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1、2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷 考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中 BC=AB=2，则原平面图形的面积为（）A.3 22 B.3 2 C.12 2 D.6 2 2函数 3log3f xxx 的零点所在区间
2、是 A.0,2 B.2,3 C.1,2 D.3,4 3已知函数1()()xxf xee，则下列判断正确的是 A.函数()f x是奇函数，且在 R 上是增函数 B.函数()f x偶函数，且在 R 上是增函数 C.函数()f x是奇函数，且在 R 上是减函数 D.函数()f x是偶函数，且在 R 上是减函数 4已知第二象限角的终边上有异于原点的两点(,)A a b，(,)B c d，且sin3cos0，若1ac，则14bd的最小值为（）A.83 B.3 C.103 D.4 5已知奇函数()f x的定义域为R，其图象是一条连续不断的曲线若(2)(1)0ff，则函数()f x在区间(2,2)内的零点个
3、数至少为（）A.1 B.2 C.3 D.4 6已知0,0ab且240ab，则23abab（）A.有最小值145 B.有最大值145 C.有最小值176 D.有最大值176 7已知偶函数()yf x在区间(,0)内单调递增，若21log3af，1.12bf，12cf，则,a b c的大小关系为（）A.abc B.acb C.bac D.bca 8设log 0.5a，0.72b，5c，则下列大小关系表达正确的是（）A.acb B.bac C.bca D.abc 9已知等比数列na满足114a,35441a aa,则2a（）A.2 B.1 C.12 D.18 10黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中
4、在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为 72的等腰三角形达芬奇的名作蒙娜丽莎中，在整个画面里形成了一个黄金三角形如图，在黄金三角形ABC中，512BCAC，根据这些信息，可得sin54（）A.2 514 B.514 C.548 D.538 11如图，向量1e，2e，a的起点与终点均在正方形网格的格点上，若12aee，则（）A.4 B.2 C.2 D.4 12已知在ABC 中，cos()6A13，那么 sin(+)6AcosA()A.33 B.33 C.2 33 D.2 3-3 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13若函数1()
5、1f xx，()2cos36g xx，则()(2)f xfx_；当7,7x 时，方程()()f xg x的所有实数根的和为 _.14若“2 2,1,20 xxxm”为假命题，则实数 m最小值为_.15不等式2021202142xx的解为_ 16一个棱长为 2 cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的体积为_cm.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17已知幂函数2242()(1)mmf xmx在(0,)上单调递增，函数()2xg xk（1）求实数 m的值；（2）当1,2x时，记(),()f xg x的值域分别为集合,A B，若ABA，求实数 k的取值范围 18函数212log(2)yx
6、的定义域.19定义：若对定义域内任意 x，都有 f xaf x（a为正常数），则称函数 f x为“a距”增函数（1）若 2xf xx，x(0，)，试判断 f x是否为“1 距”增函数，并说明理由；（2）若 3144fxxx，xR 是“a距”增函数，求 a的取值范围；（3）若 22xk xfx，x(1，)，其中 kR，且为“2 距”增函数，求 f x的最小值 20已知函数1()2sin,36f xxxR.（1）求 0f的值；（2）设10,0,3,2213f 6325f，求sin的值.21已知函数22()3cos3sin2sincos.f xxxxx（1）求()f x的图象的对称轴的方程；（2）若
7、关于x的方程|()|10a f xa 在0,2x上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围 22求函数 2331xxf xx的定义域、值域与单调区间；参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1、C【解析】先求出直观图中，ADC=45，AB=BC=2，2 2AD，DC=4，即可得到原图形是一个直角梯形和各个边长及高，直接求面积即可.【详解】直观图中，ADC=45，AB=BC=2，DCBC，2 2AD，DC=4，原来的平面图形上底长为 2，下底为 4，高为4 2的直角梯形，该平面图形的面积为1244 212 22.故选：C 2、B【解析】通过计算 0f af b，判断出零点所在的区
8、间.【详解】由于 332log 232log 2 10f ，33log 3 3 310f ，230ff，故零点在区间2,3，故选B.【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题.3、A【解析】求出 f x的定义域，判断 f x的奇偶性和单调性，进而可得解.【详解】f x的定义域为 R，且 xx1fxef xe；f x是奇函数；又xye和x1y()e 都是 R 上的增函数；xx1f xe()e是 R 上的增函数 故选 A【点睛】本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题 4、B【解析】根据sin3cos0，得到tan3，从而得到3,3ba dc ，进
