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1、.1、平面几何 根本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有容。补充要求：面积和面积方法。梅涅劳斯定理Menelaus theorem是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与ABC 的三边 AB、BC、CA 或其延长线交于 F、D、E 点，则(AF/FB)(BD/DC)(CE/EA)=1。或：设*、Y、Z 分别在ABC 的 BC、CA、AB所在直线上，则*、Y、Z 共线的充要条件是(AZ/ZB)*(B*/*C)*(CY/YA)=1。塞瓦定理 在ABC 任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 托勒密定理
2、:指圆接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。西姆松定理:有三角形 ABC，平面上有一点 P。P 在三角形三边上的投影即由P 到边上的垂足共线此线称为西姆松线,Simson line当且仅当 P 在三角形的外接圆上。几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点-费马点。1对于任意三角形ABC，假设三角形或三角形上*一点 E,假设 EA+EB+EC 有最小值,则取到最小值时 E 为费马点。2 如果三角形有一个角大于或等于 120，这个角的顶点就是费马点；如果 3 个角均小于 120，则在三角形部对 3 边角均为 120的点，是三角形的费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点-重心。三
3、角形到三边距离之积最大的点-重心。几何不等式。简单的等周问题。等周定理，又称等周不等式，是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的封闭图形的周长以及其面积之间的关系。其中的“等周指的是周界的长度相等。等周定理说明在周界长度相等的封闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何形状之中，以圆形的周界长度最小。解释：不完全凸的封闭曲线的话，能以“翻折凹的局部以成为凸的图形，以增加面积，而周长不变 一个狭长的图形可以通过“压扁来变得“更圆，从而使得面积更大而周长不变。.了解下述定理：在周长一定的 n 边形的集合中，正 n 边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最
4、大。在面积一定的 n 边形的集合中，正 n 边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。几何中的运动：反射、平移、旋转。复数方法:由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通过建立坐标系,利用复数方法求解。向量方法 平面凸集、凸包及应用 凸集实数 R 或复数 C 上在向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的连线的点都在集合 S。对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。点集 Q 的凸包conve*hull是指一个最小凸多边形，满足 Q 中的点或者在多边形边上或者在其。右图中由
5、红色线段表示的多边形就是点集 Q=p0,p1,.p12的凸包。2、代数 在一试大纲的根底上另外要求的容：周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。三倍角公式 sin3=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3=4cosacos(60-a)cos(60+a)tan3a=tan a tan(/3+a)tan(/3-a)三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。|a|-|b|ab|a|+|b|(定理)，第二数学归纳法。第二数学归纳法原理是设有一个与自然数 n 有关的命题，如果：1当 n1时，命题成立；2假设当 nk 时命题成立，由此可推得当 nk+1 时，命题也成立。则，命题对于一切自然数 n
6、 来说都成立。第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的一种表达形式，而且可以证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式，旨在更便于我们应用。递归，递归，就是在运行的过程中调用自己。在数学和计算机科学中，递归指由一种或多种简单的根本情况定义的一类对象或方法，并规定其他所有情况都能被复原为其根本情况。.例如，以下为*人祖先的递归定义：*人的双亲是他的祖先根本情况。*人祖先的双亲同样是*人的祖先递归步骤。斐波纳契数列Fibonacci Sequence，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21.I 斐波纳契数列是典型的递归案例 一
7、阶、二阶递归，特征方程法。特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，它因数学对象不同而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方程等等 函数迭代，求 n 次迭代，简单的函数方程。n 个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用【柯西不等式】二维形式(a2b2)(c2+d2)(ac+bd)2 等号成立条件：ad=bc 三角形式(a2b2)(c2d2)(a+c)2(b+d)2 等号成立条件：ad=bc 注：“表示平方根，向量形式|，=(a1,a2,an)，=(b1,b2,bn)nN，n2 等号成立条件：为零向量，或=R。一般形式(ai2)(bi2)(
8、aibi)2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=an:bn，或 ai、bi 均为零.排序不等式 设有两组数 a 1,a 2,a n,b 1,b 2,b n 满足 a 1 a 2 a n,b 1 b 2 b n 则有 a 1 b n+a 2 b n 1+a n a 1 b t+a 2 b t+a n b t a 1 b 1+a 2 b 2+a n b n 式中 t1，t2，tn 是 1，2，n 的任意一个排列，当且仅当 a 1=a 2=a n 或 b 1=b 2=b n 时成立。以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和.例 1 在ABC 中，ha,hb,hc 为边长 a,b,c 上的高，
9、求证：asinA+bsinB+csinC=ha+hb+hc 解：简单画以下图形可知:ha=csinB,hb=asinC,hc=bsinA 原不等式即证:asinA+bsinB+csinC=csinB+asinC+bsinA 正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC,a,b,c 和 sinA,sinB,sinC大小顺序一样 排序不等式:顺序和=乱序和=反序和 asinA+bsinB+csinC(顺序和)=csinB+asinC+bsinA(乱序和)asinA+bsinB+csinC=ha+hb+hc 复数的指数形式，.欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅
