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1、努力的你，未来可期!精品 2020 届安徽省宣城市郎溪县高三下学期仿真模拟考试（最后一卷）数学（文）试题 一、单选题 1设i为虚数单位，则复数3izi在复平面内所对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】A【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数3izi在复平面内所对应的点的坐标得答案.【详解】由题意得1331010izii，所以在复平面内表示复数3izi的点为13(,)10 10，在第一象限，所以选 A【点睛】该题考查的是有关复数所对应的点所属象限的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数在复平面内对应的点的坐标，属于简单题目.2设全集U R，221
2、x xAx，ln 1Bx yx，则图中阴影部分表示的集合为（）A1x x B01xx C12xx D1x x 【答案】C【解析】先解出集合A、B，并确定阴影部分区域所表示集合的意义，即可得出阴影部分区域所表示的集合.【详解】努力的你，未来可期!精品 解不等式20212x x，即20 x x，解得02x，02Axx，ln 1101Bx yxxxx x，则01ABxx.图中阴影部分所表示的集合为12x xAxABxx且，故选 C.【点睛】本题考查集合运算，解题的关键就是确定阴影部分所表示的集合的意义，考查运算求解能力，属于中等题.3已知命题2000:,10pxR xx；命题:q若ab，则11ab，
3、则下列为真命题的是（）Apq Bpq Cpq Dpq 【答案】B【解析】因为222131331()44244xxxxx，所以命题p为真；1 12 2,2 2 命题q为假，所以pq为真，选 B.4已知变量,x y满足约束条件5021010 xyxyx ，则目标函数=21zxy的最大值为（）A6 B7 C8 D9【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】由约束条件5021010 xyxyx 作出可行域如图，联立150 xxy，解得 A（1，4），化目标函数 zx+2y1为 y1222xz，由图可知，当直线 y1
4、222xz 过 A时，z有最大值为 8 故选 C 努力的你，未来可期!精品 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 5古代数学名著张丘建算经中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息1尺绢，过期第二天利息是2尺，这样，每天利息比前一天增多1尺，若过期100天，欠债方共纳利息为（）A100尺 B4950尺 C5000尺 D5050尺【答案】D【解析】每天的利息构成一个首项为 1，公差为 1的
5、等差数列，所以共纳利息为1 231005050 （尺）.故选 D.6执行如图所示的程序框图，则输出的S的值等于()A3 B3 C21 D21 努力的你，未来可期!精品【答案】B【解析】根据框图的流程模拟运行程序，得到程序执行循环七次，依次求出结果即可.【详解】由题意得，程序执行循环共七次，依次是0S，1i；1S，2i；1S ，3i；2S，4i；2S ，5i；3S，6i；3S ，7i，故输出S的值等于-3，故选 B.【点睛】该题考查的是有关程序框图输出结果的求解问题，属于简单题目.7已知函数 sin2f xxx，且0.3231ln,log,223afbfcf，则以下结论正确的是 Acab Bac
6、b Cabc Dbac【答案】D【解析】因为()cos20fxx，所以函数 sin2f xxx的单调递减函数，又因为0.3213log0,lnln1,12232e，即0.3213logln232，所以由函数的单调性可得：0.3213(log)(ln)(2)32fff，应选答案 D 8函数 2xf xxtx e（实数t为常数，且0t）的图象大致是（）A B 努力的你，未来可期!精品 C D【答案】B【解析】先由函数零点的个数排除选项 A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.【详解】由 f（x）=0 得 x2+tx=0，得 x=0 或 x=-t，即函数 f（x）有两个零点，排除 A，C，函数的导数
7、 f（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=x2+（t+2）x+tex，当 x-时，f（x）0，即在 x 轴最左侧，函数 f（x）为增函数，排除 D，故选 B【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.9已知函数 2312cossin2sincos cos222fxxxx，在3,86上单调递增，若8fm恒成立，则实数m的取值范围为 A3,2 B1,2 C2,2 D1,【答案】D【解析】先将函数 f
8、 x化简整理，再由题意确定的范围，进而可求出8f的取值范围，即可得出结果.【详解】因为 23122s22cos 222fxcos x sininxcosxcoscos xcossin xsinx，努力的你，未来可期!精品 又 f x 在3,86上单调递增，3243x，所以32423kk(kZ)，故2243kk(kZ)，又2，所以43，因此70412，故cos14；因为cos84mf恒成立，所以只需1m.故选 D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.10已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F，P是它们的一个交点，且123FPF，记椭圆和双曲线的离心率分别
9、为12,e e，则1 21e e的最大值为（）A3 B2 C4 33 D2 33【答案】D【解析】设椭圆长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长 a2，焦距 2c根据椭圆及双曲线的定义可以用 a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在F1PF2中根据余弦定理可得到2212134ee，利用基本不等式可得结论【详解】如图，设椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的半实轴长为 a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1+a2，|PF2|a1a2，设|F1F2|2c，F1PF23，则：在PF1F2中，由余弦定理得，4c2（a1+a2）2+（a1a2）22（
