全等三角形的性质和判定.pdf

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1、 全等三角形的性质和判定 要点一、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角 1.对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，ABC 与DEF 全等，记作ABCDEF，其中点A 和点 D，点 B 和点 E，点 C 和点 F 是对应顶点；AB 和 DE，BC 和 EF，AC 和 DF是对应边；A 和D，B 和E，C 和F 是对应角.要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等

2、；全等三角形的对应角相等.（要点四、全等三角形的判定 （SSS、SAS、ASA、AAS、HL）全等三角形判定一（SSS，SAS）全等三角形判定 1“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点诠释：如图，如果A BAB，A CAC，B CBC，则ABCA B C.要点二、全等三角形判定 2“边角边”1.全等三角形判定 2“边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.要点诠释：如图，如果 AB A B，AA，AC A C，则ABCA B C.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2.有两边和其中一边的对角对应相等，两

3、个三角形不一定全等.如图，ABC 与ABD 中，ABAB，ACAD，BB，但ABC 与ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.【典型例题】类型一、全等三角形的判定 1“边边边”1、已知：如图，RPQ 中，RPRQ，M 为 PQ 的中点 求证：RM 平分PRQ ）证明：M 为 PQ 的中点（已知），PMQM 在RPM 和RQM 中，(),RPRQPMQMRMRM已知公共边 RPMRQM（SSS）PRMQRM（全等三角形对应角相等）即 RM 平分PRQ.举一反三：【变式】已知：如图，ADBC，ACBD.试证明：CADDBC.$类型二、全等三角形的判定

4、 2“边角边”2、已知：如图，ABAD，ACAE，12 求证：BCDE 证明：12 1CAD2CAD，即BACDAE 在ABC 和ADE 中 ABADBACDAEACAE ABCADE（SAS）$BCDE（全等三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D 三点共线，ABCB，EBDB，ABCEBD90），连接 AE、CD，试确定 AE 与CD 的位置与数量关系，并证明你的结论 证明：延长 AE 交 CD 于 F，ABC 和DBE 是等腰直角三角形 ABBC，BDBE 在ABE 和CBD 中 90ABBCABECBDBEBD ABECBD（SAS）AECD，12

5、又1390，34（对顶角相等）2490，即AFC90 AECD 举一反三：【变式】已知：如图，PCAC，PBAB，AP 平分BAC，且 ABAC，点 Q 在 PA上，求证：QCQB :类型三、全等三角形判定的实际应用 4、“三月三，放风筝”下图是小明制作的风筝，他根据 DEDF，EHFH，不用度量，就知道DEHDFH请你用所学的知识证明 【答案与解析】证明：在DEH 和DFH 中，DEDFEHFHDHDH DEHDFH(SSS)DEHDFH 一、选择题 1.ABC 和A B C中，若 ABA B，BCB C，ACA C.则（）A.ABCA C B B.ABCA B C C.ABCC A B D

6、.ABCC B A 2.如图，已知 ABCD，ADBC，则下列结论中错误的是（）DC B.BD C.AC BC 3.下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等 B.三个对应角相等的两个三角形全等 C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等 D.直角三角形与锐角三角形不全等、6.如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ABCD，BCED，以下结论不正确的是（）AC AC AB DB CB 二、填空题 9.如图，在ABC 和EFD 中，ADFC，ABFE，当添加条件_时，就可得ABCEFD（SSS）10.如图，ACAD，CBDB，230，326，则CBE_.15.如图，已知 ABDC，ACDB，

7、BECE 求证：AEDE.16.全等三角形判定 3“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.要点诠释：如图，如果AA，ABA B，BB，则ABCA B C.要点二、全等三角形判定 4“角角边”1.全等三角形判定 4“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABC 和ADE 中，如果 DEBC，那么ADEB，AEDC，又AA，但ABC 和ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据

8、具体的已知条件而定，见下表：已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 、类型一、全等三角形的判定 3“角边角”1、已知：如图，E，F 在 AC 上，ADCB 且 ADCB，DB 求证：AECF 证明：ADCB AC 在ADF 与CBE 中 ACADCBDB ADFCBE（ASA）AF CE，AFEFCEEF/故得：AECF 举一反三：【变式】如图，ABCD，AFDE，BECF.求证：ABCD.类型二、全等三角形的判定 4“角角边”2、已知：如图，ABAE，ADAC，EB，DECB 求证：ADAC 证明：AB

9、AE，ADAC，CADBAE90*CADDABBAEDAB，即BACEAD 在BAC 和EAD 中 BACEADBECB=DE BACEAD（AAS）AC AD 举一反三：【变式】如图，AD 是ABC 的中线，过 C、B 分别作 AD 及 AD 的延长线的垂线 CF、BE.求证：BECF.【答案】证明：AD 为ABC 的中线 BDCD BEAD，CFAD，BEDCFD90，在BED 和CFD 中 BEDCFDBDECDFBDCD （对顶角相等）BEDCFD（AAS）BECF 3、已知：如图，AC 与 BD 交于 O 点，ABDC，ABDC（1）求证：AC 与 BD 互相平分；【（2）若过 O

