值范围是_1答案m0解析由得，令，10，在单调递增，又，在上恒成立，即，令，则，在单调递减，(但取不到) m02已知函数，当x2x1时，不等
10、式恒成立，则实数a的取值范围是()ABCD2答案D解析由，得，令，则在上单调递增，又，在上恒成立，即，令，则，令，则在单调递减，在单调递增，选D3对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数3答案解析4对方程进行同构变形，并写出相应的一个同构函数4答案解析5对不等式进行同构变形，并写出相应的一个同构函数5答案解析6设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为_6答案解析，令，易知在上递增，所以， ，令，则，所以在上递增，在上递减，则，即7已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是_117答案解析，令，显然为增函数，则原命题等价于，令，则，所以在上递减，在上递增，则，所以，即得8
11、已知对任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为_8答案解析，即令，则在上递增，所以，所以，则，由导数法易证，所以9已知，不等式，对任意的实数恒成立，则实数a的最小值是()ABCD9答案C解析，即，令，则在单调递增，即，即，令，由导数法知，故选C10已知函数，当时，恒成立，则实数m的取值范围为()ABCD10答案解析，即，令，则在单调递增，即，当时，恒成立，当时，令，则，在上单调递增，故选B专题16导数中有关x与ex，lnx的组合函数问题在函数的综合问题中，常以x与ex，lnx组合的函数为基础来命题，将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不
12、等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值).着眼于知识点的巧妙组合，注重对函数与方程、转化与化归、分类讨论和数形结合等思想的灵活运用，突出对数学思维能力和数学核心素养的考查六大经典超越函数的图象函数f(x)xexf(x)f(x)图象函数f(x)xlnxf(x)f(x)图象考点一x与lnx的组合函数问题(1)熟悉函数f(x)h(x)lnx(h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)的图象特征，做到对图(1)(2)中两个特殊函数的图象“有形可寻”13(2)熟悉函数f(x)(h(x)ax2bxc(a，b不能同时为0)，h(x)0)的图象特征，做到对图(3)(4)中两个特殊函数的图象“有形可寻”【
13、例题选讲】例1设函数f(x)xlnxax(aR)(1)若函数f(x)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围；(2)若a2，kN，g(x)22xx2，且当x2时不等式k(x2)g(x)f(x)恒成立，试求k的最大值分析(1)将原问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合思想进行求解；(2)将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行求解解析(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1ax1ln xax，令f(x)0，可得a，令h(x)(x0)，则由题可知直线ya与函数h(x)的图象有两个不同的交点，h(x)，令h(x)0，得xe，可知h(x)在(0，e)上单调递增，在(e
14、，)上单调递减，h(x)maxh(e)，当x0时，h(x)，当x时，h(x)0，故实数a的取值范围为(2)当a2时，f(x)xln xx22x，k(x2)g(x)f(x)，即k(x2)22xx2xlnxx22x，整理得k(x2)xlnxx，因为x2，所以k设F(x)(x2)，则F(x)令m(x)x42ln x(x2)，则m(x)10，所以m(x)在(2，)上单调递增，m(8)42ln 842ln e2440，m(10)62ln1062ln e3660，所以函数m(x)在(8，10)上有唯一的零点x0，即x042ln x00，故当2xx0时，m(x)0，即F(x)0，当xx0时，F(x)0，2所
15、以F(x)minF(x0)，所以k，因为x0(8，10)，所以(4，5)，故k的最大值为4点评1极值点问题通常可转化为零点问题，且需要检验零点两侧导函数值的符号是否相反，若已知极值点求参数的取值范围，一定要对结果进行验证解答任意性(恒成立)、存在性(有解)问题时通常有分离参变量、分拆函数等求解方法，可根据式子的结构特征，进行选择和调整，一般可转化为最值问题进行求解2对于有关x与lnx的组合函数为背景的试题，要求理解导数公式和导数的运算法则等基础知识，能够灵活利用导数研究函数的单调性，能够恰当地构造函数，并根据区间的不同进行分析、讨论，寻求合理的证明和解不等式的策略【对点训练】1若a，b，c，则