10、a1+a2）（a1a2）cos3 化简得：a12+3a224c2，该式可变成：2212134ee，努力的你，未来可期!精品 2212134ee222123e e 221212 3e3e，故选 D 【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题 11如图，O与x轴的正半轴交点为A，点B，C在O上，且43,55B，点C在第一象限，,1AOCBC，则5cos6（）A45 B35 C35 D45【答案】B【解析】由题得：43,55B，得 OB=OC=1 又1BC 3OBC,由三角函数定义得:34sin,cos55AOBAOB,
11、4 33sinsin()310AOB,43 3coscos()310AOB,53cos()65 努力的你，未来可期!精品 12众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形其中黑色阴影区域在 y轴右侧部分的边界为一个半圆，给出以下命题：在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12 当32a 时，直线 yax+2a与白色部分有公共点；黑色阴影部分（包括黑白交界处）中一点（x，y），则 x+y的最大值为 2；设点 P（2，b），点 Q在此太极图上，使得OPQ45，b的范围是2，2 其中所有正确结论的
12、序号是（）A B C D【答案】A【解析】根据几何概型概率计算，判断的周期性.根据直线332yx 和圆2211xy的位置关系，判断的正确性.根据线性规划的知识求得xy的最大值，由此判断的正确性.将45OPQ转化为过P的两条切线所成的角大于等于90，由此求得OP的取值范围，进而求得b的取值范围，从而判断出的正确性.【详解】对于，将 y轴右侧黑色阴影部分补到左侧，即可知黑色阴影区域占圆的面积的一半，根据几何概型的计算公式，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12，正确；对于，当32a 时，直线33222322yaxaa xxx ,过点 2,0,0,3，所以直线2yaxa与白色部分
13、在第I和第IV象限部分没有公共点.努力的你，未来可期!精品 圆2211xy的圆心为0,1，半径为1，圆心0,1到直线332yx，即直线3260 xy的距离为224411332，所以直线2yaxa与白色部分在第 III 象限的部分没有公共点.综上所述，直线 yax+2a与白色部分没有公共点，错误；对于，设 l：zx+y，由线性规划知识可知，当直线 l与圆 x2+（y1）21相切时，z最大，由112z解得 z21（12z 舍去），错误；对于，要使得OPQ45，即需要过点 P的两条切线所成角大于等于90，所以22452sinOP，即 OP22，于是 22+b28，解得22b 故选：A【点睛】本小题主
14、要考查直线和圆的位置关系，考查几何概型概率计算，属于中档题.二、填空题 13已知向量(4,3),(2,1)ab，如果向量ab与b垂直，则2ab的值为_【答案】5 5【解析】由向量(4,3),(2,1)ab，知(42,3)ab，由向量ab与b垂直，解得1，故2(10,5)ab，由此能求出2ab.【详解】(4,3)(2,1)(42,3)ab，()abb，（4-2，3+）（2，1)=0，解得=1，2(8,6)(2,1)(10,5)ab，2ab=221055 5【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量垂直的条件，根据向量垂直求参数，向量的模，属于简单题目.努力的你，未来可期!精品 14
15、若ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，已知2 sin 23 sinbAaB，2cb，则ab等于_【答案】2【解析】利用正弦的二倍角公式和正弦定理对2 sin 23 sinbAaB化简，求出cos A；再根据余弦定理，结合2cb，可得a与b的关系，进而求出结果.【详解】因为2 sin 23 sinbAaB，所以4 sincos3 sinbAAaB，由正弦定理可知，4sinsincos3sinsinBAAAB，由角A，B是ABC的内角，所以4cos3A，即3cos4A，又2cb，由余弦定理，可知2222cosabcbcA，所以 22223444abbb，即222ab，所以2ab.故
16、答案为：2.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.15抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出今有抛物线2:20Cypx p(如图)一条平行 x轴的光线射向 C上一点 P点，经过 C的焦点 F射向 C上的点 Q，再反射后沿平行 x 轴的方向射出，若两平行线间的最小距离是 4，则 C的方程是_ 【答案】24yx【解析】先由题意得到PQ必过抛物线的焦点，设出直线PQ的方程，联立直线PQ与抛物线方程，利用韦达定理表示出弦长，得出PQ的最小值，进而可求出p的值，得出努力的你，未来可期!精品 抛物线方程【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ
17、必过抛物线的焦点(,0)2pF，当直线PQ斜率不存在时，易得2PQp；当直线PQ斜率存在时，设PQ的方程为2pyk x，11(,)P x y，22(,)Q xy 由2 22pyk xypx，得22224pkxpxpx，整理得222224480k xk pp xk p，所以221212224k pppxxx xk,，所以2122222222kpPQxxpppkk；综上，当直线PQ与x轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，故24p，所以抛物线方程为24yx 故答案为：24yx【点睛】本题主要考查了直线与抛物线位置关系，解决这类问题通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式
