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1、 .下载可编辑.2015 年数学精编模拟题（理科）一、选择题：1.复数2i1i等于 A.1 i B.1 i C.1 i D.1 i 2.已知全集U1,2,3,4,5，1,2,5，2,3,5，则U等于 A2,3 B2,5 C3 D2,3,5 3.已知1sincos()3，则sin 2的值为 A.89 B.19 C.89 D.49 4已知命题p：若a是非零向量，是非零实数，则a与 a方向相反；命题q：|aa则下列命题为真命题的是 A.pq B.pq C.()pq D.()pq 5.从编号为 0,1,2，79 的 80 件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为 5 的一个样本，若编号为 42 的产品在
2、样本中，则该样本中产品的最小编号为 A.8 B.10 C.12 D.16 6.图 1 是某几何体的三视图（单位：cm），正视图是等腰梯形，俯视图中的 曲线是两个同心的半圆，侧视图是直角梯形则该几何体的体积等于 A.28 cm3 B.14cm3 C.7cm3 D.56cm3 7.函数1 5,(0)()51.(0)xxxf xx，则下列结论正确的是 图 1 A.函数()f x在其定义域内为增函数且是奇函数 B.函数()f x在其定义域内为增函数且是偶函数 C.函数()f x在其定义域内为减函数且是奇函数 D.函数()f x在其定义域内为将函数且是偶函数 8.设非空集合M同时满足下列两个条件：1,2
3、,3,1Mn；若aM，则naM，(2,)nnN.则下列结论正确的是 A.若n为奇数，则集合M的个数为122n；B.若n为奇数，则集合M的个数为122n.C.若n为偶数，则集合M的个数为22n；D.若n为偶数，则集合M的个数为221n；二、填空题：9.已知点 A(1,5)和向量a=（2,3），若3ABa，则点 B 的坐标为 .下载可编辑.OBCDA10.设随机变量服从正态分布(2,9)N,若(1)(1)PcPc,则c .11.函数21()32xf xex在x 处取得最小值 12.已知方程22141xymm（m是常数）表示曲线 C,给出下列命题：曲线 C 不可能为圆；曲线 C 不可能为抛物线；若曲
4、线 C 为双曲线，则1m 或4m；若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆，则512m.其中真命题的编号为 .13设实数 x，y 满足条件2212xyyxxy，若|axy的最小值为 0，则实数a的最小值与最大值的和等于 （二）选做题（14-15 题，考生只能从中选做一题）14（极坐标与参数方程选讲选做题）已知两曲线的参数方程分别为1,12.xtyt (t为参数)和sincos,1 sin2.xy（为参数），则它们的交点坐标为 15.(几何证明选做题)如图2，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知 2 3AD，BC=2AB，圆心 O 到 AC 的距离为5，则点 A 与圆 O 上的点的最 短距
5、离为 .图 2 三解答题：本大题共6小题，满分80分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为,abc、已知2,4abc，sin2sinAB （1）求ABC 的面积；（2）求tan()AB 变式 1：在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为,abc、已知22212abcbc，sin2sinAB（1）求cos A；（2）求cos(2)AB 变式 2：在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为,abc、已知向量(sin,sin),mAB(1,2),n(,)4cpab，且mn，/np，|5p （1）求ABC 的面积；（2）
6、求cos()AB .下载可编辑.17.(本小题满分12分)如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100)，据此解答如下问题（1）求全班人数及分数在80，100之间的频率；（2）现从分数在80，100之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在90，100的份数为 X，求 X 的分布列和数学望期 18.(本小题满分 14 分)已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中，DAAB，点 E 为 AD 中点，AD=EC=2AB=2BC=2，现将四边形沿 CE
7、 翻折，使得平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角为（03），连结 DA，DB，BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE（1）证明：平面 DAE平面 ABCE；（2）记四棱锥 D-ABCE 的体积为V，当V取得最大值时，求 DB 与平面 ABCE 所成角的正弦值 变式 1：已知如图 1 所示的四边形 ABCD 中，DAAB，点 E 为 AD 中点，AD=EC=2AB=2BC=2，现将四 边形沿 CE 翻折，使得平面 CDE平面 ABCE，连结 DA，DB，BE 得到如图 2 所示的四棱锥 D-ABCE（1）证明：平面 BDE平面 BDC；（2）已知点 F 为侧棱 DC 上的点，若1
