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1、专题 11 数列求通项问题 解析版 一、数列求通项常用方法知识框架 二、数列求通项方法 【一】归纳法求通项 1.例题【例 1】由数列的前 n 项，写出通项公式：(1)3,5,3,5,3,5，(2)12，23，34，45，56，(3)2，52，134，338，8116，(4)12，16，112，120，130，【例 2】已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的（）A第 44 项 B第 76 项 C第 128 项 D第 144 项 2.巩固提升综合练习 12,11kkNk kk na1 2 1 2 381,2 1 3 2 19 则 na通过数列前若干项归纳出数
2、列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等差数列、等比数列，寻找 an与 n，an与 an1的联系.【练习 1】由数列的前几项，写出通项公式：(1)1，7，13，19，25，(2)14，37，12，713，916，(3)1，85，157，249，【练习 2】如图是一个三角形数阵，满足第n行首尾两数均为n，,A i j表示第2i i 行第j个数，则100,2A的值为_ 【二】公式法求通项 1.例题【例 1】数列满足，则（）A B C D【例 2】已知数列an满足 a14，an44an1(n1)，记 bn1an2 求证：数列bn是等差数列，并求na 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知各项都为正数的
3、数列an满足 a11，a2n(2an11)an2an10(1)求 a2，a3；(2)证明数列an为等比数列,并求na【练习 2】已知数列 na和 nb满足111112,341,341nnnnababnban na112a*1111 n11nnNaa10a91010910111110等差数列：dnaan)1(1等差数列：等比数列：11nnqaa等比数列：1求证：nnab是等比数列,nnab是等差数列；2求数列 na和 nb的通项公式【三】累加法求通项 1.例题 【例 1】在数列中，则（）A B C D【例 2】对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在梦溪笔谈中首创的“
4、隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以此类推，记第n层货物的个数为na，则数列na的通项公式na _，数列(2)nnna的前n项和nS _.2.巩固提升综合练习【练习 1】在数列中，则数列的通项 _.【练习 2】已知数列是首项为，公差为 1 的等差数列，数列满足（），且，则数列的最大值为_【练习3】两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，被称为五角形
5、数，其中第1个五角形数记作，第2个 na12a 11ln 1nnaan10a2ln1029ln102 10ln1011ln10 na111,21nnaaanna nb34 na12nnnaa*nN137abnnba11a 型如 an1anf(n)的递推公式求通项可以使用累加法，步骤如下：第一步 将递推公式写成 an1anf(n)；第二步 依次写出 anan1，a2a1，并将它们累加起来；第三步 得到 ana1的值，解出 an；第四步 检验 a1是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.累乘法类似.五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，若按此规律继续下去，得
6、数列na，则1_(2)nnaan；对*nN，_na 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知数列an中，a11，an12nan(nN*)，则数列an的通项公式为()A.an2n1 B.an2n C.(1)22n nna D.222nna 【五】Sn 法（项与和互化求通项）1.例题 【例 1】已知数列 na的前 n 项和nS，且23 nnS，则na .【例 2】设数列的前项和，若，则的通项公式为_【例 3】设 Sn是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.2.巩固提升综合练习【练习 1】在数列an中，a11，a12a23a3nann12an1(nN*)，求数列an的通项 a
7、n.【练习 2】记数列的前项和为，若，则数列的通项公式为25a 312a 422a nannS11a *1102nnSanNnanannS323nnSanna11,(1)nnnsassn,（n=1)已知 Snf(an)或 Snf(n)解题步骤：第一步 利用 Sn满足条件 p，写出当 n2 时，Sn1的表达式；第二步 利用 anSnSn1(n2)，求出 an或者转化为 an的递推公式的形式；第三步 若求出 n2 时的an的通项公式，则根据 a1S1求出 a1，并代入an的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是an的递推公_.【练习 3】已知数列an是递增的等比数
8、列，且 a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn为数列an的前 n 项和，bnan1SnSn1，求数列bn的前 n 项和 Tn.【练习 4】设数列 na满足12323.2(nN*)nnaaana（1）求 na的通项公式；（2）求数列122nna的前n项和nS 【练习 5】已知数列 na的前n项和为nS，112a，20(2)nnnnSa San（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）若1,32,nnnSnCnn为奇数为偶数，设数列 nC的前n项和为nT，求2nT.【六】构造法求通项 na 1.例题【例 1】已知数列an中，a11，an12an3，求 an.【例 2】已知
9、数列an满足 an12ann，a12，求数列an的通项公式.【例 3】已知数列an满足 an12an35n，a16，求数列an的通项公式.【例 4】已知数列满足：，则（）A B C D 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知数列an满足 an13an2，且 a11，则 an_.【练习 2】已知数列an的首项为 a11，且满足 an112an12n，则此数列的通项公式 an等于()A.2n B.n(n1)C.n2n1 D.nn12n na11a 1122(2,)nnnaannNna 2nnan12nnan(21)2nnan1(21)2nnan1.型如 an1panq(其中 p，q 为常数，且 pq
