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1、 专题 07 三角恒等变换 一、三角恒等变换问题知识框架 二、三角恒等变换方法技巧 【一】公式顺用、逆用及其变形用 1.两角和差公式：cos()cos cossin sin.cos()cos cossin sin.sin()sin coscos sin.sin()sin coscos sin.tan()tan tan 1tan tan.tan()tan tan 1tan tan（，均不等于 k2(kZ)）.1.例题【例 1】(1)计算：cos212sin212；(2)计算1tan 151tan 15_.(3)计算：tan 23tan 37 3tan 23tan 37.(4)已知 sin 45，
2、523，求 cos2和 tan 2.2.练习 【练习 1】1 3tan 753tan 75_.【练习 2】在ABC 中，AB2，且 tan Atan B 3 3tan Atan B，则角 C 的值为()A.3 B.23 C.6 D.4【练习 3】若 sin cos 13，则 sin 2=.2.二倍角公司 sin 22sin cos；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 22tan 1tan2.变形 1：降幂公式:cos221cos 2，2sin12sin2 变形 2：半角公式：（1cos 22cos2，1cos 22sin2）sin 21cos 2，cos21cos 2，
3、tan21cos 1cos sin 1cos 1cos sin 特别注意：两角和与差的正切公式有两种变形形式 tan tan tan()(1tan tan)或1tan tan tan tan tan.当 为特殊角时，常考虑使用变形形式，遇到 1 与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式.【二】拆凑角问题 1.例题【例 1】已知31)3sin(，则)6cos(的值为()A13 B.13 C.2 23 D2 23【例 2】已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点54,53P.若角 满足 sin()513，则 cos 的值为_【例 3】若1sin63，则2cos23（
4、）A13 B13 C79 D79 2.练习【练习 1】若 sin（3x）=23，则 cos（23x）=（）A79 B19 C19 D79 【三】定角缩角【例 1】已知54sin，,2,0，则cos_.【例 2】,0,2,0,534cos,1354cos，则cos_.2.练习【练习 1】已知13123sin，20，求3cos 【四】常值代换 三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”1.例题【例 1】已知02，5co
5、s()45求sin(2)3的值 2.练习【练习 1】已知 ，sin+2cos=102，则tan2=（）A34或35 B34 C34 D35【练习 2】已知2sincos0，则2sincoscos的值为（）A65 B35 C35 D65【四】辅助角公式 1.例题【例 1】已知函数()cos(2)2sin()sin()344f xxxx 常数“1”的代换:1=sin2+cos2,1=2cos2-cos 2,1=cos 2+2sin2,1=tan 4.yasin xbcos x a2b2sin(x)其中22cosbaa，22sinbab 延申探索：(1)提常数，提出 a2b2得到 yasin xbc
6、os x a2b2aa2b2 sin xba2b2cos x(2)定角度，确定一个角 满足：cos aa2b2，sin ba2b2一般 为特殊角6，4，3等，则得到 a2b2(cos sin xsin cos x)(3)化简、逆用公式得 asin xbcos x a2b2sin(x)温馨提醒 1：所在的象限由 a 和 b 的符号确定:abtan 温馨提醒 2：另法 asin xbcos x=a2b2(sin sin xcos cos x)=a2b2cos(x)这里22sinbaa，22cosbab，（batan）（）求函数()f x的最小正周期和图象的对称轴方程（）求函数()f x在区间,12
7、 2 上的值域 2.练习【练习 1】如果 sin2cos()f xxx是奇函数，则tan=.【练习 2】已知函数 f(x)xx3cos3cos，g(x)12sin 2x14.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)求函数 h(x)f(x)g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值时 x 的集合 三、课后自我检测 2若2sin43，则sin2 。7 若02，02，1cos43，3cos423，则cos2等于 。12若7 coscos2，则tan2（）18 已知tan2，则3cos2sincos22_ 23已知sin是方程25760 xx的根，是第三象限角.（1）求 233sincos22ta
