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1、第 7 节 函数 yAsin(x)的图象及应用 知 识 梳 理 1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x 轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示 X 2 32 2 x 0 2 32 2 yAsin(x)0 A 0 A 0(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到 yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在 R 上的图象 2函数 yAsin(x)中各量的物理意义 当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相
2、关的概念如下表：简谐振动 振幅 周期 频率 相位 初相 yAsin(x)(A0，0)，x0，)A T2 f1T x 3.函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径 1由函数 ysin x 的图象经过变换得到 yAsin(x)的图象，当先伸缩再平移时，要把 x 前面的系数提取出来 2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数 yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把 x 看作一个整体若 0，|2的部分图象，已知函数图象经过P512，2，Q76，0 两点，则_，_ 答案 2 3 解析 因为 f(x)过一个周期内的关键点 P512，2，Q76，0，故34T7
3、6512(T 为最小正周期)，即34234，解得 2，由 f(x)的图象经过点 P512，2 得 sin561，则5622k(kZ)，则 32k(kZ)，又|2，则 3.考点一 函数 yAsin(x)的图象及变换【例 1】设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)(一题多解)说明函数 f(x)的图象可由 ysin x 的图象经过怎样的变换而得到 解 f(x)sin x 3cos x 212sin x32cos x 2sinx3，又T，2，即 2，f(x)2sin2x3.(1)令 z2x3，则 y2sin2x32sin z
4、.列表，并描点画出图象：x 6 12 3 712 56 z 0 2 32 2 ysin z 0 1 0 1 0 y2sin2x3 0 2 0 2 0(2)法一 把 ysin x 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到 ysinx3的图象；再把 ysinx3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3的图象；最后把 ysin2x3上所有点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3的图象 法二 将 ysin x 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到ysin 2x 的图象；再将 ysin 2x 的图象向左平移6个单位，得
5、到 ysin 2x6sin2x3的图象；再将 ysin2x3的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的 2倍(横坐标不变)，得到 y2sin2x3的图象 感悟升华 作函数 yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数 ysin x 的图象通过变换得到 yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”【训练 1】设函数 f(x)cos(x)0，20 的最小正周期为，且 f4
6、32.(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图象 解(1)T2，2，又 f4cos24 32，sin 32，又20，3.(2)由(1)得 f(x)cos2x3，列表：2x3 3 0 2 32 53 X 0 6 512 23 1112 f(x)12 1 0 1 0 12 描点画出图象(如图)考点二 由图象求函数 yAsin(x)的解 析式 【例 2】(1)函数 f(x)2sin(x)0，22的部分图象如图所示，则 _，_ (2)(一题多解)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为_ 答案(1)2 3(2)f(x)2s
