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1、2021-2022 学年新教材人教 A 版选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 单元测试 一、选择题 1、从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件A“取到的 2 个数之和为偶数”，事件B“取到的 2 个数均为偶数”，则(|)P B A ()A.18 B.14 C.25 D.12 2、某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第 次首次测到正品，则 P(3)()A.2231344C B.2233144C C.21344 D.23144 3、某人射击一次击中目标的概率为 0.6，经过 3 次射击，设 X 表示击中目标的次数，则(2)P X等于（）81125 5
2、4125 36125 27125 4、已知随机变量 的分布列为KKP21)(，k1，2，则 P（24）等于（）A163 B 41 C161 D 51 5、设01a，则随机变量X的分布列是：X 0 a 1 P 13 13 13 则当a在（0，1）内增大时（）A D X增大 B D X减小 C D X先增大后减小 D D X先减小后增大 6、在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 为正态分布的密度曲线）的点的个数的估计值为（）A 2386 B 2718 C 3413 D 4772 7、随机变量服从正态分布4,3N，若(5)(1)papa，则实数a等于（）A 4 B 5
3、 C 6 D 7 8、已知随机变量的取值为0,1,2i i.若105P，1E，则23D（）A25 B45 C85 D165 9、设随机变量，若，则（）A.B.C.D.10、事件A在四次独立重复试验中事件出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在一次试验中出现的概率为（）A.13 B.35 C.34 D.56 11、设离散型随机变量 X 的分布列为:X-1 0 1 2 3 P 则下列各式中成立的是()A.P(X=1.5)=0 B.P(X-1)=1 C.P(X3)=1 D.P(X0)=0 12、已知随机变量X的分布列如下:()7.5E X，则ab的值是（）X 4 a 9 10
4、 P a 1.0 b 0.2 A1.8 B4.2 C2.8 D3.6 二、填空题 13、设的分布列为 0 1 p 1-p p 则 D等于_.14、已知随机变量21,N，若30.3P，则11P _ 15、已知随机变量25,5B，则52E 16、已知随机变量 服从正态分布 N（1，2），P（4）0.84，则 P（2）_ 三、解答题 17、（本小题满分 10 分）某网购平台为帮助某贫困县脱贫致富，积极组织该县农民制作当地特产腊排骨，并通过该网购平台销售，从而大大提升了该县农民的经济收入.2019年年底，某单位从通过该网购平台销售腊排骨的农户中随机抽取了100户，统计了他们2019年因制作销售腊排骨所
5、获纯利润（单位：万元）的情况，并分成以下五组：1,3、3,5、5,7、7,9、9,11，统计结果如下表所示：所获纯利润（单位：万元）1,3 3,5 5,7 7,9 9,11 农户户数 10 15 45 20 10（1）据统计分析可以认为，该县农户在该网购平台上销售腊排骨所获纯利润Z（单位：万元）近似地服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数x，2近似为样本方差222.1s.若该县有1万户农户在该网购平台上销售腊排骨，试估算所获纯利润Z在区间1.9,8.2内的户数.（每区间数据用该区间的中间值表示）（2）为答谢该县农户的积极参与，该网购平台针对参与调查的农户举行了抽奖活动，每人最多有8次抽奖机会
6、，每次抽奖的中奖率均为12.每一次抽奖，若中奖，则可继续进行下一次抽奖，若未中奖，则活动结束，每次中奖的奖金都为1024元.求参与调查的某农户所获奖金X的数学期望.参 考 数 据：若 随 机 变 量X服 从 正 态 分 布2,N，则0.6827PX ，220.9545PX.18、（本小题满分 12 分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为12，乙，丙做对的概率分别为m，n(mn)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：(1)求至少有一位学生做对该题的概率；（2)求m，n的值；（3)求的数学期望.19、（本小题满分12分）某数学老师对本校2013届
7、高三学生的高考数学成绩按1:200进行分层抽样抽取了 20 名学生的成绩，并用茎叶图记录分数如图所示，但部分数据不小心丢失，同时得到如下所示的频率分布表：分数段（分）50,70)70,90)90,110)110,130)130,150)总计 频数 b 频率 a 0.25 （1）求表中 a，b 的值及分数在90,100)范围内的学生人数，并估计 这次考试全校学生数学成绩的及格率（分数在90,150）内为及格）：（2）从成绩在100,130)范围内的学生中随机选 4 人，设其中成绩在100,110)内的人数为 X，求 X 的分布列及数学期望.20、（本小题满分 12 分）某中学校本课程开设了 A、
8、B、C、D 共 4 门选修课，每个学生必须且只能选修 1 门选修课，现有该校的甲、乙、丙 3 名学生：（）求这 3 名学生选修课所有选法的总数；（）求恰有 2 门选修课没有被这 3 名学生选择的概率；（）求 A 选修课被这 3 名学生选择的人数 的分布列.参考答案 1、答案 B 解析 2、答案 C 解析 3 表示第 3 次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是21344，本题选择 C 选项.点 睛：准 确 理 解 并 运 用 二 项 分 布 的 概 率 公 式 是 求 解 该 类 问 题 的 关 键，1n kkknP XkC pp表示在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率