8、ncossin22 的值；（2）已知 3sincos 2tan2tansin2f（），若是第三象限角，且31cos25，求 f的值.24已知关于 x 的方程 2x2(31)xm0 的两根分别是 sin 和 cos，(0,2)，求：(1)sin2sin cos cos 1tan 的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及此时 的值 专题 08 三角函数的图像和性质 一、三角函数的图像和性质知识框架 二、根据解析式研究三角函数性质 【一】化为同角同函型 1.例题【例 1】函数coscossin2yxxx的单调递增区间是（）A 32,288kk kZ B 3,88kk kZ C,44kk kZ D 2
9、,222kk kZ 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知函数1)cos(sincos2)(xxxxf，求函数)(xf的最小正周期和单调增区间；研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）的前提是用公式把已给函数化成同一个角同一种类型的三角函数形式（简称：同角同函）)sin(wxAy或)cos(wxAy，常见方法有：（1）用同角三角函数基本关系式或诱导公式将已给函数化成同函；（2）用倍角公式（升幂或降幂）将已给函数化成同角；（3）用两角和、差公式或辅助角公式wxbwxacossin将已给函数化成同函.【二】化为二次函数型 1.例题 【例 1】函数 ysin xcos xsin
10、xcos x 的值域为_ 2.巩固提升综合练习【练习 1】求函数2474sin cos4cos4cosyxxxx的最大值与最小值.三、根据图像和性质确定解析式 【一】图像型 1.例题【例1】已 知 函 数 sin0,0,f xAxA的 部 分 图 象 如 图 所 示，其 中2,1,8,1MN分别 是函数 f x的图象的一个最低点和一个最高点，则A（）研究三角函数的性质（如周期性、单调性、最值、奇偶性、对称性等）时，一般是把已给函数化成同同角同函型，但未必所有三角函数都能化成上述)sin(wxAy或)cos(wxAy的形式，有时会化简为二次函数型：cxbxay22sinsin或cxbxay22c
11、oscos，这时需要借助二次函数知识求解，但要注意xxcossin 或的取值范围.若将已给函数化简为更高次的函数，如)sin-1)(sin1(cos)sin1(22xxxxy，则换元后可通过导数求解.如：解析式中同时含有xxcossin和xxcossin，令txxcossin，由关系式xxxxtcossin21cossin22）（得到xxcossin关于t的函数表达式.对形如)0()sin()(ABwxAxf中参数的确定，应准确识别和利用题干中函数图像的信息（如周期、振幅、最值、特征点等），列出方程（组）或不等式（组），常规方法有：（1）由振幅或最值，可确定BA和;（2）由周期的值或取值范围，
12、可确定w的值或取值范围；（3）由特征点，可列出三角方程（组），可确定.（有时BA和也需特征点来确定）A.23 B.6 C.6 D.23 2.巩固提升综合练习【练习 1】函数 sinf xAx(其中0A，2)的部分图象如图所示,将函数 f x的图象（）可得 sin 24g xx的图象 A 向右平移12个长度单位 B 向左平移24个长度单位 C 向左平移12个长度单位 D 向右平移24个长度单位【二】性质型 1.例题【例 1】设函数 f（x）=06cosx，若 4fxf对任意的实数 x都成立，则 的最小值为_ 2.巩固提升综合练习 对形如)0()sin()(ABwxAxf中参数的确定，应充分挖掘题
13、干中所给的函数性质（如周期、单调性、最值、奇偶性、对称性等），列出方程（组）或不等式（组）.特别地，正弦型函数)0()sin()(ABwxAxf与最小正周期T相关的几种表述：（1）两个相邻最低（高）点的距离，即为T;（2）两个相邻对称轴的距离，即为2T;（3）两个相邻对称中心的距离，即为2T;（4）相邻对称中心与对称轴的距离，即为4T;【练习 1】若函数 3sincosf xxx的图象关于y轴对称，则的一个值为（）A 6 B 3 C 23 D 56 四、图像变换问题 1.例题【例 1】已知曲线1:cosCyx，22:sin 23Cyx，则下面结论正确的是（）A把1C上各点的横坐标伸长到原来的2
