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1、努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！第二篇 函数及其性质 专题 2.03 函数的奇偶性与周期性【考试要求】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.【知识梳理】1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是偶函数 关于 y 轴对称 奇函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)f(x)，那么函数 f(x)是奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域
2、内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.【微点提醒】1.(1)如果一个奇函数 f(x)在原点处有定义，即 f(0)有意义，那么一定有 f(0)0.(2)如果函数 f(x)是偶函数，那么 f(x)f(|x|).2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.3.函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x：(1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0).(2)若
3、 f(xa)1f（x），则 T2a(a0).(3)若 f(xa)1f（x），则 T2a(a0).4.对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称.(3)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b，0)中心对称.【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)函数 yx2在 x(0，)时是偶函数.()(2)若函数 f(x)为奇函数，则一定有 f(0
4、)0.()(3)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期.()(4)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()【教材衍化】2.(必修 1P35 例 5 改编)下列函数中为偶函数的是()A.yx2sin x B.yx2cos x C.y|ln x|D.y2x 3.(必修 4P46A10 改编)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x1，1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32_.【真题体验】努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！4.(2019济南调研)下列函数既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的
5、是()A.yx3 B.yx14 C.y|x|D.y|tan x|5.(2017全国卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x(，0)时，f(x)2x3x2，则 f(2)_.6.(2019上海崇明区二模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数，当 x0，1时，f(x)log2(x1)，则当x1，2时，f(x)_.【考点聚焦】考点一 判断函数的奇偶性【例 1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)3x2 x23；(2)f(x)lg(1x2)|x2|2；(3)f(x)x2x，x0.【规律方法】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的
6、必要不充分条件，所以首先考虑定义域；努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(2)判断 f(x)与 f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或 f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.【训练 1】(1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A.yxsin 2x B.yx2cos x C.y2x12x D.yx2sin x(2)已知 f(x)x2x1，g(x)x2，则下列结论正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.f(x)g(x)是奇函数 C.f(x)g(x)是奇函数 D.f(x)g(x)是偶函数 考点二 函数
7、的周期性及其应用【例 2】(1)(一题多解)(2018全国卷)已知 f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足 f(1x)f(1x).若f(1)2，则 f(1)f(2)f(3)f(50)()A.50 B.0 C.2 D.50(2)已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0，6上与 x 轴的交点个数为_.【规律方法】努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若 f(xa)f(x)(a 是常数，且 a0)，则 2a
8、 为函数 f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.【训练 2】(1)(2019南充二模)设 f(x)是周期为 4 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)x(1x)，则 f92()A.34 B.14 C.14 D.34(2)(2017山东卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2).若当 x3，0时，f(x)6x，则 f(919)_.考点三 函数性质的综合运用 角度 1 函数单调性与奇偶性【例 31】(2019石家庄模拟)设 f(x)是定义在2b，3b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则 f(x1)f(3)的解集为()A.3，3 B
9、.2，4 C.1，5 D.0，6 【规律方法】1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质 f(x)f(|x|)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度 2 函数的奇偶性与周期性 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【例 32】(1)(2019山东省实验中学检测)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x5)f(x)，且当 x0，52时，f(x)x33x，则 f(2 018)()A.2 B.18 C.18 D.2(2)(2019洛阳模拟)已知函数 yf(x)满足 yf(x)和 yf(x2)是偶函数，且 f(1)3
10、，设 F(x)f(x)f(x)，则 F(3)()A.3 B.23 C.D.43 【规律方法】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【训练 3】(1)(2019重庆九校模拟)已知奇函数 f(x)的图象关于直线 x3 对称，当 x0，3时，f(x)x，则 f(16)_.(2)若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在区间0，)上是单调递增函数.如果实数 t 满足 f(ln t)fln 1t2f(1)，那
11、么 t 的取值范围是_.【反思与感悟】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期”的应用.【易错防范】1.f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关
12、系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.【核心素养提升】【数学运算】活用函数性质中“三个二级”结论 类型 1 奇函数的最值性质 已知函数 f(x)是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 xD，都有 f(x)f(x)0.特别地，若奇函数 f(x)在 D 上有最值，则 f(x)maxf(x)min0，且若 0D，则 f(0)0.【例 1】设函数 f(x)（x1）2sin xx21的最大值为 M，最小值为 m，则 Mm_.类型 2 抽象函数的周期性(1)如果 f(xa)f(x)(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中一个周期 T2a.(2)如果 f(xa)1
13、f（x）(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a.(3)如果 f(xa)f(x)c(a0)，那么 f(x)是周期函数，其中的一个周期 T2a.【例 2】已知函数 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，有 f(x3)f(x)，且当 x(0，3)时，f(x)x1，则 f(2 017)f(2 018)()A.3 B.2 C.1 D.0 类型 3 抽象函数的对称性 已知函数 f(x)是定义在 R 上的函数.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！(1)若 f(ax)f(bx)恒成立，则 yf(x)的图象关于直线 xab2对称，特别地，若 f(ax)f(ax)恒成立，则 yf
14、(x)的图象关于直线 xa 对称.(2)若函数 yf(x)满足 f(ax)f(ax)0，即 f(x)f(2ax)，则 f(x)的图象关于点(a，0)对称.【例 3】(2019日照调研)函数 yf(x)对任意 xR 都有 f(x2)f(x)成立，且函数 yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则 f(2 016)f(2 017)f(2 018)的值为_.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40 分钟)一、选择题 1.(2019玉溪模拟)下列函数中，既是偶函数，又在(0，1)上单调递增的函数是()A.y|log3x|B.yx3 C.ye|x|D.ycos|x|2.(一题多解)(20
15、19 河北“五个一”名校联盟二模)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)log3（x1），x0，g（x），x0，则 g(8)()A.2 B.3 C.2 D.3 3.已知 f(x)在 R 上是奇函数，且满足 f(x4)f(x)，当 x(2，0)时，f(x)2x2，则 f(2 019)等于()A.2 B.2 C.98 D.98 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！4.(一题多解)(2017天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数，g(x)xf(x).若 ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则 a，b，c 的大小关系为()A.abc B.cba C.bac
16、 D.bca 5.(2019山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在 R 上的函数 f(x)在1，)上单调递减，且 f(x1)是偶函数，不等式 f(m2)f(x1)对任意的 x1，0恒成立，则实数 m 的取值范围是()A.3，1 B.4，2 C.(，31，)D.(，42，)二、填空题 6.若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.7.若函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x0，0，x0，x2mx，x0，则 x 的取值范围为()A.x|0 x2 B.x|x2 C.x|x3 D.x|x1 努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！12.定义在 R 上的奇函数 f
17、(x)满足 f(x2)f(x)，且在0，1上是减函数，则有()A.f32f14f14 B.f14f14f32 C.f32f14f14 D.f14f32f14 13.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0，1时，f(x)2x，则有 2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0.其中所有正确命题的序号是_.14.设 f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x.(1)求 f()的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积.努力的你，未来可期！拼搏的你，背影很美！【新高考创新预测】15.(多填题、新定义题)定义：函数 f(x)在闭区间a，b上的最大值与最小值之差为函数 f(x)的极差.若定义在区间2b，3b1上的函数 f(x)x3ax2(