10、点作直线 l，分别交 AB、DC 于 E、F 两点，求证：OEOF.证明：ABDC 在ABO 与CDO 中 AC(AOBCOD对顶角相等）AB=CD ABOCDO（AAS）AOCO，BO=DO 在AEO 和CFO 中 AC(AOECOFAO=CO对顶角相等）【AEOCFO（ASA）OEOF.一、选择题 1.能确定ABCDEF 的条件是（）AABDE，BCEF，AE BABDE，BCEF，CE CAE，ABEF，BD DAD，ABDE，BE 2如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC全等的图形是（）】图 43 A甲和乙 B乙和丙 C只有乙 D只有丙 3 AD 是ABC

11、 的角平分线，作 DEAB 于 E，DFAC 于 F，下列结论错误的是（）ADEDF BAEAF CBDCD DADEADF 4 如图，已知 MBND，MBANDC，下列条件不能判定ABMCDN 的是（）AMN BABCD CAMCN DAMCN 6如图，12，34，下面结论中错误的是（）AADCBCD BABDBAC CABOCDO DAODBOC%二、填空题 7.如 图,1 2，要 使 ABEACE，还 需 添 加 一 个 条 件是 .(填上你认为适当的一个条件即可).8.在ABC 和A B C中，A44，B67，C69，B44，且 AC B C，则这两个三角形_全等.（填“一定”或“不一

12、定”）9.已知，如图，ABCD，AFDE，AFDE，且 BE2，BC10，则 EF_.11.如图,已知：1 2,3 4,要证 BD CD,需先证AEB AEC,根据是 ，再证BDE ，根据是 12.已知:如图，BDEF，ABDE，要说明 ABC DEF，-（1）若以“ASA”为依据，还缺条件 （2）若以“AAS”为依据，还缺条件 （3）若以“SAS”为依据，还缺条件 三、解答题 13阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB 和 CD 相交于点 O，且 OAOB，AC那么AOD 与COB 全等吗若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由%答：AODCOB 证明：在AOD 和COB 中，),()

13、,(),(对顶角相等已知已知COBAODOBOACA AODCOB（ASA）问：这位同学的回答及证明过程正确吗为什么 14.已知如图，E、F 在 BD 上，且 ABCD，BFDE，AECF，求证：AC 与 BD 互相平分.15.已知：如图,ABCD,OA OD,BC 过 O 点,点 E、F 在直线 AOD 上,且 AE DF.求证：EBCF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法斜边，直角边

14、定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定“HL”1、已知：如图，ABBD，CDBD，ADBC 求证：（1）ABCD：（2）ADBC 证明：（1）ABBD，CDBD，（ABDCDB90 在 RtABD 和 RtCDB 中，ADBCBDDB RtABDRtCDB（HL）ABCD（全等三角形对应边相等）（2）由ADBCBD ADBC.举一反三：【变式】已知：如图，AEAB，BCAB，AEAB，EDAC 求证：EDAC|2、判断满足下列条

15、件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“”，全等的注明理由：（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（）（2）一个锐角和斜边对应相等；（）（3）两直角边对应相等；（）（4）一条直角边和斜边对应相等 （）举一反三：【变式】下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（）-（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（）3、已知：如图，ACBD，ADAC，BCBD 求证：ADBC；证明：连接 DC ADAC，BCBD DACCBD90 在 RtADC 与 RtBCD

16、中，DCCDACBD RtADCRtBCD（HL）ADBC.（全等三角形对应边相等）举一反三：【变式】已知，如图，AC、BD 相交于 O，ACBD，CD90.求证：OCOD.!4、如图，将等腰直角三角形 ABC 的直角顶点置于直线l上，且过 A，B 两点分别作直线l的垂线，垂足分别为 D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题 1下列说法正确的是（）A一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B斜边相等的两个直角三角形全等 C斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D一边长相等的两等腰直角三角形全等 3.能使两个直角三角形全等的条件是()A.斜边相等 B.一锐角对应相等

17、C.两锐角对应相等 D.两直角边对应相等 5.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（）A形状相同 B周长相等 C面积相等 D全等 6.在两个直角三角形中，若有一对角对应相等，一对边对应相等，则两个直角三角形（）A.一定全等 B.一定不全等 C.可能全等 D.以上都不是 二、填空题 7 如图，BE，CD 是ABC 的高，且 BDEC，判定BCDCBE 的依据是“_”8.已知，如图，AD90，BECF，ACDE，则ABC_.9.如图，BADC，A90，ABCE，BCED，则 AC_.10.如图，已知 ABBD 于 B，EDBD 于 D，ECAC，ACEC，若 DE2，AB4，则 DB_.12.如图，已知 AD 是ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于 F，且 BFAC，FDCD.则 BAD_.三、解答题 14.如图，已知 ABBC 于 B，EFAC 于 G，DFBC 于 D，BCDF.求证：ACEF.15.如图，已知 ABAC，AEAF，AEEC，AFBF，垂足分别是点E、F.求证：12.