14、倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C B把1C上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C C把1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线2C D把1C上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12个单位长度，得到曲线2C【例 2】设函数，其中.已知.（）求；（）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.由xysin变换成)sin()(wxAxf的两种变换方式：
15、（1）)0(10)sin(sinwwxyxy到原来的横坐标缩短（或伸长）个单位长度（向左平移 )sin()sin()0(wxAywxyAA倍长（或缩短）到原来的横坐标不变，纵坐标伸；（2）个单位长度（向左平移到原来的横坐标缩短（或伸长）0)0(1sinsinwwwwxyxy )sin()sin()(sin)0(wxAywxwxwyAA倍长（或缩短）到原来的横坐标不变，纵坐标伸 注：两种变换方法，相位或周期变换都只针对自变量x.2.巩固提升综合练习【练习 1】函数 sinf xx（0，2）的最小正周期是，若其图象向左平移3个单位后得到的函数为奇函数，则函数 f x的图象（）A 关于点012，对称
16、 B 关于直线12x对称 C 关于点06，对称 D 关于直线6x对称【练习 2】已知函数1()2sin()3f xx，将()yf x的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向左平移1个单位，所得图象对应的函数为()g x，若函数的图象在P，Q两处的切线都与 x 轴平行，则|PQ的最小值为（）A17 B4 C4 D2 5 五、三角函数值域（最值）1.例题 求三角函数的值域（最值），通常利用正余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型：（1）bxaysin，令xtsin，则)1,1(,tbaty；（2）cxbxaycossin，引入辅助角）（abtan，化为cxbay)
17、sin(22；（3）cxbxaysinsin2，令xtsin，则)1,1(,2tcbtaty；（4）cxxbxxay）（cossincossin，令txxcossin，则xxxxtcossin21cossin22）（，所以cbttay)21(2；（5）dxcbxaycossin，根据正弦函数的有界性，既可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用数形结合法求最值.【例 1】已知函数 3sin 22sincos44fxxxx，则 fx在02x，上的最大值与最小值之差为 【例 2】函数的最小值为 【例 3】函数 sincos2sin cos,4 4f xxxxx x 的最小值是_【例 4】求函数
18、xxycos2sin2的值域 2.巩固提升综合练习【练习 1】已知的定义域为.求的最小值.【练习 2】函数 23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是 。【练习 3】求函数xxxxycossincossin的值域 七、课后自我检测 1.函数 sinf xAx(0,0,)2A的部分图象如图所示,则_；函数 f x在区间,3上的零点为_ xxxfsin22cos)(1)4(cos2)sin(cos3)(222xxxxf2,0)(xf 2.已知函数 2313cossincos2222fxxxx.（1）求函数 f x的单调递增区间；（2）已知在ABC中，,A B C的对边分别为,a b c，若
19、 1f A，2a，求ABC面积的最大值.6.已知函数，且在区间上有最小值，无最大值，则 的值为（）A B C D 7.已 知 函 数 sincosf xxax aR对 任 意xR都 满 足44fxfx，则 函 数 sing xxf x的最大值为 A 5 B 3 C 5 D 3 9已知 cos31cosxf xx,将 f x的图象向左平移6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到 g x的图象，下列关于函数 g x的说法中正确的个数为（）函数 g x的周期为2;函数 g x的值域为2 2,;函数 g x的图象关于12x 对称;函数 g x的图象关于,024对称.A1个 B2个 C3个 D4个 10.函数 ysin xcos xsin xcos x，x0，的值域为_ 12.在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知向量)23sin,23(cosAAm，)2sin,2(cosAAn，且满足|+|=3（1）求角 A的大小；（2）若+=3，试判断 的形状