9、而得到3bd，再利用“1”的代换以及基本不等式求解.【详解】解：因为sin3cos0，所以tan3，又第二象限角的终边上有异于原点的两点(,)A a b，(,)B c d，所以3bdac，则3,3ba dc ，因为1ac，所以3bd，所以141 1414145253333dbdbbdbdbdbdbd，当且仅当4dbbd，即1,2bd时，等号成立，故选：B 5、C【解析】根据奇函数()f x的定义域为 R可得(0)0f，由(2)(1)0ff和奇函数的性质可得(2)(1)0ff、(2)(1)0ff，利用零点的存在性定理即可得出结果.【详解】奇函数()f x的定义域为 R，其图象为一条连续不断的曲线
10、，得(0)0f，由(2)(1)0ff得(2)(1)0ff，所以(2)(1)0ff，故函数在(12)，之间至少存在一个零点，由奇函数的性质可知函数在(21)，之间至少存在一个零点，所以函数在(2 2)，之间至少存在 3 个零点.故选：C 6、A【解析】根据240ab，变形为24ba，再利用不等式的基本性质得到24abaa，进而得到24aaabaa，然后由233abaabab，利用基本不等式求解.【详解】因为240ab，所以24ba，所以24abaa，所以24aaabaa，所以24aaabaa，所以223111433334454121abaaababaaaaaa，当且仅当2,8ab时取等号，故选：
11、A.【点睛】思路点睛：本题思路是利用分离常数法转化为233abaabab，再由24ba，利用不等式的性质构造24aaabaa，再利用基本不等式求解.7、D【解析】先利用偶函数的对称性判断函数在区间(0,)内单调递减，结合偶函数定义得221loglog 33aff，再判断2log 3，1.12和12的大小关系，根据单调性比较函数值的大小，即得结果.【详解】偶函数()yf x的图象关于 y轴对称，由()yf x在区间(,0)内单调递增可知，()yf x在区间(0,)内单调递减.221loglog 33，故221loglog 33aff，而2222log 2log 3log 4,log 31,2，1
12、11.2212，即1.11220,，故1.121log 322，由单调性知1.12211loglog 3232ffff，即bca.故选：D.8、D【解析】利用中间量来比较三者的大小关系【详解】由题0.7log 0.50,21,252,3abc，.所以abc.故选：D 9、C【解析】由题意可得235444412a aaaa,所以34182aqqa,故2112aa q,选 C.考点：本题主要考查等比数列性质及基本运算.10、B【解析】由题意51cos724，结合二倍角余弦公式、平方关系求得cos36=514，再根据诱导公式即可求sin54.【详解】由题设，可得251cos7212sin 364 ，
13、22cos 36sin 361，所以253cos 368，又23cos36(,)22，所以cos36cos(9054)sin54 514.故选：B 11、D【解析】根据图象求得正确答案.【详解】由图象可知123,1,3,4aee.故选：D 12、B【解析】因为 cos，即 cos，所以 sin，则sincosAsinAcos cosAsin cosAsin.故选 B.二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13、.0 .4【解析】直接计算11()(2)0121f xfxxx，可以判断1()1f xx的图象和()2cos36g xx的图象都关于点1,0中心对称，所以所以两个函数图象的交点都
14、关于点1,0对称，数形结合即可求解.【详解】因为1()1f xx，所以11()(2)0121f xfxxx，分别作出函数 f x与 g x的图象，1()1f xx图象的对称中心为1,0，令362xkkZ，可得1 3xk，当0k 时，1x，所以()2cos36g xx的对称中心为1,0，所以两个函数图象的交点都关于点1,0对称，当7,7x 时，两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，4x，且1234xxxx，则232xx，142xx，所以12344xxxx，所以方程()()f xg x的所有实数根的和为4，故答案为：0，4【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出1()1
15、f xx的图象和()2cos36g xx的图象都关于点1,0中心对称，作出函数图象可知两个函数图象有4个交点，设4个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，4x，且1234xxxx，则2x和3x关于1,0中心对称，1x和4x关于1,0中心对称，所以232xx，142xx，即可求解.14、3【解析】写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可【详解】解：命题“2,1x ，有220 xxm”是假命题，它否定命题是“2,1x ，有220 xxm”，是真命题，即2,1x ，22xxm恒成立，所以2max2mxx，2,1x 因为 22211fxxxx，在2,1上单调递减，1,1上单调递增，又 13
16、f，20f，所以 max3f x 所以3m，m的最小值为3，故答案为：3 15、,23,4【解析】根据幂函数的性质，分类讨论即可【详解】将不等式2021202142xx转化成2021202111()()42xx（）1041021142xxxx，解得34x；（）104102xx，解得2x；（）1041021142xxxx，此时无解；综上，不等式的解集为：(,2)(3,4)故答案为：(,2)(3,4)16、4 3【解析】因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为 2，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度：23 所以球的半径为：3 所求球的体积为 3433=4 3 故答案为：4 3 三、
