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1、第二章 函数(一)一、函数 知识网络 函数函数的概念函数的三要素函数的表示法函数的单调性反函数映射定义域值域对应法则解析式列表 图象 范题精讲 一、函数的概念及表示【例 1】已知 f(x)=4x2-2x+1,g(x)=36x，求 f(23),f(-x),g(x1),fg(x),gf(x).解:f(23)=4(23)2-223+1=7,f(-x)=4(-x)2-2(-x)+1=4x2+2x+1,g(x1)=316x=xx316,fg(x)=4g(x)2-2g(x)+1=4(36x)2-236x+1=22)3(18918xxx,gf(x)=3)(6xf=312462 xx=1232 xx.评注:本
2、题是已知 f、g 这两个对应法则，求它们的一些函数值或由它们构造的复合函数(值).这类问题只要将自变量 x 或其代数式直接代入即可解决.若已知的是由两个函数复合而成的复合函数以及其中一个函数，那么怎样去求另一个函数呢？常见的方法有:待定系数法、拼凑法、换元法及消去法等.二、函数的定义域、值域及单调性【例 2】(1)已知 f(x)的定义域为1，2)，求函数 f(x2)的定义域;(2)已知 f(x+1)的定义域为0，1，求函数 f(x)的定义域.解:(1)由 f(x)的定义域为1，2)，可知 f(x2)中自变量 x2也应在1，2)中，故 1x22,-2x-1 或 1x0,求 a 的取值范围,使函数
3、 f(x)在0，+)上为单调函数.解:任取 x1、x20,+)且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=121x-122x-a(x1-x2)=1122212221xxxx-a(x1-x2)=(x1-x2)(11222121xxxx-a).(1)当 a1 时,11222121xxxx1,又x1-x20,即 f(x1)f(x2).a1 时，函数 f(x)在区间0，+)上为减函数.(2)当 0a1 时，在区间0，+)上存在 x1=0,x2=212aa,满足 f(x1)=f(x2)=1,0a1 时，f(x)在,+)上不是单调函数.评注:判断单调性常规思路为定义法;变形过程中11222121xxxx|x
4、1|x1,121xx2这个结论;从 a 的范围看还需讨论 0a1 时 f(x)的单调性，这也是数学严谨性的体现.三、反函数的理解及应用【例 4】设函数 f(x)=132xx，已知函数 y=g(x)的图象与 y=f-1(x+1)的图象关于直线 y=x对称，求 g(3)的值.分析一:f(x)f-1(x)f-1(x+1)g(x)g(3).解法一:由 y=f(x)=132xx,得 f-1(x)=23xx,f-1(x+1)=14xx.又y=g(x)与 y=f-1(x+1)的图象关于直线 y=x 对称，y=g(x)=f-1f-1(x+1)=14xx.g(3)=1343=27.分析二:因为 f-1(x+1)
5、与 f(x)和 g(x)均有联系，所以借助 f-1(x+1)直接找到 g(x)与 f(x)的关系.解法二:由 y=f-1(x+1),得 x+1=f(y),x=f(y)-1.y=f-1(x+1)的反函数为 y=g(x)=f(x)-1.g(3)=f(3)-1=13332-1=27.分析三:利用 f(a)=bf-1(b)=a.解法三:设 g(3)=t,则 g-1(t)=3,g-1(x)=f-1(x+1),f-1(t+1)=3.f(3)=t+1,t=f(3)-1=13332-1=27,即 g(3)=27.评注:在求解与反函数有关的问题时，要充分利用原函数与反函数性质、图象间的关系.本题中注意不要将 y
6、=f-1(x+1)的反函数误认为 y=f(x+1).四、二次函数、分段函数的应用【例 5】如图,已知底角为 45的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm,腰长为 22 cm,当一条垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写出左边部分的面积 y 与 x 的函数解析式,并画出大致图象.ABCDEFGHl 分析:要注意动直线在移动的过程中所围成的几何体的形状及相应图形的面积公式.解:过点 A、D 分别作 AGBC,DHBC,垂足分别是 G、H.因为 ABCD 是等腰梯形,底角为 45,AB=22 cm
7、,所以 BG=AG=DH=HC=2 cm.又 BC=7 cm,所以 AD=GH=3 cm.(1)当点 F 在 BG 上,即 x(0,2时,y=21x2;(2)当点 F 在 GH 上,即 x(2,5时,y=2+(x-2)2=2x-2;(3)当点 F 在 HC 上,即 x(5,7时,y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRtCEF=-21(x-7)2+10.所以,函数解析式为 y=.7,5(,10)7(21,5,2(,22,2,0(,2122xxxxxx 图象如图.Oxy10822 5 7 评注:在函数定义域内,对自变量x的不同取值范围有着不同的对应法则,这样的函数叫做分段函数.它的图象可以是
