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1、 初中阶段数学思想方法汇编 一、数形结合思想“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。数形结合思想 是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中，最突出的为数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数学运算，常会降低难度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从 不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生 将实际问题转化为数学问题的能力。能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运 用几何、三角比知识通过对图形性
2、质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的 数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代 数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理 代数问题。已知二次函数 y=ax2+bx+c 2 a 0,b 0,c 0,b-4ac 0 如果关于x的方程2x2yx 45m d有且只有一个大于1的实数根,求m的取值范围。二次函数 y=a)2-bx-c 如图 2(1)试确定c的符号及a、b、b-4ac的符号(2)试确定a+b+c、a-b+c的符号 二、转化(化归)思想“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过 程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧
3、知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转 化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进 行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有 些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复 杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想
4、方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问 题为数学问题；g、化综合为单一；h、化一般为特殊，有加减法的转化，乘除法 的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 数轴上的点与实数的对应的关系。平面上的点与有序实数对的对应 的关系。函数式与图像之间的关系。线段(角)的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关
5、系等都是化为 数量关系来处理的。统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图 表的反映数据的分情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情 况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在 实际中的直接应用。若ab0,则下列结论中正确的是()(A)a+b a+b a b ab(B)a+b a b a+b ab(Q abab a+ba+b(D)aba+b a+bab 已知。是ABC勺内心，ODLBC于D,且ABAC=2BD DC求证：/A=90。解方程：2x 3-x 已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点A 2 在点B的左侧，如
6、图。二次函数y=ax bx c(a*0)的图象经过点 A、B,与y轴相交于点C(1)a、c的符号之间有何关系？(2)如果线段OC的长度是线段OA OB长度的比例中项，试证 互为倒数；(3)在(2)的条件下，如果b=4,AB=4/求a、c的值。三、分类讨论思想 分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种 类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重复、不 遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何 两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学
7、生要按不同的情况 去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定 的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问 题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。具一般规则 及步骤是：(1)确定同一分类标准；(2)恰当地对全体对象进行分类，按照标准 对分类做到“既不重复又不遗漏”；(3)逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进 行；(4)综合概括小节，归纳得出结论。1.解关于 X 的方程 x2+x-2+k(x2+2x)=0 2.已知关
8、于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。（1）求证：无论 k 取何实数值，方程总有实数根；2 2）若等腰 ABC勺一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根，求 ABC的周长。a、c o 3.已知AB为。的直径，D为直径AB上一动点（D不与点A,B重合），过D作 CDLAB交。于C,过C作。的切线PC 交。的切线AM于P,连PB交CDT E。（1）请根据 D 点的不同位置画出符合题意的图形；（2）猜想CE与DE的数量关系，并就D点的某一位置证明你的结论；如果。的半径为1,设点D与圆心。的距离为m,试求PC的长（可用m的代数 式表示）。四、方程思想 分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知
9、量之间的相等关系。通过适当设 元,利用已知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题 的一种思维方式。方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（习惯上用 x 表示未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，通过解方程或不等式，或利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。1、牧场的青草,每天都生长一样快,牧场的全部青草可以供给 10 头牛吃 20 天,供给 15 头牛吃 10 天,那么供给 25 头牛可以吃几天?2、四边形ABCD寸角线相交于。点，且AABC BCD zCDA zDAB的面积分别 为 5、9、10、6,求4OAB OBC OC