17、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分）17、（1）0m （2）0,1【解析】（1）由幂函数定义列出方程，求出 m的值，检验函数单调性，舍去不合题意的 m 的值；（2）在第一问的基础上，由函数单调性得到集合,A B，由并集结果得到BA，从而得到不等式组，求出 k的取值范围.【小问 1 详解】依题意得：2(1)1m，0m 或2m 当2m 时，2()f xx在(0,)上单调递减，与题设矛盾，舍去 当0m 时，2()f xx(0,)上单调递增，符合要求，故0m.【小问 2 详解】由（1）可知2()f xx，当1,2x时，函数()f x和()g x均单调递增 集合1,4,2,4ABkk，又ABA，B
18、A，2144kk，01k，实数k的取值范围是 0,1.18、2,11,2)【解析】函数212log2yx的定义域是2122log2020 xx，由对数函数的性质能够求出结果【详解】2122log2020 xx整理得211222log2log 120 xx解得1122xxx 或 函数的定义域为2,11,2x 【点睛】本题考查对数函数的定义域，是基础题解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用 19、（1）见解析；（2）1a；（3）24min2,201,0kkf xk.【解析】（1）利用“1 距”增函数的定义证明 10f xf x即可；（2）由“a距”增函数的定义得到 2213304f xaf xx
19、xaa在xR上恒成立，求出 a的取值范围即可；（3）由 f x为“2 距”增函数可得到 2f xf x在1x，恒成立，从而得到2222xk xxk x恒成立，分类讨论可得到k的取值范围，再由 2222422kkxxk xf x，可讨论出 f x的最小值【详解】（1）任意0 x,1121221xxxfxfxxx,因为0 x,21,所以21x，所以 10f xf x，即 f x是“1 距”增函数（2）332231114433444fxafxxaxaxxx axaaa.因为 f x是“a距”增函数，所以22313304x axaaa恒成立，因为0a,所以2213304xxaa在xR上恒成立，所以22
20、1=91204aa，解得21a，因为0a,所以1a.（3）因为 22xk xfx，1,x ，且为“2 距”增函数，所以1x 时，2f xf x恒成立，即1x 时，222222xk xxk x恒成立，所以2222xk xxk x，当0 x 时，2222xk xxkx，即4420 xk 恒成立，所以420k,得2k;当10 x 时，2222-xk xx kx，得44220 xkxk 恒成立，所以120 xk,得2k ,综上所述，得2k.又 2222422kkxxk xf x，因为1x,所以0 x，当0k 时，若0 x，2224kkx取最小值为0；当20k 时，若2kx ，2224kkx取最小值.因
21、为2xy 在 R 上是单调递增函数，所以当0k，f x的最小值为1；当20k 时 f x的最小值为242k，即 242,201,0kminkf xk .【点睛】本题考查了函数的综合知识，考查了函数的单调性与最值，考查了恒成立问题，考查了分类讨论思想的运用，属于中档题 20、（1）；（2）【解析】（1）直接带入求值；（2）将和直接带入函数，会得到和的值，然后根据的值 试题解析：解：（1）（2）考点：三角函数求值 21、（1）122kx，kZ（2）13131,1322【解析】（1）先将解析式化成正弦型函数，然后利用整体代换232xk即可求得对称轴方程.（2）方程|()|10a f xa 有两个不同
22、的实数根转化成图像 yf x与11ya有两个交点即可求得实数a的取值范围【小问 1 详解】3cos22sincos3cos2sin 22sin 23fxxxxxxx，由232xk，kZ，得122kx，kZ 故 fx的图象的对称轴方程为122kx，kZ【小问 2 详解】因为 10a fxa，当0a 时，不满足题意；当0a 时，可得 11f xa画出函数 f x在0,2x上的图象，由图可知1312a 或1013a，解得13132a 或3112a综上，实数 a的取值范围为13131,1322 22、定义域为(1,)，值域为1,)，递减区间为(1,2，递增区间为2,).【解析】由函数的解析式有意义列出
23、不等式，可求得其定义域，由2331(1)111xxxxx，结合基本不等式，可求得函数的值域，令 1(1)11g xxx，根据对勾函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，可求得函数的单调区间.【详解】由题意，函数 2331xxf xx有意义，则满足23301xxx且10 x，因为方程223333()024xxx，所以10 x，解得1x，所以函数 f x的定义域为(1,)又由2233(1)(1)11(1)1111xxxxxxxx，因为10 x，所以11(1)12(1)1111xxxx ，当且仅当111xx 时，即2x 时，等号成立，所以23311xxx，所以函数 f x的值域为1,)，令 1(1)11g xxx，根据对勾函数的性质，可得函数 g x在区间(1,2上单调递减，在2,)上单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得 f x在(1,2上单调递减，在2,)上单调递增.