8、5DFDC，求二面角 F-BE-D 的余弦值 备选：已知侧棱与底面垂直的三棱柱111ABCABC的底面为正三角形，D为边AC的中点（1）证明：1/AB平面1BDC；（2）当1AAAB取何值时，11ABBC？（3）当11ABBC时，求平面A1C与平面A1CB所成锐二面角的余弦值.下载可编辑.19（本小题满分 14 分）已知点22122(10),(1,0),:(1)1FFFxy，一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与 2F相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线 T（1）求曲线 T 的方程；（2）设 C、D 是曲线 T 上位于 x 轴上方的两点，分别过 C、D 作曲线 T 的切线，两条切线交于点 P，且
9、分别与x 轴交于点 B、A，AC 与 BD 交于点 E，作 EFx 轴于点 F，试探究 P、E、F 三点是否共线？变式 1：已知点22122(10),(1,0),:(1)1FFFxy，一动圆在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与2F相外切，设动圆的圆心轨迹为曲线 C，曲线 E 是以12FF、为焦点的椭圆（1）求曲线 C 的方程；（2）记曲线 C 与曲线 E 在第一象限内的交点为 P，且17|3PF，求曲线 E 的标准方程；（3）定义：连结椭圆上任意两点所成的线段叫做椭圆的弦过椭圆 E 的右焦点2F作两条互相垂直的弦 AB、GH，设 AB、GH 的中点分别为 M、N，试探究直线 MN 是否过定点？
10、若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由.20（本小题满分 14 分）已知函数1()|2|f xkxbx，其中,k b为实数且0k （1）当0k 时，根据定义证明函数()yf x在(,2)上单调递增；（2）若k为常数，函数()yf x有三个不同的零点，求b的取值范围 20.备选 1：已知数列na的首项14a，前n项和为nS，且13240()nnSSnnN.（1）求数列na的通项公式；（2）设函数211()nnnf xa xaxa x，()fx是函数()f x的导函数，令(1)nbf，试探究数列 nb是否存在最小值项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由 21(本小题满分 14 分)已知
11、函数32+3()31xxf xx，数列 nx满足12x，1()nnxf x()nN，记1311log()1nnnxyx （1）求1y的值；（2）求数列ny的通项公式；（3）证明：对nN，12111(1)(1)(1)2nyyy .下载可编辑.21备选：已知函数2()ln(1),.2xf xaxax aR（1）当1a 时，求函数 f(x)的最小值；（2）当1a 时，讨论函数 f(x)的零点个数 参考答案 一、选择题：BCAC BBAD.解析：8.取 n=4 验证易得.二、填空题：9.(5，14)；10.2；11.1ln32x；12.；13.72；14.(11)，；15.213 13.|axy的最小
12、值为 0，等价为0axy与约束区域有交点，作出不等式组对应的平面区域，如图易得：maxmin13,2aa，14两曲线的普通方程分别为32(1)yx x，2(22)yxx，由2230 xx得1x 或3x （其中3x 不合舍去）由1x 得1y，即两曲线的交点为(1,1).三、解答题：16.解：（1）解法 1：由 sinA=2sinB，根据正弦定理得2ab，又2,ab 4,2ab，由余弦定理得22216 1647cos22 4 48acbBac 0，215sin1 cos8BB，SABC=1115sin4 415228acB 解法 2：由 sinA=2sinB，根据正弦定理得2ab，又2,ab 4,
13、2ab，4ac，ABC 为等腰三角形，作底边 AC 的高 BD,D 为垂足，则 D 也是 AC 的中点，2222()2bBDABADc16 115，SABC=112151522AC BD.下载可编辑.(2)1cos04A,2115sin1 cos1164AA,115sinsin28BA，bc，BC,02B,2157cos1 sin1648BB,15sin4tan151cos4AAA,15sin158tan7cos78BBB,tantantan()1tantanABABAB15153 15711151157 变式 1：（1）22212abcbc，由222112cos224bcbcaAbcbc，（