7、in2x3 解析(1)由题图可知，3T43425123，得 2.又函数过点512，2，f(x)2sin(2x)，故 25122k2，kZ，得 2k3，kZ，22，3.(2)由题图可知 A 2，法一 T471234，所以 T，故 2，因此 f(x)2sin(2x)，又3，0 对应五点法作图中的第三个点，因此 23，所以 3，故 f(x)2sin2x3.法二 以3，0 为第二个“零点”，712，2 为最小值点，列方程组3，71232，解得2，3，故 f(x)2sin2x3.感悟升华 已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如
8、下两种方法：(1)五点法，由 2T即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求【训练 2】(1)已知 f(x)Asin(x)(A0，0，00，0，0)的部分图象如图所示，则 _，为了得到 g(x)Acos x 的图象，需将函数 yf(x)的图象最少向左平移_个单位长度 答案(1)B(2)6 3 解析(1)由函数的图象可得 A2，T243224，解得 12.又图象
9、经过2，0，02sin122，0，34，故 f(x)的解析式为 f(x)2sin12x34，所以f(2 021)2sin122 02134 2.故选 B.(2)由题图知 A2，T236，所以2T2，所以 f(x)2sin(2x)，把点3，2 代入，得 sin23 1，所以2322k(kZ)，即 62k(kZ)，又0)上是减函数(1)求 f(x)的最小正周期和对称轴方程；(2)(一题多解)求实数 a 的取值范围 解(1)f(x)2cos x32cos x12sin x 32(1cos 2x)12sin 2x sin2x332.所以 f(x)的最小正周期为 T2.令 2x3k2，kZ，解得 xk2
10、12，kZ，所以 f(x)的对称轴方程为 xk212，kZ.(2)法一 由(1)可知 f(x)在12，712上是减函数 因为412，712，所以要使得 f(x)在4a，4a 上是减函数，只需满足4a712，4a12，解得 a6.又 a0，所以实数 a 的取值范围0，6.法二 因为 f(x)在4a，4a 上是减函数，所以4a 4a T22，即 0a4.由(1)可知 f(x)在k12，k712(kZ)上是减函数，所以4ak12，且4ak712，即 ak3，且 ak6，kZ.结合 0a4，解得 k0，所以 00，|2)在区间2，上的图象如图所示，则，的值分别是()A2，3 B2，23 C12，3 D
11、12，23 答案 A 解析 由题图可知 T263，所以2T2，又 sin26 0，所以32k(kZ)，即 32k(kZ)，而|0，将函数 y sinx6的图象向左平移3个单位长度后与函数 y cosx6的图象重合，则 的最小值为()A.12 B.32 C.52 D1 答案 B 解析 将函数 ysinx6的图象向左平移3个单位长度后得到图象对应的函数为 ysinx36与函数 ycosx6的图象重合，所以 sinx36 cosx6，即32k2(kZ)，解得 6k32(kZ)，所以当 k0 时，有最小值且为32，故选 B.3函数 f(x)3sin2xlog12x 的零点的个数是()A2 B3 C4
12、D5 答案 D 解析 函数 y3sin2x 的周期 T224，由 log12x3，可得 x18.由 log12x3，可得 x8.在同一平面直角坐标系中，作出函数 y3sin2x 和 ylog12x 的图象(如图所示)，易知有 5 个交点，故函数 f(x)有 5 个零点 4(2020全国卷)已知函数 f(x)sin x1sin x，则()Af(x)的最小值为 2 Bf(x)的图象关于 y 轴对称 Cf(x)的图象关于直线 x 对称 Df(x)的图象关于直线 x2对称 答案 D 解析 当 x2，0 时，f(x)0，f(x)min0，0，|)是奇函数，将 yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的
13、 2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为 g(x)若 g(x)的最小正周期为 2，且 g4 2，则 f38()A2 B 2 C.2 D2 答案 C 解析 因为 f(x)是奇函数(显然定义域为 R)，所以 f(0)Asin 0，所以 sin 0.又|0)，yf(x)的图象与直线 y2 的两个相邻交点的距离等于，则 f(x)的单调递增区间是()A.k12，k512，kZ B.k3，k6，kZ C.k512，k1112，kZ D.k6，k23，kZ 答案 B 解析 f(x)3sin xcos x2sinx6.因为函数f(x)的图象与直线y2的两个相邻交点的距离等于，则函数 f(x)的最小正周期为
14、2，解得 2，则 f(x)2sin2x6，令22k2x622k，kZ 得3kx6k，kZ，所以函数 f(x)的单调递增区间为3k，6k，kZ，故选 B.二、填空题 7(2016浙江卷)已知 2cos2xsin 2xAsin(x)b(A0)，则 A_，b_ 答案 2 1 解析 2cos2xsin 2xcos 2x1sin 2x 222cos 2x22sin 2x 1 2sin2x41 Asin(x)b(A0)，A 2，b1.8(2018全国卷)函数 f(x)cos3x6在0，的零点个数为_ 答案 3 解析 由题意知 cos3x60，所以 3x62k，kZ，所以 x9k3，kZ，当 k0 时，x9