10、角公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数ei*=cos*+isin*，三角公式 d2=R2-2Rr，物理学公式 F=feka 等。欧拉公式，特殊的：分式 分式里的欧拉公式：ar/(a-b)(a-c)+br/(b-c)(b-a)+cr/(c-a)(c-b)当 r=0,1 时式子的值为 0 当 r=2 时值为 1 当 r=3 时值为 a+b+c 三角公式 三角形中的欧拉公式：设 R 为三角形外接圆半径，r 为切圆半径，d 为外心到心的距离，则
11、：d2=R2-2Rr 拓扑学里的欧拉公式：V 是多面体 P 的顶点个数，F 是多面体 P 的面数，E 是多面体 P 的棱的条数 棣莫佛定理，把复数用三角式具体参见复数表示：c=r(cosa+isina)或者表示为：r(cos+isina)的 n 次方根n 次根号下rcos(a+2k)/n)+isin(a+2k)/n)其中 k=0,1,2.n-1 单位根，单位根的应用。单位根unit root设 n 是正整数，当一个数的 n 次乘方等于 1 时，称此数为 n 次“单位根。在复数围，n 次单位根有 n 个。例如，1、1、i、i 都是 4 次单位根。确.切的说，单位根指模为 1 的根，一般的*n=1
12、 的 n 个根可以表示为:*=cos(2k/n)+sin(2k/n)i，其中:k=0,1,2,.,n-1，i 是虚数的单位。圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。从 n 个不同元素中不重复地取出 m1mn个元素在一个圆周上，叫做这 n个不同元素的圆排列。如果一个 m-圆排列旋转可以得到另一个 m-圆排列，则认为这两个圆排列一样。计算公式：n 个不同元素的 m-圆排列数为 n!/(n-m)!*m 特别地，当 m=n 时，n 个不同元素作成的圆排列总数为n-1！。一元 n 次方程多项式根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。简单的初等数论问题，除初纲中所包括的容外，还应包括无穷递
13、降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，子定理，格点及其性质。高斯函数的形式为：其中 a、b 与 c 为实数常数，且 a 0.c2=2 的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进展傅立叶变换的函数的标量倍。费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其容为：假设 p 是质数，且Gcd(a,p)=1，则 a(p-1)1mod p。即：假设 a 是整数，p 是质数，且 a,p 互质(即两者只有一个公约数 1)，则 a 的(p-1)次方除以 p 的余数恒等于 1。欧拉函数:在数论，对正整数
14、 n，欧拉函数是少于或等于 n 的数中与 n 互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为 Eulers totient function、函数、欧拉商数等。例如(8)=4，因为 1,3,5,7 均和 8 互质。子定理:假设*数*分别被 d1、dn 除得的余数为 r1、r2、rn，则可表示为下式：*=R1*r1+R2*r2+Rn*rn+R*D 其中 R1 是 d2、d3、dn 的公倍数，而且被 d1 除，余数为 1；称为 R1相对于 d1 的数论倒数 R1、R2、Rn 是 d1、d2、dn-1 的公倍数，而且被 dn 除，余数为 1；D 是 d1、d2、的最小公倍数；R 是任意整数代
15、表倍数，可根据实际需要决定；且 d1、d2、d3、dn必须互质，以保证每个 Ri(i=1,2，n)都能求得.注：因为 R1 对 d1 求余为 1，所以 R1*r1 对 d1 求余为 r1，这就是为什么是 R1 对 d1 求余为 1 的目的，其次，R2*r2,R3*r3Rn*rn 对 d1 求余都是 0.无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：假设方程有解，并设*为最小的解。从*推出一个更小的解 Y。从而与*的最小性相矛盾。所以，方程无解。同余是数论中的重要概念。给定一个正整数 m，如果两个整数 a 和 b 满足 a-b 能被 m 整除，即 m|(a-b)，则就称整数 a 与 b 对模 m
16、 同余，记作 ab(modm)。对模m 同余是整数的一个等价关系。用欧几里德算法辗转相除法求两个正整数的最大公约数。先将其中较大的数除以较小的数，如果余数为 0，则其中较小的数就是所求的最大公约数，如果余数不为 0，就用较小的数再去去除以余数，再看余数是否为 0，这样一直做下去，直到余数为 0 为止，此时除数就是所求的最大公约数。例：48,64 6448=116 4816=3 所以 16 即为 48 和 64 的最大公约数。3、立体几何 多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的根本性质。正多面体，欧拉定理。3 体积证法。截面，会作截面、外表展开图。4、平面解析几何 直线的法线式，直线的极坐标方
17、程，直线束及其应用。二元一次不等式表示的区域。三角形的面积公式。圆锥曲线的切线和法线。圆的幂和根轴。相交弦定理：圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。割线定理：从圆外一点 P 引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PAPB=PCPD 定义：圆幂 称为 P 点对圆 O 的幂 符号：圆的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。1 合，则有.考虑经过 P 点与圆心 O 的直线，设 PO 交O 于 M、N，R 为圆的半径，则有 根轴：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集
18、合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。5、其它 抽屉原理。桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理。抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假设有 n+1 或 n+(n-1)个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。容斥原理。在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠局部不被重复计算，人们研究出一种新的计数方
19、法，这种方法的根本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于*容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。极端原理。直接抓住全体对象中的极端情形或它们所具有的*种极端性质加以研究、解决问题的思想方法称为极端性原则。集合的划分。覆盖。梅涅劳斯定理 托勒密定理定理的容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。此线常称为西姆松线。西姆松定理的逆定理为：假设一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。赛瓦定理及其逆定理。在ABC 任取一点 O，直线 AO、BO、CO 分别交对边于 D、E、F，则(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)=1。