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1、 新浙教版数学七年级下册第四章因式分解培优题 第2页（共22页）新浙教版数学七年级下册第四章因式分解培优题 一选择题（共 6 小题）1下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A4x2+8x+1 Bx2y2xy+1 Cx24x+16 Dx26xy9y2 2已知 x2+ax12 能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数 a 的个数有（）A0 B2 C4 D6 3任何一个正整数 n 都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解 n=pq（pq）称为正整数 n 的最佳分解，并定义一个新运算例如：12=112=26=34，则 那么以下结论中：；若 n 是一个完全
2、平方数，则 F（n）=1；若 n 是一个完全立方数（即 n=a3，a 是正整数），则正确的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 4已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值时，可以设另一个因式为 x+n，则 x24x+m=（x+3）（x+n）即 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 解得，n=7，m=21，另一个因式为 x7，m 的值为21 类似地，二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是 2x5，则它的另一个因式以及 k的值为（）Ax1，5 Bx+4，20 Cx，Dx+4，4 5现有一列式子：552452；55524452；555524445
3、2则第个式子的计算结果用科学记数法可表示为（）A1.11111111016 B1.11111111027 C1.1111111056 D1.11111111017 第3页（共22页）第4页（共22页）第5页（共22页）15小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张 （1）他用 1 张 1 号、1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼出一个新的图形（如图）根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是 ；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要 2 号卡片 张，3 号卡片 张；（3）当他拼成如图所示的长方形，根据 6 张小纸片的面积和等于打纸
4、片（长方形）的面积可以把多项式 a2+3ab+2b2分解因式，其结果是 ；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 a2+5ab+6b2=画出拼图 第6页（共22页）16 如图 1，把边长为 a 的大正方形纸片一角去掉一个边长为 b 的小正方形纸片，将余下纸片（图 1 中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图 2 的长方形纸片（图 2 中阴影部分）请解答下列问题：（1）设图 1 中的阴影部分纸片的面积为 S1，则 S1=；图 2 中长方形（阴影部分）的长表示为 ，宽表示为 ，设图 2 中长方形（阴影部分）的面积为 S2，那么 S2=（都用含 a、b 的代数式表示）；（2）从图 1
5、到图 2，你得到的一个分解因式的公式是：；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）解：原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（241）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（281）（28+1）（216+1）（232+1）=（2161）（216+1）（232+1）=（2321）（232+1）=2641 阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+
6、1）+0.5 第7页（共22页）17在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”如分解二次三项式：2x2+5x7，具体步骤为：首先把二次项的系数 2 分解为两个因数的积，即 2=21，把常数项7 也分解为两个因数的积，即7=17；按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数 5，即 2（1）+17=5 这样，就可以按图示中虚线所指，对 2x2+5x7 进行因式分解了，即 2x2+5x7=（2x+7）（x1）例：分解因式：2x2+5x7 解：2x2+5x7=（2x+7）（x1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4
7、x+3（2）2x2+3x20 18先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法 如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y21+x2=x2+2xy+y21=（x+y）21=（x+y+1）（x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：第8页（共22页）x2+2x3=x2+2x+14=（x+1）222=（x+
8、1+2）（x+12）=（x+3）（x1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2b2+ab；（2）分解因式：x26x7；（3）分解因式：a2+4ab5b2 第9页（共22页）新浙教版数学七年级下册第四章因式分解培优题 参考答案与试题解析 一选择题（共 6 小题）1下列各式，能直接运用完全平方公式进行因式分解的是（）A4x2+8x+1 Bx2y2xy+1 Cx24x+16 Dx26xy9y2【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可【解答】解：能直接运用完全平方公式进行因式分解的是x2y2xy+1=（xy1）2 故选 B【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式