10、LM/XODA勺面积.五、整体思想 整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从 而化繁为简，化难为易。把问题放到整体结构中去考虑，就可以开拓解题思路，优化解题过程。从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对 问题进行整体处理的解题思想方法。化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）时按常规方 法进行通分，显然最简公分母比较复杂，计算量较大。若从整体观察分式的特征，可逆用分式加减法法则及规律公式 1/n（n+1）=1/n-1/（n+1）,将原分式分离 变形。即原式=1/（a+2）-1/（a+3）+1/（a+3
11、）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5）六、一般到特殊和特殊到一般思想 在由几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律、性质或公式，再由一般的规律、性质或公式去得出简单的、个别的、特殊的情况。如公式推导、图形性质等。七、消元思想 解方程组的基本思想是消元，将多元逐步变为二元、一元方程来解决。八、建模思想 所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概 括地表述出来的一种数学结构，把实际应用题中的 等量关系构建在方程组的模式，或其他模式。就是 找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观 事物的空间形式和数量关系的一
12、种反映。它可以是 方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几何基 本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就 是数学模型方法。它的基本步骤如下图所示：数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学 中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型 和统计模型等等。设计一条隧道，要使高4米，宽4米的 巨型载重车辆能单向通过，隧道上的纵断面 是如图抛物线状的拱，拱宽是高的4倍，求 拱宽可以取得的最小整数值。（单位：米；/=2.236）九、类比思想 所谓类比，就是两个对象都有某些相同 的属性，并且其中一个对象还有另外的某些 属性作为前提，进而判断出另一个对象
13、也有这些属性的思维形式。一些数学问题 的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识。例如正方体有12条棱，怎么算的呢？正方体由6个正方形封闭拼成，每个正方 形4条边，共24条边，每两边重叠成一棱，于是4X6+2=12（条）。那么小 足球上有多少条短缝呢？先数清楚小足球由32块小皮缝成，其中黑的是五边 形有12块；白的是六边形有20块。总共有（5X12+6X 20）条边，两条边缝成 一条短缝，于是有（5X12+6X 20）+2=90（条）短缝。把实际问题归结为 数学问题去解决，类比思想能发挥独特的作用。十、函数思想 辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发
14、展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应 关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将 这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有 关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八 年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时，通过强调解题 第一步“当时”的依据，渗透函数的思想方法一一字母每取一个值，代数 式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量，并把这 些量用字母（习惯用x、y）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运 动、变化和对应的观
15、点，通过对函数模型的研究利用函数的性质，使问题获得解 决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化 及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中，还存在着函数关系，它们多数是用图像表示的。运动的本质，在图形的运动中找到不变量,解决问题。把一张边长为2的正方形纸片ABCDT叠,使B落在AD上（不和A B重合），MNto折痕，设AB=a。求：（1）折起部分面积；（2）折痕 MN勺长。（用a的代数式表示）十四、用字母表示数 会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。用换元法，利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等
16、。用字母表示数 的思想是数学转化思想的具体体现。在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如：设甲数为a,乙数为b,用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）（2）甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b A、一件工作，甲做a天能完成，乙做b天能完成，现在甲先做了 c大（c a）,余下的工作由乙继续完成，乙需做几天可以完成全部工作？B、已知x=4 43求x4-*2248x+23的值。1.把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各截去边长为xcm的小正方形，再将 它折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积 V关于自变量x的函数解析式，并 说明x的取值范围。2.在RtA
17、ABCZ BAC=90,AB=AC=2点D在BC上运动（不能到达 B、C）,过D作/ADE=45b,DEX AC于 E。设 BD=x AE=y 求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量取值范围。问当A ADE为等 腰三角形时，求AE的长。卜一、统计思想（如用样本估计总体的思想）用样本估计总体是统计的基本思想，要通过抽样调查，初步感受抽样的必要 性，并建立用样本估计总体的思想。十二、分解组合思想 能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样 的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为 符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决 1、2 x 因式分解：2 2 2 2xy y a _2ab b 2、将两块三角板如图放置，其中 4=/EDB=90 4=45 2E 300,求重叠部分的面积。AB=DE=6,十三、图形运动思想 初中图形运动包含平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握 然后 如会列方程解应用题，会 E B 口 E D x2 _8x 15 十五、换元思想 所谓换元思想，就是一个数学式子可其中的一部分看作一个整体，用一个中 间变量去代换，从而达到简化式子的目的。