14、2）cos A0，02A,2115sin1 cos1164AA,由 sinA=2sinB，得115sinsin28BA，且2ab，AB，02B,2157cos1 sin1648BB，sin2A=2sinAcosA=115152448，cos2A=2cos2A-1=78，cos(2)ABcos2cossin 2 sinABAB=77151517888832.变式 2：（1）由mn得 sinA=2sinB，根据正弦定理得2ab，-又/np得2,abc（）-|5p 22()516cab，-.下载可编辑.由联立消去()ab解得4c，代入得2ab，-联立解得4,2ab，由余弦定理得22216 1647c
15、os22 4 48acbBac 0，215sin1 cos8BB，SABC=1115sin4 415228acB (2)1cos04A,2115sin1 cos1164AA,115sinsin28BA，bc，BC,02B,2157cos1 sin1648BB,cos)AB（=coscossinsinABAB17151511484816.17.解：（1）由茎叶图知分数在50,60)的人数为 4，60,70)人数为 8，70,80)人数为 10，故总人数为4320.00125 10，分数在80，100的人数为：3248 1010，频率为1053216；（2）分数在80,90)的人数为 6，分数在9
16、0,100的人数为 4，X 的可能取值为：0,1,2,3 363101(0)6CP XC,21663101(1)2C CP XC,41663103(2)10C CP XC,343101(3)30CP XC,X的分布列为：X 0 1 2 3()P X 16 12 310 130 .下载可编辑.数学期望1131601236210305EX .备选 1：解：（1）记0A表示事件：“取出的 2 件产品中无次品”，1A表示事件：“取出的 2 件产品中恰有 1 件是次品”则01AA，互斥，且01AAA，故：01()()P AP AA01()()P AP A212(1)C(1)ppp21=0.91p-4 分
17、 即20.09p 0p 0.3p-6 分（2）的可能取值为 0，1，2-7 分 若该批产品共 100 件，则由（1）知其中次品有1000.330件，-8 分 故2702100C161(0)C330P，-9分 1170302100C C14(1)C33P，-10分 2302100C29(2)C330P-11分 所以的分布列为 -12 分 18.解：（1）证明：在图 1 中连结 BE，AB=AE=1，DAAB，EAB 为等腰直角三角形，BE=2，又 BC=2，CE=2，BCE 是等腰直角三角形，BCBE，AEC=AEB+BEC=90，CEAD，在图2中，CEDE，CEAE，DEAE=E，EC平面A
18、DE，又EC平面ABCD，0 1 2 P 161330 1433 29330 .下载可编辑.平面DAE平面ABCE.（2）由（1）知DEA 为平面 CDE 与平面 ABCE 所成的二面角的平面角，即DEA=，在平面ADE内过点D作 DOAE于O，平面DAE平面ABCE，且平面DAE平面ABCE=AE,DO平面ABCE，连结BO，在OBD为DB与平面ABCE所成的角，在RtDOE中，DO=sin，13()22ABCESABCE AE梯形，131sinsin322V，03，且sin x在(0,3上单调递增，当3时，V取得最大值，这时ADE为等边三角形，O为AE的中点，DO=32,由（1）易知ABA
19、D，DB=2,36sin42 2ODOBDDB.变式 1：解：（1）证明：在图 1 中连结 BE，AB=AE=1，DAAB，EAB 为等腰直角三角形，BE=2，又 BC=2，CE=2，BCE 是等腰直角三角形，BCBE，AEC=AEB+BEC=90，CEAD，在图 2 中，平面 CDE平面 ABCE，平面 CDE平面 ABCE=CE，DE平面 ABCE，BC平面 ABCE，DEBC，又 DEBE=E，BC平面 BDE，又 BC平面 BCD，平面 BDE平面 BDC.(2)由（1）知，图 2 中 AE，EC，DE 两两互相垂直，故以点 E 为 坐标原点，AE 所在的直线为 x 轴建立空间直角坐标
20、系如右图示，则 A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，1)，(0,2,1)DC,(1,1,0)EB,又15DFDC得2 4(0,)5 5F，2 4(0,)5 5EF,设平面 BEF 的一个法向量为(,)ma b c，由0,0,240.0.55abm EBbcm EF令1c 得2,2ba，即(2,2,1)m，由（1）知(1,1,0)BC 为平面 BDE 的一个法向量，设所求的二面角的大小为，则cos|m BCmBC22|44 11 1 2 23.下载可编辑.即二面角 F-BE-D 的余弦值为2 23.备选：解：（1）证明：取A1C1的中点D1，连结AD1，D1B1，1
21、1/ADDC,四边形ADC1D1为平行四边形 AD1/DC1 AD1平面1BDC，DC1平面1BDC，AD1/平面 BDC1 同理 B1D1/平面 BDC1 又 AD1B1D1=D1，平面 AB1D1/平面 BDC1 AB1平面 AB1D1，1/AB平面1BDC.(2)解法 1：设 AB=1，AA1=x，以点 D 为坐标原点，AC 所 在的直线为 x 轴，DB 所在的直线为 y 轴建立空间直角坐标系如 图示，则(0 0 0)D，113(,0 0),(,0 0),(00)222ACB，13(0,)2Bx，11(,0,)2Cx，113(,)22ABx，113(,)22BCx，若11ABBC，则11
