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1、【第 9 讲】分式方程与无理方程的解法【基础知识回顾】知识点 1 分式方程 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程 知识点 2 无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程【合作探究】探究一 分式方程的解法 方法一、去分母化分式方程为一元二次方程【例 1-1】解方程 21421224xxxx 归纳总结：方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程【例 1-2】解方程 2223()4011xxxx 归纳总结：【练习 1】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx 探究二 无理方程的解法 方法一、平方法解无理方程【例 2-1】解方程 71xx 归纳总结：【练
2、习 2-1】解方程 3233xx 方法二、换元法解无理方程【例 2-2】解方程 223152512xxxx 归纳总结：【课后作业】A 组 1解下列方程：(1)215(1)(2)(2)(3)xxxxxx (2)227211211235xxxxxx(3)221124yy (4)2152124xx 2用换元法解方程：2244xx 3解下列方程：(1)2xx (2)57xx (3)32xx 4解下列方程：(1)3141xx (2)2451xx 5用换元法解下列方程：(1)120 xx (2)22336xxxx B 组 1解下列方程：(1)2225412324xxxxx (2)22416124xxxxx
3、x(3)21117(21)(7)231xxxxxx (4)21240111xxxxxx 2用换元法解下列方程：(1)2524(1)1401(5)xxxxx x (2)222(1)6(1)711xxxx(3)42222112xxxxx 3若1x 是方程14xxaxa的解，试求a的值 4解下列方程：(1)22324123xxxx (2)22236xxaxxaxaax 5解下列方程：(1)2213xx (2)610510 xx (3)222432615xxxx 【第 9 讲】分式方程与无理方程的解法 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波【基础知识回顾】知识点 1 分式方程 分式方程是方程
4、中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程 知识点 2 无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程【合作探究】探究一 分式方程的解法 方法一、去分母化分式方程为一元二次方程【例 1-1】解方程 21421224xxxx【分析】：去分母，转化为整式方程【解析】：原方程可化为：14212(2)(2)2xxxxx 方程两边各项都乘以24x 得，2(2)42(2)4xxxx 即2364xx，整理得：2320 xx，解得：1x 或2x 检验：把1x 代入24x，不等于 0，所以1x 是原方程的解；把2x 代入24x，等于 0，所以2x 是增根 所以，原方程的解是1x 归纳总结：(1)去
5、分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解；在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程；验根(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验 方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程【例 1-2】解方程 2223()4011xxxx【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到方程的结构特点，设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程【解析】：设21xyx，则原方程可化为：2340yy 解得4y 或1y (1)当4y 时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx；(2)当1y 时，22215111012xxxxxxx
6、 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x，152x 都是原方程的解 归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想【练习 1】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数【解析】：设2221xxyx，则22112xyxx 原方程可化为：2338118113018yyyyyy或(1)当1y 时，22222112121xxxxxxx ；(2)当38y 时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx 或 检验：把把各根分别
7、代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是12x ，3x ，15x 探究二 无理方程的解法 方法一、平方法解无理方程【例 2-1】解方程 71xx【解析】：移项得：71xx，两边平方得：2721xxx 移项，合并同类项得：260 xx，解得：3x 或2x 检验：把3x 代入原方程，左边右边，所以3x 是增根 把2x 代入原方程，左边=右边，所以2x 是原方程的根 所以，原方程的解是2x 归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根【练习 2-1】解方程
8、 3233xx【分析】：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程 【解析】：原方程可化为：3233xx，两边平方得：329633xxx 整 理 得：63142337xxxx，两 边 平 方 得：29(3)4914xxx，整理得：223220 xx，解得：1x 或22x 检验：把1x 代入原方程，左边=右边，所以1x 是原方程的根 把22x 代入原方程，左边右边，所以22x 是增根 所以，原方程的解是1x 方法二、换元法解无理方程【例 2-2】解方程 223152512xxxx【分析】：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观
9、察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)xxxx因此，可以设251xxy，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理 【解析】：设251xxy，则2222513153(1)xxyxxy 原方程可化为：23(1)22yy，即23250yy，解得：1y 或53y (1)当1y 时，225115010 xxxxxx 或；(2)当53y 时，因为2510 xxy，所以方程无解 检验：把1,0 xx 分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是1,0 xx 归纳总结：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想 【课后作业】
