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1、整式及其加减全章复习与巩固（基础）知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系.3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数 式的值推断代数式反映的规律 4理解并掌握单项式与多项式的相关概念；5理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值；6深刻体会本章体现的主要的数学思想 -整体思想 【知识网络】【要点梳理】要点一、代数式 n2 诸如：16n，2a+3b，34，（a b）2 等式子，它们都是用运算符
2、号（、乘方、开方）把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个 数或一个字母也是代数式 要点诠释：代数式的书写规范：（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“”或省略不写；（2）除法运算一般以分数的形式表示；（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式；（5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写 要点二、整式的相关概念 1单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 项式 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数（2）单项式的次数
3、是指单项式中所有字母的指数和 2多项式：几个单项式的和叫做多项式在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数（3）多项式的次数是 n 次，有 m个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m项式 3.多项式的降幂与升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母降幂排列 另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幂排列 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；（2）含有多个字
4、母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列 4整式：单项式和多项式统称为整式 要点三、整式的加减 1同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项所有的常数项都 是同类项 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：（1）“两相同”是指：所含字母相同；相同字母的指数相同；（2）“两无关”是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关 2合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不 变 3去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都 不改变；括号前面是“-”，把括
5、号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改 变 4添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括 号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变 5整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括号，合并同类项 要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.【典型例题】类型一、代数式 1（2016 春?滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 3
6、a 2b 2c（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示）（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示）【思路点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得【答案与解析】解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料 2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大 3a 2b2cabc=11abc，
7、答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大 11abc 立方厘米 【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积 是关键 举一反三：2a b【变式】2a b 的意义是(ab A.a 与 b 差的 B.a 的 2 倍与 C.a 的 2 倍与 答案】B 类型二、整式的相关概念 2指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项 式的请说出是几次几项式 举一反三：变式 1】(1)xy3 的次数与系数的和是(2)已知单项式 6x2y 的系数是等于单项式 2xmy5 的次数，则 m(3)若 manb 是关于 a、b 的一个五次单项式，且系数为 9，则-m+
8、n _ 2倍除以 a 与 b 的和 b的差除以 a 与 b 和的商 b的差除 a 与 b 的和 D.a 与 b 的 2 倍的差除以 a 与 b 和的商(1)a 3(2)5 2x(3)a2 b(4)2x y(5)3xy(6)x(7)m n(8)1+a%5 1(9)12(a b)h【答案与解析】解：整式：(1)、(2)、单项式：(2)、(5)、(6)，其中：(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)5 的系数是 5，次数是 0；3xy 的系数是 3，次数是 2；x 的系数是 1 1，次数是 1.多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：x a 3 是一次二项式；y 是一次二项式；2
9、 次二项式；1+a%是一次二项式；1 2(a b)h 是二次二项式.总结升华】分母中出现字母的式子不是整式，2 故 b 不是整式；是常数而不是字 a 母，故 x 是整式，也是单项式；(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项 式中不能有加减 m5 n 其实质为 m5 n5 21(a b)h 其实质为 12ah 12bh 答案】(1)3(2)1(3)-5 4 3 2 变式 2】多项式 2y4 y3 3y2 y 1是 _ 次 _ 项式，常数项是 _ 三次项是 _ 【答案】四，五，1，y3【变式 3】把多项式 1 3x 2x3 5x2 按 x 的降幂排列是 _ 【答案】2x3 5x2 3
10、x 1 类型三、整式的加减运算 3(2015?遵义)如果单项式 xyb+1与 xa2y3是同类项，那么(a b)2015=【答案】1【解析】解：由同类项的定义可知 a 2=1，解得 a=3，b+1=3，解得 b=2，所以(a b)2015=1【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入 求解即可 举一反三：【变式】若 7x y 与 x y 是同类项，则 a _，b _ 9【答案】5，4 2 2 2 4 计算 3x2 2(1 2x)5x2(4x2 3x 6)【答案与解析】解法 1：3x2 2(1 2x)5x2(4x2 3x 6)3x2 2 4x(5x2 4x2
11、 3x 6)3x2 4x 2 x2 3x 6 2 2x2 x 4 2 2 2 解法 2：3x2 2(1 2x)5x2(4x2 3x 6)2 2 2 3x2 2 4x 5x2(4x2 3x 6)22 2x2 4x 2 4x2 3x 6 2 2x2 x 4【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过 程中要注意符号的变化若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号 前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号 举一反三：【变式 1】下列式子中去括号错误的是()A5x(x2y5z)5xx2y5z 22 B2a(3ab)(3c2d)2a 3ab3c2
12、d C3x23(x6)3x23x6 2 2 2 2 D（x2y）（x2y2）x2yx2y2【答案】C【变式 2】化简：-2a+（2a-1）的结果是（）A -4a-1 B 4a-1 C 1 D-1【答案】D 类型四、化简求值 5.（1）直接化简代入 已知 x，y 1，求 5（2x2 y 3x）2（4x 3x2 y）的值 2（2）条件求值（烟台）若 3xm 5y2与 x3yn 的和是单项式，则 mn _ (3)整体代入 22 已知 x2-2y 1，那么 2x2-4y+3 _ 答案与解析】22 解：(1)5(2x 2y-3x)-2(4x-3x 2y)22 10 x y-15x-8x+6x y 16x
13、2y-23x 1 当 x，y-1 时，2 （2）由题意知：3x y 和 x y 是同类项，所以 m+5 3，n2，解得，m-2，n 2，所以 mn（2）2 4 （3）因为 2x2 4y 3 2（x2 2y）3，而 x2 2y 1 所以 2x2 4y 3 2 1 3 5【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之 间的联系 举一反三：【变式 1】（2015?娄底）已知 a2+2a=1，则代数式 2a2+4a 1 的值为（）A0 B 1 C 1 D 2【答案】B 2【变式 2】已知 m 2n 5，求 5（m 2n）2 6n 3m 60 的值.答案】5(m 2n)
14、2 6n 3m 60 5(m 2n)2 3(2n m)60 m 2n 2n m 5 原式 16 1 2(1)23 1 4 22 23 2 31 2 2 所以，原式=5 52 3 5 60 80 类型五、探索与表达规律 6.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕(图中虚线)继续对折，对折 时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到 7 条折痕，那么对折四次可 以得到 条折痕如果对折 n 次，可以得到 条折痕 【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折 1 次把纸分成的部分是上一次的 2 倍，折痕 比所分成的部分数少 1，求出第 4 次的折痕即可；再根据对折规律求出对折 n
15、次得到的部分数，然后减 1 即可得到折痕条数【答案】15，2n 1【解析】解：由图可知，第 1次对折，把纸分成 2部分，1条折痕，第 2 次对折，把纸分成 4 部分，3 条折痕，第 3 次对折，把纸分成 8 部分，7 条折痕，所以，第 4次对折，把纸分成 16部分，15条折痕，依此类推，第 n次对折，把纸分成 2n部分，2n-1 条折痕 故答案为：15；2n-1 【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解 题的关键 类型六、综合应用 2 2 2 2 7.已知多项式(2mx2 x2 3x 1)(5x2 4y2 3x)是否存在 m，使此多项式与 x 无 关？若不存在，说明理由；若存在，求出 m 的值.答案与解析】解：原式(2m 1 5)x2(3 3)x 4y2 1(2m 6)x2 4y2 1 要使原式与 x 无关，则需该项的系数为 0，即有 2m 6 0，所以 m 3 答：存在 m使此多项式与 x无关，此时 m 的值为 3.【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为 0.