9、是解本题的关键 2（2008淮安校级一模）已知 x2+ax12 能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数 a 的个数有（）A0 B2 C4 D6【分析】根据十字相乘法分解因式，12 可以分解成112，1（12），26，2（6），34，3（4），a 等于分成的两个数的和，然后计算即可得解【解答】解：112，1（12），26，2（6），34，3（4），a=1+12=11，1+（12）=11，2+6=4，2+（6）=4，3+4=1，3+（4）=1，即 a=11，4，1 共 6 个 故选 D【点评】本题主要考查了十字相乘法进行因式分解，准确分解12 是解题的关 第10页（共22页）键 3（2010拱
10、墅区二模）任何一个正整数 n 都可以写成两个正整数相乘的形式，我们把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解 n=pq（pq）称为正整数 n 的最佳分解，并定义一个新运算例如：12=112=26=34，则 那么以下结论中：；若 n 是一个完全平方数，则 F（n）=1；若 n 是一个完全立方数（即 n=a3，a 是正整数），则正确的个数为（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】首先读懂这种新运算的方法，再以法则计算各式，从而判断【解答】解：依据新运算可得2=12，则，正确；24=124=212=38=46，则，正确；若 n 是一个完全平方数，则 F（n）=1，正确；若 n 是一个完全立方数（
11、即 n=a3，a 是正整数），如 64=43=88，则 F（n）不一定等于，故错误 故选 C【点评】本题考查因式分解的运用，此题的关键是读懂新运算，特别注意“把两个乘数的差的绝对值最小的一种分解”这句话 4（2015张家口二模）已知二次三项式 x24x+m 有一个因式是 x+3，求另一个因式以及 m 的值时，可以设另一个因式为 x+n，则 x24x+m=（x+3）（x+n）即 x24x+m=x2+（n+3）x+3n 解得，n=7，m=21，另一个因式为 x7，m 的值为21 类似地，二次三项式 2x2+3xk 有一个因式是 2x5，则它的另一个因式以及 k的值为（）第11页（共22页）Ax1，
12、5 Bx+4，20 Cx，Dx+4，4【分析】所求的式子 2x2+3xk 的二次项系数是 2，因式是（2x5）的一次项系数是 2，则另一个因式的一次项系数一定是 1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式【解答】解：设另一个因式为（x+a），得 2x2+3xk=（2x5）（x+a）则 2x2+3xk=2x2+（2a5）x5a，解得：a=4，k=20 故另一个因式为（x+4），k 的值为 20 故选：B【点评】此题考查因式分解的实际运用，正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键 5（2015河北模拟）现有一列式子：552452；55524452；5555244452则第个式子的计算结
13、果用科学记数法可表示为（）A1.11111111016 B1.11111111027 C1.1111111056 D1.11111111017【分析】根据题意得出一般性规律，写出第 8 个等式，利用平方差公式计算，将结果用科学记数法表示即可【解 答】解：根 据 题 意 得：第 个 式 子 为 5555555552 4444444452=（555555555+444444445）（555555555444444445）=1.11111111017 故选 D【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及科学记数法表示较大的数，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 6（2014 秋博野县期末）设 a、b、c
14、 是三角形的三边长，且 a2+b2+c2=ab+bc+ca，关于此三角形的形状有以下判断：是等腰三角形；是等边三角形；是锐 第12页（共22页）角三角形；是斜三角形其中正确的说法的个数是（）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【分析】根据已知条件和三角形三边关系判断三角形的形状三边相等的为等边三角形，且一定也是等腰三角形和三个角都为 60 度的锐角三角形，又由于三角形按照角形可以分为直角三角形和斜三角形，除了直角三角形就是斜三角形，包括锐角三角形和钝角三角形，等边三角形也属于斜三角形【解答】解：由已知条件 a2+b2+c2=ab+bc+ca 化简得，则 2a2+2b2+2c2=2ab+2bc
15、+2ca，即（ab）2+（bc）2+（ac）2=0 a=b=c，此三角形为等边三角形，同时也是等腰三角形，锐角三角形，斜三角形 故选 A【点评】此题要根据三角形三条边的关系判断三角形的形状，要知道两边相等的三角形为等腰三角形，三边相等的三角形为等边三角形，且等边三角形一定是等腰三角形、锐角三角形和斜三角形另外还要知道平方差公式，如（ab）2=a22ab+b2 二填空题（共 7 小题）7（2016 秋望谟县期末）已知 x+y=10，xy=16，则 x2y+xy2的值为 160 【分析】首先提取公因式 xy，进而将已知代入求出即可【解答】解：x+y=10，xy=16，x2y+xy2=xy（x+y）
16、=1016=160 故答案为：160【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键 8（2016 秋新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成 2（x1）（x9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x2）（x4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来：2（x3）2 【分析】根据多项式的乘法将 2（x1）（x9）展开得到二次项、常数项；将2（x2）（x4）展开得到二次项、一次项从而得到原多项式，再对该多项 第13页（共22页）式提取公因式 2 后利用完全平方公式分解因式【解答】解：2（x1）（x9）=2x220 x+18；2（x2）（
17、x4）=2x212x+16；原多项式为 2x212x+18 2x212x+18=2（x26x+9）=2（x3）2【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确 92m+2007+2m+1（m 是正整数）的个位数字是 0 【分析】运用提公因式法进行因式分解，然后根据 2n的个位数字的规律进行分析【解答】解：2m+2007+2m+1=2m+1（22006+1），20064=5012，22006+1 的个位数字是 4+1=5，又 2n的个位数字是 2 或 4 或 8 或 6，2m+2007+2m+1（m