22、0AB BC213044x，解得22x，即当122AAAB时，11ABBC.解法 2：设 AB=1，AA1=x，若11ABBC，则110AB BC，1111()0ABBBBC111111()()0AAABBBBC,即1111111111110AA BBAA BCAB BBAB BC,111111,AABC ABB B 200 1 1 cos1200 x ,解得22x，即当122AAAB时，11ABBC.下载可编辑.（3）设 AB=1，由（2）知，当11ABBC时，122AAAB，13(,0)22CB ,12(1,0,)2AC 设平面 A1BC 的一个法向量为(,)na b c，由1130,0,
23、220.202abn CBn ACac，令2c，得31,3ab ，即3(1,2)3n ，3(0,0)2DB 是平面 A1AC 的法向量，设平面 A1C 与平面 A1CB 所成锐二面角大小为，则1102cos|10|131132n DBnDB.19.解：（1）设动圆圆心为(,)G x y(0)x，G在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与2F相外切，2|1GFx，从而22(1)1xyx，整理得曲线 T 的方程为：24(0)yx x.(2)设001122(,),(,),(,)P xyC x yD xy,由24(0)yx x得当0y 时，2yx，1 yx，切线 CB 的方程为：1111()yyxxx，即
24、112()yxxy，-切线 DA 的方程为：2221()yyxxx,即222()yxxy，-B 点的坐标为1(,0)x，A 点的坐标为2(,0)x，.下载可编辑.直线 AC 的方程为：1212()yyxxxx，-直线 BD 的方程为：2112()yyxxxx，-点 P 为切线 BC、AD 的交点，点 P 的坐标满足方程、，即00112()yxxy，00222()yxxy01021211()()xxxxyy，-又联立消去 y 得122112x yx yxyy，由得1221012()x yx yxyy，0 xx，即点 E 的横坐标为0 x，与点 P、F 的横坐标相同，P、E、F 三点共线.变式 1
25、：解：（1）设动圆圆心为(,)D x y(0)x，D在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与2F相外切，2|1DFx，从而22(1)1xyx，整理得曲线 C 的方程为：24(0)yx x.（2）由曲线 E 为椭圆知，1c，设(,)PPP xy,依题意得：22249(1),94.PPPPxyyx解得2,32 6.3PPxy 于是22222 65|(1)()333PF,由椭圆的定义得12752|433aPFPF,2a，2223bac，曲线 E 的标准方程为22143xy.(3)由题意知2(10)F，当 AB、GH 的斜率存在时，设 AB 的斜率为k，则 GH 的斜率为1k，则:(1)ABlyk x代入
26、椭圆方程22143xy得2222(34)84120kxk xk，故224234ABMxxkxk，23(1)34MMkyk xk，于是22243(,)3434kkMkk，ABGH，将点 M 坐标中的k换成1k，即得点 N 的坐标为2243(,)34 34kkk.下载可编辑.当1k 时，2222223373434444(1)3434MNkkkkkkkkkk，此时222374:()344(1)34MNkklyxkkk，整理得：274()4(1)7kyxk，可知直线 MN 过定点4(,0)7.当1k 时，易得直线 MN 的方程为47x，也过点4(,0)7 当弦 AB 或 GH 的斜率不存在时，易知直线
27、 MN 为 x 轴，也过点4(,0)7，综上得直线 MN 过定点4(,0)7.20.解：（1）证明：当(,2)x 时，1()2f xkxbx 设122xx，则 12121211()()()()22f xf xkxbkxbxx 121211()()22k xxxx 211212()(2)(2)xxk xxxx12121()(2)(2)xxkxx 122xx 120 xx，1210(2)(2)xx，又0k，12()()0f xf x，即12()()f xf x，当0k 时，函数()f x在(,2)上单调递增（2）函数()yf x有三个不同的零点，即方程10|2|kxbx（）有三个不同的实根 方程（
28、）等价于：22,(2)(21)0.xkxkb xb 或22,(2)(21)0.xkxkb xb 记2()(2)(21)g xkxkb xb，2()(2)(21)p xkxkb xb，当0k 时，函数(),()yg xyp x的图象均是开口向上的抛物线，由(2)10p 知()yp x在(,2)有唯一零点，故为满足函数()yf x有三个零点，函数()yg x在(2,)应有两个不同零点 .下载可编辑.函数()yg x在(2,)有两个不同零点须满足：2(2)0,(2)4(21)0,22.2pkbkbkbk 2(2)4,2,220bkkbkbkkk 当0k 时，函数(),()yg xyp x的图象均是开