18、等求解，属于中档题 16 设函数 32133f xxxx，若方程 2|10f xt f x 有 12 个不同的根，则实数t的取值范围为_【答案】34215t 【解析】【详解】2()230fxxx 得 x=3，x=1，由 f（x）0 得 x1 或 x3，即函数在（，3），（1，+）单调递增，由 f（x）0 得3x1，则函数在（3，1）单调递减，则函数的极大值为 f（3）=9，函数的极小值为5(1)3f，如图 努力的你，未来可期!精品 根据函数的图象可知，设|f（x）|=m，可知 m2+tm+1=0，原方程有 12个不同的根，则 m2+tm+1=0 方程应在50,3内有两个不同的根，设 h（m）=
19、m2+tm+1，则25()0353402.231540httt 所以取值的范围34215t 故答案为34215t 点睛：本题主要考查函数与方程的应用，求函数的导数判断函数的极值和单调性，以及利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，难度较大一般这种成为复合函数方程的根，分别设内层外层函数，内外层单独研究 三、解答题 17已知数列 na满足11a，121nnnana，设nnabn，14nnnnca a.（1）判断数列 nb是否为等比数列，说明理由并求 na的通项公式；（2）求数列 nc的前n项和nS.努力的你，未来可期!精品【答案】（1）bn是等比数列，12nnan；（2）21nn
20、Sn.【解析】（1）n 1nna2 n 1 a两边同除n n 1，得到 bn+1=2bn，即可求解（2）由（1）求得nc，裂项为n11c2nn1，求和即可.【详解】解：（1）bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.由条件可得n 1na2an1n，即 bn+1=2bn，又 b1=1，所以nb0，所以n+1nb2b，所以bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列.所以n 1nb2，即n 1na2n，所以n 1nan 2.（2）由（1）可n 1nan 2，所以nnn 1n4211c2n 2n1 2n n1nn1，所以n11111122nS2 12 12223nn1n1n1n1，所以数列 nc的前n项
21、和n2nSn1.【点睛】本题考查等比数列证明，数列求和，熟记等比数列定义，熟练计算裂项相消求和是关键，是中档题.18 如图，四棱锥PABC中，PA 平面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（I）证明MN平面PAB；（II）求四面体NBCM的体积.【答案】()证明见解析；()453.【解析】试题分析：（）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT，由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件努力的你，未来可期!精品 可知四面体 N-BCM 的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果
22、试题解析：（）由已知得，取的中点T，连接，由N为中点知，.又，故平行且等于，四边形AMNT为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（）因为平面，N为的中点，所以N到平面的距离为.取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故1452 52BCMS.所以四面体的体积14 5323NBCMBCMPAVS.【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转
23、换法求解 19近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间”）进行统计，得到频率分布直方图如图 1 努力的你，未来可期!精品 图 1 图 2（1）记“在2017年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在(8,16”为事件A，试估计A的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中x(单位：年)表示二手车的使用时间，y(单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点图看出，可采用ea bxy作为二手车平均交易价格y关于其使用年限x的回归方程，相关数据如下表（表中lniiYy，
24、101110iiYY）：根据回归方程类型及表中数据，建立y关于x的回归方程；该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格4%的佣金，对使用时间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格10%的佣金在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场对成交的每辆车收取的平均佣金 附注：对于一组数据 1122,nnu vu vu v，其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniiu vnuvvuunu；参考数据：2.951.750.550.651.85e19.1,e5.75,e1
25、.73,e0.52,e0.16【答案】（1）0.40；（2）3.55 0.3exy 0.29 万元【解析】由频率分布直方图可得，该汽车交易市场2017年成交的二手车使用时间在812，的频率为0.07 40.28，在1216，的频率为0.03 40.12，从而得出A的概率 求出Y关于x的线性回归方程为Yabx，分别求出a和b，继而求出y关于x的回归方程 分别求出对应的频率，然后计算平均佣金【详解】努力的你，未来可期!精品（1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在8,12的频率为0.07 40.28，在12,16的频率为0.03 40.12 所以 0.280.12
26、0.40P A （2）由a bxye得lnyabx，即Y关于x的线性回归方程为Yabx 因为1011022211079.75 10 5.5 1.90.3385 10 5.510iiiiixYx Ybxx，1.90.35.53.55aYb x 所以Y关于x的线性回归方程为3.550 3.Yx，即y关于x的回归方程为3.55 0.3exy 根据中的回归方程3.55 0.3exy和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在0 4，的平均成交价格为3.55 0.3 22.95ee19.1，对应的频率为0.2；使用时间在4 8，的平均成交价格为3.55 0.3 61.75ee5.75，对应的频率为0.36