18、是正整数）的个位数字是 0 故答案为 0【点评】此题综合考查了因式分解法和数字的规律问题注意：2n的个位数字的规律是 2、4、8、6 四个一循环 10（2015 春昌邑市期末）若多项式 x2+mx+4 能用完全平方公式分解因式，则 m的值是 4 【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（ab）2+4ab、（ab）2=（a+b）24ab计算即可【解答】解：x2+mx+4=（x2）2，即 x2+mx+4=x24x+4，m=4 故答案为：4【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式 第14页（共22页）是解题关键 11（2015 春深圳校级期中）若 a+b=5，ab=，则 a
19、2b2=20 【分析】将 a+b=5 两边平方，把 ab=代入求出 a2+b2的值，利用完全平方公式求出 ab 的值，原式利用平方差公式分解，将各自的值代入计算即可求出值【解答】解：已知等式 a+b=5 两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=25，把 ab=代入得：a2+b2=25=，（ab）2=a2+b22ab=16，即 ab=4，则原式=（a+b）（ab）=20，故答案为：20【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键 12（2015 秋乐至县期末）定义运算 ab=（1a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：2（2）=3 ab=ba 若 a
20、+b=0，则（aa）+（bb）=2ab 若 ab=0，则 a=1 或 b=0 其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号）【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断【解答】解：2（2）=（12）（2）=2，本选项错误；ab=（1a）b，ba=（1b）a，故 ab 不一定等于 ba，本选项错误；若 a+b=0，则（aa）+（bb）=（1a）a+（1b）b=aa2+bb2=a2b2=2a2=2ab，本选项正确；若 ab=0，即（1a）b=0，则 a=1 或 b=0，本选项正确，其中正确的有 第15页（共22页）故答案为【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清
21、题中的新定义是解本题的关键 13（2012市中区校级二模）若 m2=n+2，n2=m+2（mn），则 m32mn+n3的值为 2 【分析】由已知条件得到 m2n2=nm，则 m+n=1，然后利用 m2=n+2，n2=m+2把 m32mn+n3进行降次得到 m（n+2）2mn+n（m+2），再去括号合并得到 2（m+n），最后把 m+n=1 代入即可【解答】解：m2=n+2，n2=m+2（mn），m2n2=nm，mn，m+n=1，原式=m（n+2）2mn+n（m+2）=mn+2m2mn+mn+2n=2（m+n）=2 故答案为2【点评】本题考查了因式分解的应用：运用因式分解可简化等量关系 三解答题
22、（共 5 小题）14（2016 春邗江区期中）如图，有足够多的边长为 a 的小正方形（A 类）、长为 a 宽为 b 的长方形（B 类）以及边长为 b 的大正方形（C 类），发现利用图中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式 比如图可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2 第16页（共22页）（1）取图中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在如图虚框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2 你画的图中需 C
23、 类卡片 6 张 可将多项式 a2+5ab+6b2分解因式为（a+2b）（a+3b）（3）如图，大正方形的边长为 m，小正方形的边长为 n，若用 x、y 表示四个矩形的两边长（xy），观察图案并判断，将正确关系式的序号填写在横线上 （填写序号）xy=x+y=m x2y2=mn x2+y2=【分析】（1）根据题意画出图形，如图所示，即可得到结果（2）根据等式即可得出有 6 张，根据图形和面积公式得出即可；（3）根据题意得出 x+y=m，m2n2=4xy，根据平方差公式和完全平方公式判断即可【解答】解：（1）（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2，故答案为：a2+3ab+2b2；（2）长方形
24、的面积为 a2+5ab+6b2，画的图中需要 C 类卡片 6 张，故答案为：6 第17页（共22页）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），故答案为：（a+2b）（a+3b）（3）解：根据图得：x+y=m，m2n2=4xy，xy=，x2y2=（x+y）（xy）=mn，x2+y2=（x+y）22xy=m22=，选项都正确 故答案为：【点评】本题考查了分解因式，长方形的面积，平方差公式，完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和化简能力 15（2015 春杭州期末）小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张 （1）他用 1 张 1 号、1 张 2 号和 2 张 3 号卡片拼
25、出一个新的图形（如图）根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）如果要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要 2 号卡片 2 张，3 号卡片 3 张；（3）当他拼成如图所示的长方形，根据 6 张小纸片的面积和等于打纸片（长方形）的面积可以把多项式 a2+3ab+2b2分解因式，其结果是（a+2b）（a+b）；（4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式 a2+5ab+6b2=（a+2b）第18页（共22页）（a+3b）画出拼图【分析】（1）利用图的面积可得出这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，