8、直线、射线、线段、折线、连续的曲线、离散的点等.要不断尝试用数学表达式去表达实际问题.试题详解 高中同步测控优化训练(五)第二章 函数(一)(A 卷)说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共 100 分，考试时间 90 分钟.第卷(选择题 共 30 分)一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分)1.已知集合 A=B=R,xA,yB,f:xy=ax+b,若 4 和 10 的原象分别对应 6 和 9，则 19 在 f作用下的象为 A.18 B.30 C.227 D.28 解析:由题意10946babaa=2,b=-8，对应法
9、则为 y=2x-8.故 19 在 f 作用下的象是 y=219-8=30.答案:B 2.若函数 y=f(x)的定义域是-2,4,则函数 g(x)=f(x)+f(-x)的定义域是 A.-4,4 B.-2,2 C.-4,-2 D.2,4 解析:要使函数有意义,只需4242xx2442xx-2x2,即函数的定义域是-2,2.答案:B 3.如下图可作为 y=f(x)的图象的是 xxxxyyyyOOOOACBD 解析:在 A、B、C 中，均存在一个 x 对应两个 y 的情况，因此 A、B、C 均错.答案:D 4.下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f(x)=1,g(x)=x0 B.f(x)=x+2,g
10、(x)=242xx C.f(x)=|x|,g(x)=)0()0(xxxx D.f(x)=x,g(x)=(x)2 解析:判断两函数是否为同一函数，要抓住定义域和对应法则两个方面.只有定义域和对应法则完全相同的两个函数才是同一函数.A.g(x)的定义域为 x0,f(x)的定义域为 R.B.g(x)的定义域为 x2,而 f(x)的定义域为 R.D.g(x)的定义域为 x0,f(x)的定义域为 R.答案:C 5.从 1999 年 11 月 1 日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为 20%，由各银行储蓄点代扣代收.某人 2000 年 6 月 1 日存入若干万元人民币，年利率为 2%，到 2001
11、 年 6 月1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元，则该存款人的本金介于 A.34 万元 B.45 万元 C.56 万元 D.23 万元 解析:设存款人的本金为 x，根据题意可得 x2%20%=138.64.解得 x3.4 万元.答案:A 6.函数 y=x2+2x(x-1)的反函数是 A.y=1x-1(x-1)B.y=1x-1(x-1)C.y=-1x-1(x-1)D.y=-1x-1(x-1)解法一:x-1 时,1x无意义，排除 A、C.y=1x-1-1 与原函数中 x-1 不符,排除 B，故选 D.解法二:由 y=x2+2x=(x+1)2-1,x-1.令 y=x2+2x 解得 x=-1
12、1y.x-1，x=-1-1y,即 y=-1-1x(x-1).答案:D 7.某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(双)的关系式为 y=5x+4000,而手套出厂价格为每双 10 元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为 A.200 双 B.400 双 C.600 双 D.800 双 解析:要使该厂不亏本,只需 10 x-y0,即 10 x-(5x+4000)0,解得 x800.答案:D 8.已知函数 f(n)=),10)(5(),10(3nnffnn其中 nN，则 f(8)等于 A.2 B.4 C.6 D.7 解析:f(8)=ff(8+5)=ff(13)=f(10)=7.答案:D 9.已知映
13、射 f:AB，其中 A=B=R，对应法则 f:y=-x2+2x,对于实数 kB，在集合 A 中不存在原象，则 k 的取值范围是 A.k1 B.k1 C.k1 D.k1 解析:由题意可知，k 不在函数y=-x2+2x 的值域之中，由y=-x2+2x=-(x-1)2+11,可得k1.答案:A 10.设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，若 f(x1)=f(x2)(x1x2)，则 f(x1+x2)等于 A.-ab2 B.-ab C.c D.abac442 解析:由 f(x1)=f(x2)x1+x2=-ab,代入表达式得 f(x1+x2)=f(-ab)=ab2-ab2+c=c.答案:C 第卷