16、()AabcBcbaCcabDbac1答案C解析设f(x)，则f(x)，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，即有f(6)f(4)f(3)，所以，故cab0，abba，有如下四个结论：(1)be；(3)存在a，b满足abe2，则正确结论的序号是()A(1)(3)B(2)(3)C(1)(4)D(2)(4)2答案C解析由abba两边取对数得bln aaln b对于y，由图象易知当bee，be2，故(4)正确，(3)错误因此，选C3设x，y，z为正数，且2x3y5z，则()A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x1)，两边取对数得xlog2t，ylog3t，zlog5
17、t，3从而2xln t，3yln t，5zln t由t1知，要比较三者大小，只需比较，的大小又，e34，从而，3y2x5z，故选D4下列四个命题：ln 5；4其中真命题的个数是()A1B2C3D44答案B解析构造函数f(x)，则f(x)，当x(0，e)时，f(x)0，f(x)单调递增；当x(e，)时，f(x)0，f(x)单调递减ln 5ln 22lnln 2，又22ln，又e，故正确11ln 2ln 112lne，故正确3eln 242，显然错误因此选B5已知函数f(x)kx2ln x，若f(x)0在函数定义域内恒成立，则k的取值范围是()ABCD5答案D解析由题意得f(x)0在函数定义域内恒
18、成立，即kx2ln x0在函数定义域内恒成立，即k在函数定义域内恒成立，设g(x)，则g(x)，当x(0，)时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当x(，)时，g(x)0，函数g(x)单调递减，所以当x时，函数g(x)取得最大值，此时最大值为g()，所以实数k的取值范围是，故选D6已知0x1x2Bx1ln x2Dx2ln x10，得x，所以函数f(x)在上单调递增；由f(x)0，得0x0，得0xe4，即函数g(x)在(0，e)上单调递增，故函数g(x)在(0，1)上单调递增，所以g(x1)g(x2)，即，所以x2ln x10，所以a令g(x)，则g(x)令g(x)0，得0x，令g(x)所以当0
19、x时，g(x)单调递减所以当x时，g(x)取得最大值g()，所以a，即a的取值范围是(2)设yf(x)的图象与直线ya相切于点(t，a)，依题意可得因为f(x)a，所以消去a可得t1(2t1)ln t0(*)令h(t)t1(2t1)ln t，则h(t)2ln t1，易知h(t)在(0，)上单调递减，且h(1)0，所以当0t0，h(t)单调递增，当t1时，h(t)0)当a0时，f(x)0，此时函数在(0，)上单调递增；当a0时，令f(x)0，得x，当x时，f(x)0，此时函数f(x)在上单调递增(2)由题意知：a在区间(1，e上有两个不同实数解，即直线ya与函数g(x)的图象在区间(1，e上有两
20、个不同的交点，因为g(x)，令g(x)0，得x，所以当x(1，)时，g(x)0，函数在(，e上单调递增；则g(x)ming()3e，而g(e)27e27，且g(e)e327所以要使直线ya与函数g(x)的图象在区间(1，e上有两个不同的交点，则3e0时，f(x)0时，f(x)0，即2a在x0时恒成立9令g(x)(x0)，则g(x)，易知g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则g(x)maxg(1)1，所以2a1，即a故实数a的取值范围是(2)证明若ae，要证f(x)xex，只需证exln xex，即exex0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)mi
21、nh0，所以ln x0再令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0因为h(x)与(x)不同时为0，所以exexexex(x0)(分离ln x与ex)，便于探求构造的函数h(x)ln x和(x)exex的单调性，分别求出h(x)的最小值与(x)的最大值，借助“中间媒介”证明不等式【对点训练】1已知函数f(x)lnx(a0)(1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；(2)证明：当a时，lnxex01解析(1)由题意可知，函数f(x)的定义域为(0，)由f(x)ln x0有解，得axlnx有解，令g(x)xln x，则g(x)(ln x1)当x时，g(x)0，当x时，g(x)0，a0，00，即证ln xex，x0，即证xln xaxex，即证(xln xa)min(xex)max令h(x)xln xa，则h(x)ln x1当0x时，f(x)时，f(x)0函数h(x)在上单调递减，在上单调递增，h(x)minha，故当a时，h(x)a令(x)xex，则(x)exxexex(1x)当0x0；当x1时，(x)0时，(x)显然，不等式中的等号不能同时成立，故当a时，ln xex012