26、（2）由如图可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，即可得出答案，（3）由图可知矩形面积为（a+2b）（a+b），利用面积得出 a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），（4）先分解因式，再根据边长画图即可【解答】解：（1）这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2（2）由如图可得要拼成一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要2 号卡片 2 张，3 号卡片 3 张；故答案为：2，3（3）由图可知矩形面积为（a+2b）（a+b），所以 a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），故答案为：（a+2b）（a+b）
27、（4）a2+5ab+6b2=（a+2b）（a+3b），如图，故答案为：（a+2b）（a+3b）【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解 16（2015 秋万州区期末）如图 1，把边长为 a 的大正方形纸片一角去掉一个边长为 b 的小正方形纸片，将余下纸片（图 1 中的阴影部分）按虚线裁开重新拼成一个如图 2 的长方形纸片（图 2 中阴影部分）请解答下列问题：第19页（共22页）（1）设图 1 中的阴影部分纸片的面积为 S1，则 S1=a2b2；图 2 中长方形（阴影部分）的长表示为 a+b，宽表示为 ab，设图 2中长方形（阴影部分）
28、的面积为 S2，那么 S2=（a+b）（ab）（都用含 a、b的代数式表示）；（2）从图 1 到图 2，你得到的一个分解因式的公式是：a2b2=（a+b）（ab）；（3）利用这个公式，我们可以计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）解：原式=（21）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（221）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（241）（28+1）（28+1）（216+1）（232+1）=（281）（28+1）（216+1）（232+1）=（2161）（216+1）（232+1）=
29、（2321）（232+1）=2641 阅读上面的计算过程，请计算：（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+0.5【分析】（1）利用大正方形面积减小正方形面积即可得到（2）根据长方形面积公式即可求出（3）为了可以利用平方差公式，前面添（31）即可【解答】解：（1）S1=大正方形面积小正方形面积=a2b2，故答案为 a2b2 根据图象长为 a+b，宽为 ab，S2=（a+b）（ab）故答案分别为 a+b、ab、（a+b）（ab）（2）由（1）可知 a2b2=（a+b）（ab），故答案为 a2b2=（a+b）（ab）（3）原式=（31）（3+1）（32+1）（316+1）+0.
30、5 第20页（共22页）=（321）（32+1）（316+1）+0.5=（3321）+0.5=332【点评】本题考查了正方形、长方形的面积公式以及利用面积法证明平方差公式，灵活运用平方差公式是解题的关键 17（2015 秋宜宾期中）在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”如分解二次三项式：2x2+5x7，具体步骤为：首先把二次项的系数 2 分解为两个因数的积，即 2=21，把常数项7 也分解为两个因数的积，即7=17；按下列图示所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数 5，即 2（1）+17=5 这样，就可以按图示中虚线所指，对 2x2+5x7 进行因
31、式分解了，即 2x2+5x7=（2x+7）（x1）例：分解因式：2x2+5x7 解：2x2+5x7=（2x+7）（x1）请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：（1）x2+4x+3（2）2x2+3x20 【分析】（1）将常数项分解为 3 和 1，进而分解因式得出答案；（2）利用 ax2+bx+c（a0）型的式子的因式分解这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2的积 a1a2，把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2的积 c1c2，并使 a1c2+a2c1正好是一次项 b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出
32、答案【解答】解：（1）x2+4x+3=（x+3）（x+1）；第21页（共22页）（2）2x2+3x20=（x+4）（2x5）【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键 18（2015巴南区一模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法 如：ax+by+bx+ay=（ax+bx）+（ay+by）=x（a+b）+y（a+b）=（a+b）（x+y）2xy+y21+x2=x2+2xy+y21=（x+y）21=
33、（x+y+1）（x+y1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法如：x2+2x3=x2+2x+14=（x+1）222=（x+1+2）（x+12）=（x+3）（x1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2b2+ab；（2）分解因式：x26x7；（3）分解因式：a2+4ab5b2【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可【解答】解：（1）原式=（a+b）（ab）+（ab）=（ab）（a+b+1）；第22页（共22页）（2）原式=（x7）（x+1）；（3）原式=（ab）（a+5b）【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键