14、(非选择题 共 70 分)二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分)11.函数 y=12 xx的定义域为_，值域为_.解析:y=43)21(2x,故定义域为 R，值域为23,+).答案:R 23,+)12.若函数 y=ax 与 y=-xb在(0,+)上都是减函数，则函数 y=ax2+bx 在(0，+)上是单调递_函数.解析:由已知得 a0，b0，-ab20.y=ax2+bx 在-ab2,+)上单调递减,y=ax2+bx 在(0,+)上是单调递减函数.答案:减 13.f(x)=,0,2,0,12xxxx若 f(x)=10,则 x=_.解析:因为当 x0 时,f(x)=-2x0
15、,所以 x2+1=10,解得 x=3.又因为 x0,所以 x=-3.答案:-3 14.已知点(-2，y1)、(34,y2)、(56,y3)在函数 y=2x2+8x+c 的图象上，则 y1、y2、y3从小到大依次为_.解析:y=2x2+8x+c 在-2，+)上是增函数，-25634，y1y3y2.答案:y1y3y2 评注:本题也可先求出 y1、y2、y3，再比较大小.三、解答题(本大题共 5 小题，共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分 8 分)设当 x0 时，f(x)=2;当 x0),写出 y=g(x)的表达式，并画出其图象.分析:令x-1=0,x-2=0,得
16、x=1或2.过两个分界点把x0分成三部分,先求出每一部分的解析式,再得出分段函数的解析式.解:当 0 x1 时，x-10,x-20，g(x)=213=1.当 1x2 时，x-10,x-20,x-20,g(x)=226=2.xy332211O 故 y=g(x)=).2(2),21(25),10(1xxx 其图象如上图.16.(本小题满分 10 分)求函数 y=12x在区间2,6上的最大值和最小值.Oxy1 2 3 4 5 6 2.521.510.5 分析:由函数 y=12x(x2,6)的图象(如上图)可知,函数 y=12x在区间2,6上递减.所以,函数 y=12x在区间2,6的两个端点上分别取得
17、最大值和最小值.解:设 x1、x2是区间2,6上的任意两个实数,且 x1x2,则 f(x1)-f(x2)=121x-122x=)1)(1()1()1(22112xxxx=)1)(1()(22112xxxx.由 2x1x20,(x1-1)(x2-1)0,于是 f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2).所以函数 y=12x是区间2,6上的减函数.因此,函数 y=12x在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值,即当 x=2 时,ymax=2;当x=6 时,ymin=52.17.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=axx13(x-a,a31).(1)求 f(x)的反函数；(2)若这两
18、个函数的图象关于 y=x 对称，求 a 的值.解:(1)设 y=axx13,则 y(x+a)=3x+1，整理得(y-3)x=1-ay.若 y=3,则 a=31,与已知矛盾，x=31yay.故所求反函数为 f-1(x)=31xax(x3).(2)依题意得 f-1(x)=f(x),则axx13=31xax,整理得 3x2-8x-3=-ax2+(1-a2)x+a,比较两边对应项的系数，有,3,81,32aaa 故 a=-3.18.(本小题满分 12 分)讨论函数 f(x)=12xax在 x(-1,1)上的单调性.解:设-1x1x21，则 f(x1)-f(x2)=1211xax1222xax=)1)(
19、1()(1(22211221xxxxxxa.x1x2+10,x2-x10,x12-10,x22-10,当 a0 时，f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)f(x2)，f(x)为减函数；当 a0 时，f(x1)-f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)为增函数；当 a=0 时，f(x1)-f(x2)=0，即 f(x1)=f(x2),f(x)为常函数.19.(本小题满分 12 分)某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出;当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元.(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解:(1)当每辆车月租金为 3600 元时，未租出的车辆数为5030003600=12，所以这时租出了 88 辆.(2)设每辆车的月租金定为 x 元，则公司月收益为 f(x)=(100-503000 x)(x-150)-503000 x50,整理得 f(x)=-502x+162x-2100=-501(x-4050)2+307050，当 x=4050 时，f(x)最大，最大值为 307050 元.