15、；当 k1 时，x49；当 k2 时，x79，均满足题意，所以函数 f(x)在0，上的零点个数为 3.9已知 f(x)sinx3(0)，f6f3，且 f(x)在区间6，3上有最小值，无最大值，则 _.答案 143 解析 依题意，x6324时，y 有最小值，sin431，432k32(kZ)8k143(kZ)，因为f(x)在区间6，3上有最小值，无最大值，所以34，即 12，令 k0，得 143.10已知函数 f(x)asin 2x(a1)cos 2x，aR，则函数 f(x)的最小正周期为_；振幅的最小值为_ 答案 22 解析 由题意得 f(x)asin 2x(a1)cos 2x a2（a1）2
16、sin(2x)，其中tan a1a，所 以函 数 f(x)的 最小 正 周 期为22，a2（a1）22a22a1，0)，已知 f(x)在0，2有且仅有 5个零点，下述四个结论：f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点；f(x)在(0，2)有且仅有 2 个极小值点；f(x)在0，10单调递增；的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的编号是()A B C D 答案 D 解析 已知 f(x)sinx5(0)在0，2有且仅有 5 个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在a，b)上，此时 f(x)在(0，2)有且仅有 3 个极大值点，但 f(x)在(0，2)可能有 2 或 3 个极小值点，所以
17、正确，不正确；当 x0，2时，x55，25，由 f(x)在0，2有且仅有 5 个零点可得 5256，得 的取值范围是125，2910，所以正确；由知，当 x0，10时，5x5105491002，所以 f(x)在0，10上单调递增，所以正确故选 D.15(一题多解)(2018全国卷)若 f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则 a 的最大值是()A.4 B.2 C.34 D 答案 A 解析 法一 f(x)cos xsin x 2cosx4，且函数 ycos x 在区间0，上单调递减，则由 0 x4，得4x34.因为 f(x)在a，a上是减函数，所以a4，a34，解得 a4，所以 0a4
18、，所以 a 的最大值是4，故选 A.法二 因为 f(x)cos xsin x，所以 f(x)sin xcos x，则由题意知 f(x)sin xcos x0 在a，a上恒成立，即 sin xcos x0，即 2sinx40 在a，a上恒成立，结合函数 y 2sinx4的图象可知有a40，a4，解得 a4，所以 00，在函数 y2sin x 与 y2cos x 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 2 3，则 _ 答案 2 解析 由y2sin x，y2cos x，得 sin xcos x，tan x1，xk4(kZ)0，xk4(kZ)设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)
19、，不妨取 x14，x254，则|x2x1|544.又结合图形知|y2y1|2222222 2，且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为 2 3，(x2x1)2(y2y1)2(2 3)2，2(2 2)212，2.17(2021杭州质检)已知函数 f(x)sin2x cos2x3(xR)(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 f(x)在3，4上的值域 解(1)因为 f(x)sin2xcos2x3 sin2x32sin x12cos x2 sin2x34sin2x32sin xcos x14cos2x 14(cos2xsin2x)342sin xcos x 34sin 2x14cos 2
20、x 12sin2x6，所以函数 f(x)的最小正周期 T222.(2)因为 x3，4，所以 2x656，3.当 2x62，即 x6时，f(x)min12；当 2x63，即 x4时，f(x)max34，所以函数 f(x)在3，4上的值域为12，34.18(2021台州评估测试)已知函数 f(x)cos2x2 3sin xcos xsin2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期和最大值；(2)问方程 f(x)23在6，116上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和 解(1)因为 f(x)cos 2x 3sin 2x2sin2x6，所以最小正周期 T22.当 2x62k2，kZ，即 xk6，kZ 时，函数 yf(x)取得最大值 2.(2)由 2x6k2，kZ，可得函数 f(x)的对称轴为 xk26，kZ，作出函数 f(x)的图象如图所示 所以方程 f(x)23在6，116上共有 4 个不同的实数根，且这些实数根关于 x56对称，所以这些实数根之和为103.