10、(p1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步 假设将递推公式改写为 an1tp(ant)；第二步 由待定系数法，解得 tqp1；第三步 写出数列1pqan的通项公式；第四步 写出数列an通项公式.2.an1panf(n)型【参考思考思路】确定()f n设数列1()naf n列关系式)()1(1211nfanfann比较系数求1，2【练习 3】已知非零数列 na的递推公式为11a,112nnnnaa aanN.(1)求证数列11na是等比数列；(2)若关于n的不等式2221211152111log1log1log1nmnnnaaa有解,求整数m的最小值；(3)在数列 111nna 中
11、,是否一定存在首项、第r项、第s项1rs,使得这三项依次成等差数列？若存在,请指出rs、所满足的条件；若不存在,请说明理由.【七】其他求通项方法 1.例题【例 1】已知数列满足,则（）A B C D【例 2】若数列an中，a13 且 an1a2n(n 是正整数)，则它的通项公式 an为_.【例 3】已知数列满足递推关系：，则（）A B C D 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知数列an的前 n 项和是 Sn，且满足 an111an(nN*)，211a，则 S2 017（）na113a 111nnnaaa*()nN2012391a aaa321213 na11nnnaaa112a 2018a1
12、2016120171201812019【练习 2】在数列中，已知，则_，归纳可知_【八】特征根和不动点法求通项（自我提升）1.例题【例 1】已知数列满足，求数列的通项 【例 2】已知数列满足，求数列的通项 2.巩固提升综合练习【练习 1】设pq，为实数，是方程20 xpxq的两个实根，数列nx满足1xp，22xpq，12nnnxpxqx（3 4n ，）（1）证明：p，q；na12a*131nnnaanNa2a na na*12212,3,32()nnnaaaaanNnanana*12211,2,44()nnnaaaaanNnana一、形如是常数）的数列 形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法
13、求得通项，其特征方程为 若有二异根，则可令是待定常数）若有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得 21(,nnnapaqap q112221,(,nnnam am apaqap qna2xpxq,1212(,nnnaccc c1212()(,nnacncc c1122,am am12,c cna（2）求数列nx的通项公式；（3）若1p，14q，求nx的前n项和nS 1.例题【例 3】已知数列满足，求数列的通项 na11122,(2)21nnnaaananana二、形如的数列 对于数列，是常数且）其特征方程为，变形为 若有二异根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首
14、项为，公比为的等比数列，于是这样可求得 若有二重根，则可令（其中是待定常数），代入的值可求得值 这样数列是首项为，公差为的等差数列，于是这样可求得 此方法又称不动点法 2nnnAaBaCaD2nnnAaBaCaD*1,(,am nNA B C D0,0CAD BCAxBxCxD2()0CxDA xB,11nnnnaacaac12,a acnnaa11aacna111nncaac12,a ac1na1nacna【例 4】已知数列满足，求数列的通项 2.巩固提升综合练习【练习 2】已知数列na满足：对于,Nn都有.325131nnnaaa（1）若,51a求;na（2）若,31a求;na（3）若,6
15、1a求;na（4）当1a取哪些值时，无穷数列na不存在？【练习 3】).1(0521681111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn(1)求 b1、b2、b3、b4的值；(2)求数列nb的通项公式及数列nnba的前 n 项和.nS 【练习 4】各项均为正数的数列 na中，,11bbaa且对满足qpnm的正整数 qpnm,都有)1)(1(mnmnaaaa)1)(1(qpqpaaaa，当时，求通项54,21bana 三、课后自我检测 1已知正项数列中，则数列的通项公式为（）na*11212,()46nnnaaanNananana*12(1)()2nn naaanNnaA B C
16、 D 2在数列1，0，21 129 8nn，中，0.08 是它的第_项 3在数列an中，a13，an1an1nn1，则通项公式 an_.4已知数列na中，1512a ，1(1)3nnnnanan，则该数列的通项na _.5已知数列 na中，10ab b，111nnanNa 则能使nab的n的数值是（）A14 B15 C16 D17 6已知数列 na满足112a 且131nnaa（1）证明数列12na是等比数列；（2）设数列 nb满足11b，112nnnbba，求数列 nb的通项公式 7已知数列 na的前n项和为nS，12a，1(2)3nnSna（1）求na；（2）求证:121111naaa n
17、an2nan2nna 22nna 8已知 f(x)logmx(m0 且 m1)，设 f(a1)，f(a2)，f(an)，是首项为 4，公差为 2 的等差数列，求证：数列an是等比数列，并求na 9已知数列 na满足：10a，144nnaa，*nN.（1）若存在常数x，使得数列1nax是等差数列，求x的值；（2）设2311nnba aa，证明：123nbbb.10已知数列 na满足：1231312nnaaaa，*nN.（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足31lognnba，求11nnb b的前n项和nT 11数列 na，*nN各项均为正数，其前n项和为nS，且满足221nnna
18、Sa.（1）求证数列 2nS为等差数列，并求数列 na的通项公式；（2）设4241nnbS，求数列 nb的前n项和nT，并求使2136nTmm对所有的*nN都成立的最大正整数m的值.12已知数列na中，11a，其前n项的和为nS，且当2n 时，满足21nnnSaS（1）求证：数列1nS是等差数列；（2）证明：2221274nSSS 13已知数列 na满足：11a，*121nnaanN（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足：n12111*4441Nnbbbbnan，证明：nb是等差数列.（3）证明：*122311232nnaaannnaaaN.14在平面直角坐标系中，点(,)nnA
19、 n a、(1,0)nB n和(,)nC n t（*,nNt为非零常数），满足1/nnA AnnB C，数列na的首项为1a=1，其前n项和用nS表示.（1）分别写出向量1nnA A和nnB C的坐标；（2）求数列na的通项公式；（3）请重新设计的nA、nC坐标（点nB的坐标不变），使得在1/nnA AnnB C的条件下得到数列nb，其中nb=nSn 15已知点11,3是函数 xf xa（0a 且1a）的图象上一点,等比数列 na的前n项和为 f nc,数列 0nnbb 的首项为c,且前n项和nS满足112nnnnSSSSn(1)求数列 na和 nb的通项公式；(2)若数列11nnb b前n项和为nT,问使得10002015nT 成立的最小正整数n是多少？