27、；使用时间在8 12，的平均成交价格为3.55 0.3 100.55ee1.73，对应的频率为0.28；使用时间在12 16，的平均成交价格为3.55 0.3 140.65ee0.52，对应的频率为0.12；使用时间在16 20，的平均成交价格为3.55 0.3 181.85ee0.16，对应的频率为0.04 所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为 0.2 19.10.36 5.754%0.28 1.730.12 0.520.04 0.1610%0.290920.29万元【点睛】本题主要考查了非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能
28、力，属于基础题 20已知椭圆2222:10 xyCabab的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1 努力的你，未来可期!精品 （1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，,A B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值【答案】（）2214xy；（2）见解析.【解析】(1)根据题目所给的条件得到22223221cabaabc解出参数值即可；（2）12ABCDSACBD分别设出直线 AM和 BM 求出点 B，D 的坐标，并表示出AC，BD 的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（）由已知可得：2222
29、3221cabaabc解得：21ab；所以椭圆C的方程为：2214xy （）因为椭圆C的方程为：2214xy，所以2,0A，0,1B 设,0,0M m nmn，则2214mn，即2244mn 则直线BM的方程为：11nyxm，令0y，得1Cmxn；努力的你，未来可期!精品 同理：直线AM的方程为：22nyxm，令0 x，得22Dnym 所以2221121212212221ABCDmnmnSACBDnmmn 221444481 44882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn 即四边形ABCD的面积为定值 2【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查
30、较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.21已知函数()1xf xaex（1）若()0f x 对于任意的 x 恒成立，求 a 的取值范围（2）证明：1111ln(1)23nn对任意的nN恒成立 【答案】（1）1,)；（2）见解析【解析】（1）由题，()0f x 转化为1xxae，令1()xxG xe求导求得()G x的最大值即可得到答案；（2）由由（1）可得ln(1)xx，再令1xn，可得11lnnnn，利用累加的
31、思想可证得题干.【详解】（1）若()0f x，故1xaex，即1xxae 即1()xxG xe，()xxG xe，令()0G x可得：()G x在(,0)上递增，在(0,)上递减，故()G x的最大值为(0)1G，故 a的取值范围为1,)（2）由（1）可得：当1a 时，1xex，即ln(1)xx 令1xn可得：11ln(1)nn，即11lnnnn 努力的你，未来可期!精品 故12ln1113ln22.11lnnnn 累加可得：1111ln(1)23nn【点睛】本题考查了导函数的应用，熟悉导数的应用，单调性和极值，以及利用导数证明不等式是解题的关键，属于难题.22在平面直角坐标系中，以坐标原点为
32、极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为2sincos0aa，过点24，-P的直线l的参数方程为-2-,-4-,xtyt（t为参数），直线l与曲线C相交于,A B两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若2|PAPBAB,求a的值.【答案】(1)2,20yax xy;(2)2a 【解析】（1）利用直角坐标方程与极坐标方程的互化公式即可把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，消去参数 t，就可得到直线l的普通方程；（2）将直线l的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义求出PA PB，从而建立关于a的一元二次方程，求出a的值.【详解
33、】（1）由2sincos(0)aa得22sincos(0)aa，所以曲线 C的直角坐标方程为2(0)yax a，直线l的普通方程为2yx，即20 xy；（2）将直线l的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程2(0)yax a中，得2(4)(2)tat ，化简得2(8)1620ta ta，设 A,B 两点对应的参数方程分别为12,t t，则有1212(8),162tta t ta，努力的你，未来可期!精品 因为2PA PBAB，所以21212()t ttt，即2121 2()5ttt t，所以264 1680 10aaa，整理得26160aa，解得2a 或8a（舍去），所以a的值为 2.【点睛】该
34、题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及的到的知识点有参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，直线的参数方程中参数的几何意义要理解透彻.23已知函数()212f xxx，()1g xxxaa.（1）解不等式()3f x；（2）对于12,x xR，使得 12f xg x成立，求a的取值范围.【答案】（1）2(,0),3；（2）34a 【解析】试题分析：（1）第（1）问，利用分类讨论解双绝对值不等式.(2)第（2）问，minmaxf xg x原题即，所以求出 minmaxf xg x和，再解不等式即可.试题解析：（1）由2313xx 或12233xx 或12313xx，解得0 x 或23x，3f x 的解集为2,0,3.（2）当12x 时，min52fx；max1g xaa.由题意，得 minmaxf xg x，即512aa，即512aa，25025(2aaa，解得34a.a的取值范围是3,4.