10、A 组 1解下列方程：(1)215(1)(2)(2)(3)xxxxxx (2)227211211235xxxxxx(3)221124yy (4)2152124xx 2用换元法解方程：2244xx 3解下列方程：(1)2xx (2)57xx (3)32xx 4解下列方程：(1)3141xx (2)2451xx 5用换元法解下列方程：(1)120 xx (2)22336xxxx B 组 1解下列方程：(1)2225412324xxxxx (2)22416124xxxxxx(3)21117(21)(7)231xxxxxx (4)21240111xxxxxx 2用换元法解下列方程：(1)2524(1)
11、1401(5)xxxxx x (2)222(1)6(1)711xxxx(3)42222112xxxxx 3若1x 是方程14xxaxa的解，试求a的值 4解下列方程：(1)22324123xxxx (2)22236xxaxxaxaax 5解下列方程：(1)2213xx (2)610510 xx (3)222432615xxxx【参考答案】A 组 1(1)1,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx 22x 353(1)1,(2)6,(3)2xxx 4(1)5x(2)20 x 5(1)9,(2)1,4xxx B 组 11(1)113,(2)3,(3)5,1,(4)3xxxxx 2
12、317(1)1,2,3,4,(2)12,(3)14xxxxxxx 322 423 21(1)0,2,(2)22xxxxa 5(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx 【第 9 讲】分式方程与无理方程的解法【基础知识回顾】知识点 1 分式方程 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程 知识点 2 无理方程 根号下含有未知数的方程，叫做无理方程【合作探究】探究一 分式方程的解法 方法一、去分母化分式方程为一元二次方程【例 1-1】解方程 21421224xxxx【分析】：去分母，转化为整式方程【解析】：原方程可化为：14212(2)(2)2xxxxx 方程两边各项都
13、乘以24x 得，2(2)42(2)4xxxx 即2364xx，整理得：2320 xx，解得：1x 或2x 检验：把1x 代入24x，不等于 0，所以1x 是原方程的解；把2x 代入24x，等于 0，所以2x 是增根 所以，原方程的解是1x 归纳总结：(1)去分母解分式方程的步骤：把各分式的分母因式分解；在方程两边同乘以各分式的最简公分母；去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；解一元二次方程；验根(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验 方法二、用换元法化分式方程为一元二次方程【例 1-2】解方程 2223()4011xxxx【分析】：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难但注意到
14、方程的结构特点，设21xyx，即得到一个关于y的一元二次方程【解析】：设21xyx，则原方程可化为：2340yy 解得4y 或1y (1)当4y 时，241xx，去分母，得224(1)4402xxxxx；(2)当1y 时，22215111012xxxxxxx 检验：把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，2x，152x 都是原方程的解 归纳总结：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体现了化归思想【练习 1】解方程 22228(2)3(1)1112xxxxxx【分析】：注意观察方程特点，可以看到分式2221xxx与2212xxx互为倒数【解析】：设2
15、221xxyx，则22112xyxx 原方程可化为：2338118113018yyyyyy或(1)当1y 时，22222112121xxxxxxx ；(2)当38y 时，2222223181633516303851xxxxxxxxxx 或 检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为 0 所以，原方程的解是12x ，3x ，15x 探究二 无理方程的解法 方法一、平方法解无理方程【例 2-1】解方程 71xx【解析】：移项得：71xx，两边平方得：2721xxx 移项，合并同类项得：260 xx，解得：3x 或2x 检验：把3x 代入原方程，左边右边，所以3x 是增根 把2x 代入原方程，
16、左边=右边，所以2x 是原方程的根 所以，原方程的解是2x 归纳总结：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；两边同时平方，得到一个整式方程；解整式方程；验根【练习 2-1】解方程 3233xx【分析】：直接平方将很困难可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，再用例 4 的方法解方程 【解析】：原方程可化为：3233xx，两边平方得：329633xxx 整 理 得：63142337xxxx，两 边 平 方 得：29(3)4914xxx，整理得：223220 xx，解得：1x 或22x 检验：把1x 代
17、入原方程，左边=右边，所以1x 是原方程的根 把22x 代入原方程，左边右边，所以22x 是增根 所以，原方程的解是1x 方法二、换元法解无理方程【例 2-2】解方程 223152512xxxx【分析】：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大注意观察方程中含未知数的二次根式与其余有理式的关系，可以发现：2231533(51)xxxx因此，可以设251xxy，这样就可将原方程先转化为关于y的一元二次方程处理 【解析】：设251xxy，则2222513153(1)xxyxxy 原方程可化为：23(1)22yy，即23250yy，解得：1y 或53y (1)当1y 时，225115010
18、xxxxxx 或；(2)当53y 时，因为2510 xxy，所以方程无解 检验：把1,0 xx 分别代入原方程，都适合 所以，原方程的解是1,0 xx 归纳总结：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了化归思想 【课后作业】A 组 1解下列方程：(1)215(1)(2)(2)(3)xxxxxx (2)227211211235xxxxxx(3)221124yy (4)2152124xx 2用换元法解方程：2244xx 3解下列方程：(1)2xx (2)57xx (3)32xx 4解下列方程：(1)3141xx (2)2451xx 5用换元法解下列方程：(1)12
19、0 xx (2)22336xxxx B 组 1解下列方程：(1)2225412324xxxxx (2)22416124xxxxxx(3)21117(21)(7)231xxxxxx (4)21240111xxxxxx 2用换元法解下列方程：(1)2524(1)1401(5)xxxxx x (2)222(1)6(1)711xxxx(3)42222112xxxxx 3若1x 是方程14xxaxa的解，试求a的值 4解下列方程：(1)22324123xxxx (2)22236xxaxxaxaax 5解下列方程：(1)2213xx (2)610510 xx (3)222432615xxxx【参考答案】A 组 1(1)1,(2)1,21,(3)0,1,(4)3,5xxxyyxx 22x 353(1)1,(2)6,(3)2xxx 4(1)5x(2)20 x 5(1)9,(2)1,4xxx B 组 11(1)113,(2)3,(3)5,1,(4)3xxxxx 2317(1)1,2,3,4,(2)12,(3)14xxxxxxx 322 423 21(1)0,2,(2)22xxxxa 5(1)2,(2)26,(3)3,1xxxx