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1、数学方法在物理中的应用教学案 数学是解决物理问题的重要工具，借助数学方法可使一些复杂的物理问题显示出明显的规律性，能达到打通关卡、长驱直入地解决问题的目的中学物理考试大纲中对学生应用数学方法解决物理问题的能力作出了明确的要求，要求考生有“应用数学处理物理问题”的能力 对这一能力的考查在历年高考试题中也层出不穷所谓数学方法，就是要把客观事物的状态、关系和过程用数学语言表达出来，并进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预测可以说，任何物理问题的分析、处理过程，都是数学方法的运用过程本专题中所指的数学方法，都是一些特殊、典型的方法，常用的有极值法、几何法、图象法、数学归纳推理法、微元法、等
2、差(比)数列求和法等 一、极值法 数学中求极值的方法很多，物理极值问题中常用的极值法有：三角函数极值法、二次函数极值法、一元二次方程的判别式法等 1利用三角函数求极值 yacos bsin a2b2(aa2b2cos ba2b2sin)令 sin aa2b2，cos ba2b2 则有：ya2b2(sin cos cos sin)a2b2sin()所以当2时，y有最大值，且ymaxa2b2 2利用二次函数求极值 二次函数：yax2bxca(x2baxb24a2)cb24aa(xb2a)24acb24a(其中a、b、c为实常数)，当xb2a 时，有极值ym4acb24a(若二次项系数a0，y有极小
3、值；若a0，这与事实不符合，故 D 错误，只有 B 可能正确 答案 B 例 6 如图 87 所示，一轻绳吊着一根粗细均匀的棒，棒下端离地面高为H，上端套着一个细环棒和环的质量均为m，相互间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k1)断开轻绳，棒和环自由下落假设棒足够长，与地面发生碰撞时触地时间极短，无动能损失棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计求：(1)棒第一次与地面碰撞后弹起上升的过程中，环的加速度(2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程s(3)从断开轻绳到棒和环都静止的过程中，摩擦力对环和棒做的总功W【解析】(1)设棒第一次上升的过程中环的加速度为a环，由牛顿第二定律
4、有：a环kmgmgm(k1)g，方向竖直向上(2)棒第一次落地前瞬间的速度大小为：v1 2gH 设棒弹起后的加速度为a棒，由牛顿第二定律有：a棒kmgmgm(k1)g 故棒第一次弹起的最大高度为：H1v122a棒Hk1 路程sH2H1k3k1H(3)解法一 设棒第一次弹起经过t1时间后与环达到共同速度v1 环的速度v1v1a环t1 棒的速度v1v1a棒t1 解得：t11k2Hg v12gHk 环的位移h环 1v1t112a环t12k1k2H 棒的位移h棒 1v1t112a棒t12k1k2H x1h环 1h棒 1 解得：x12Hk 棒、环一起下落至地，有：v22v122gh棒 1 解得：v22g
5、Hk 同理，环第二次相对棒的位移为：x2h环 2h棒 22Hk2 xn2Hkn 故环相对棒的总位移xx1x2xn2Hk1 所以Wkmgx2kmgHk1 解法二 经过足够长的时间棒和环最终静止，设这一过程中它们相对滑动的总路程为l，由能量的转化和守恒定律有：mgHmg(Hl)kmgl 解得：l2Hk1 故摩擦力对环和棒做的总功为：Wkmgl2kmgHk1 答案(1)(k1)g，方向竖直向上(2)k3k1H(3)2kmgHk1【点评】高考压轴题中常涉及多个物体多次相互作用的问题，求解这类题往往需要应用数学的递推公式或数列求和知识 一对滑动摩擦力做功的总和Wfs总，s总为相对滑动的总路程 对于涉及两
6、个对象的运动过程，规定统一的正方向也很重要 例 7 如图 88 所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，导轨平面的倾角为，条形匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向与导轨平面垂直长度为 2d的绝缘杆将导体棒和正方形的单匝线框连接在一起组成“”形装置，总质量为m，置于导轨上导体棒中通以大小恒为I的电流(由外接恒流源产生，图中未画出)线框的边长为d(dl)，电阻为R，下边与磁场区域上边界重合将装置由静止释放，导体棒恰好运动到磁场区域下边界处返回，导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直重力加速度为g求：(1)装置从释放到开始返回的过程中，线框中产生的
7、焦耳热Q(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间t1(3)经过足够长时间后，线框上边与磁场区域下边界的最大距离xm【解析】(1)设装置由静止释放到导体棒运动到磁场下边界的过程中，作用在线框上的安培力做功为W，由动能定理得：mgsin 4dWBIld0 且QW 解得：Q4mgdsin BIld(2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1，则接着向下运动 2d，由动能定理得：mgsin 2dBIld012mv12 线框在穿越磁场中运动时受到的合力Fmgsin F 感应电动势EBdv 感应电流IER 安培力FBId 由牛顿第二定律，在t到(tt)时间内，有 vFmt 则vgsin B2d2vmRt 有v1gt1sin 2B2d3mR 解得：t12m(BIld2mgdsin)2B2d3Rmgsin (3)经过足够长时间后，线框在磁场下边界与最大距离xm之间往复运动，由动能定理得：mgsin xmBIl(xmd)0 解得：xmBIldBIlmgsin 答案(1)4mgdsin BIld(2)2m(BIld2mgdsin)2B2d3Rmgsin (3)BIldBIlmgsin