29、口向下的抛物线，由(2)10g 知()yg x在(2,)有唯一零点，故为满足函数()yf x有三个零点，函数()yp x在(,2)应有两个不同零点 函数()yp x在(,2)有两个不同零点须满足：2(2)0,(2)4(21)0,22.2pkbkbkbk 2(2)4,2,220.bkkbkbkkk，综合可得函数()yf x有三个不同的零点，22|bkk 备选 1：解：（1）由13240()nnSSnnN得当2n 时，132(1)40nnSSn，两式相减得1320nnaa 113(1)nnaa 1131nnaa，即数列1na 是以11a 为首项，公比为 3 的等比数列 111(1)3nnaa，15
30、 31nna（nN）(2)由111()2nnnfxaaxna x，得11(1)2nnfaana120(5 31)2(5 31)(5 31)nnn 120(1)532 33 2nnn nn ，令12032 33nnSn ,则1332 33nnSn ，作差得13(31)23332nnnSnn，13342nnS，故15 315(6)(1)42nn nf，即15 315(6)42nnn nb.下载可编辑.则215 315(1)(7)42nnnnb，从而115 3722nnnbbn 以下证明对nN 有15 37022nn，即15 327nn 当1n 时，该不等式显然成立，假设当(1,)nk kkN时，不
31、等式成立，即15 327kk，则115 33(27)kk2(1)7k，即当1nk时，该不等式成立.即对nN 有15 37022nn，对nN 有1nnbb，即数列 nb是递增数列，数列 nb存在最小值项，该项为数列的首项14b.21.解：（1）由12x，1()nnxf x得3112121314()3113xxxf xx，2133211log()log3127xyx （2）1311log()1nnnxyx=3232333322+3131331loglog+3331131nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx331log()1nnxx，3113log()3(2,)1nnnxynnNx 即1
32、3nnyy(2,)nnN，所以数列ny是首项13y ，公比为 3 的等比数列，13 33nnny （3）证明：由（2）知3nny ，则212111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)333nnyyy，令2111(1)(1)(1)()333nf n 当1n 时，121(1)122333f，当2n 时，22311111(2)(1)(1)133333f 222223115111233333 ，由此猜想：1()2.3nf n（nN）下面用数学归纳法证明：当1n 时，猜想成立上面已证；假设当(1,)nk kkN时，猜想成立，即1()23kf k，则当1nk时，11(1)()(1)3kf kf k1
33、12111121(2)(1)233333kkkkk1112122333kkk，.下载可编辑.这就是说当1nk时，1()23nf n 成立，综得对nN，1()23nf n 成立 1223n nN，12111(1)(1)(1)2nyyy成立 21.备选：解：（1）当1a 时，2()ln2xf xx，则211(),0 xfxxxxx，当1x 时，()0fx，函数()f x在(1,)上单调递增，01x时，()0fx，函数()f x在(0,1)上单调递减，当1x 时，函数()f x有最小值，min1()(1)2f xf.(2)2(1)()(1)axaxafxxaxx(1)(),0 xxaxx 若0a 时
34、，当01x时，()0fx，函数()f x在(0,1)上单调递减，当1x 时，()0fx，函数()f x在(1,)上单调递增，min11()(1)122f xfaa ，当12a 时，min()0f x，函数()f x零点个数为0；当12a 时，函数()f x零点个数为1.当102a时，min()0f x，且222()(1)(1)0222eeef eaaeeaee，又对于任意的()k kN,2()(1)2kkkef ekaae，取自然数k，使(1)0kkaae，即使1kakea，则()0kf e，此时函数()f x零点个数为2.当0a 时，2(),2xf xx0 x，此时函数()f x零点个数为1
35、.若01a，则当0 xa时，()0fx，函数()f x在(0,)a上单调递增，当1ax时，()0fx，函数()f x在(,1)a上单调递减，当1x 时，()0fx，函数()f x在(1,)上单调递增，.下载可编辑.函数当xa时，函数()f x有极大值，当1x 时，函数有极小值，2()=()ln02af xf aaaa极大，1()=(1)102f xfa 极小；422()2(1)2ef eaae222(22)02eaea，此时函数()f x零点个数为1.若1a，则对(0,)x 都有2(1)()0 xfxx，即函数()f x在(0,)上单调递增，又42222()222(4)022eef eee，11111()121(4)022eef eee ，此时函数()f x零点个数为1.综上所述：当12a 时，函数()f x零点个数为0；当12a 时，函数()f x零点个数为1；当102a时，函数()f x零点个数为2；当01a时，函数()f x零点个数为1