9、.3、答案A 4、答案 A 解析由题给出了KKP21)(概率公式，则34113(24)(3)(4)2216PPP 考点：随机变量分布列的应用。5、答案 D 解析首先根据期望公式求得随机变量 X 的期望，之后应用方差公式求得随机变量 X 的方差，根据二次函数的性质求得结果.详解 根据题意可得011()33aaE X，222111111()(0)()(1)333333aaaD Xa 266627aa2196()2227a，所以()D X在1(0,)2a上单调减，在1(,1)2a上单调增，所以()D X是先减小后增大，故选 D.点睛 该题考查的是有关离散型随机变量方差的变化趋势，涉及到的知识点有离散
10、型随机变量的期望和方差公式，属于简单题目.6、答案 C 解析分析 根据正态分布的对称性可得求出，从而可得结果.详解 由题意，即落入阴影部分的概率为，落入阴影部分点的个数的估计值为，故选 C.点睛 本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.7、答案 C 解析随机变量 服从正态分布 N(4,3)，P(a+1)，x=a？5 与 x=a+1 关于 x=4 对称，a？5+a+1=8，2a=12
11、，a=6.本题选择 C 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法 熟记 P(X)，P(2X2)，P(3X3)的值 充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面积为 1.8、答案 C 解析设1Pp，可得1215Pp，结合 1E，可求出p，进而可求出方差 D，再结合 234DD，可求出答案.详解：由题意，设1Pp，则142155Ppp，又 142155Epp，解得35p，所以315P，125P，则 22213121 01 11 25555D，所以 82345DD.故选：C.点睛 本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基 础题.9、答案 C 解析根据正
12、态分布曲线关于 x3 对称，所以 P(X4)P(X2)p，所以 P(2X4)12p，故选 C.10、答案 A 解析设事件 A 在一次试验中发生的概率为 p，根据相互独立事件的概率可知，440046516111181813C pppp 考点：n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 11、答案 A 详解：由分布列可得,错；,错；,错；，故选 A.点睛：本题主要考查分布列的性质，属于简单题.分布列的主要性质为：所有随机变量对应概率的和为.12、答案 C 解析根据分布列中概率和为1可求得b；利用数学期望公式可构造出关于a的方程，解出a，从而可求得ab.详解 由题意得：0.30.10.21b，解得：
13、4.0b 又 4 0.30.19 0.4 10 0.27.5E Xa ，解得：7a 7 0.42.8ab 本题正确选项：C 点睛 本题考查随机变量分布列中概率的性质、数学期望的求解问题，属于基础题.13、答案2pp 14、答案0.2 解析 15、答案12 解析2()525E ，(52)5()212.EE 考点：二项分布与期望 16、答案 0.16 解 析 随 机 变 量服 从 正 态 分 布1,2N，1，2410.16ppp.17、答案（1）8186；（2）1020元.（2）设中奖次数为i，则i的可能取值为0、1、2、3、8，则181,07,210241,82iiiP Xii Z，由此利用错位
14、相减法可计算得出X的数学期望.详解：（1）由题意知：中间值 2 4 6 8 10 频率 0.1 0.15 0.45 0.2 0.1 样本的平均数为2 0.14 0.156 0.458 0.2100.16.1x ，所以26.1,2.1ZN，所以 2,1.9,8.2，而1122222PZPZPZ 10.68270.95450.81862.故1万户农户中，Z落在区间1.9,8.2内的户数约为100000.81868186；（2）设中奖次数为i，则i的可能取值为0、1、2、3、8，则181,07,210241,82iiiP Xii Z，所以 237881111110126781024222222E X
15、 .令823413222722S，89341122222627S，由得：2723498998911111111117192212222222272222271S，8912S，所以 888911181024110241020222E X（元）.所以参与调查的某农户所获奖金X的数学期望为1020元.点睛 本题考查正态分布在指定区间概率的计算，同时也考查了随机变量数学期望的计算，考查了错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于中等题.解析 18、答案解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，12P AP Bm P Cn,.（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件
16、“0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是1310144P.（2）由题意知1101124PP ABCmn，113224PP ABCmn，整理得 112mn，712mn.由mn，解得13m，14n.（3）由题意知1aPP ABCP ABCP ABC 11111111122224mnmnm n，(2)1(0)(1)(3)bPPPP=14，的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)EPPPP=1312.解析 19、答案 1.65%;2.解析（1）由茎叶图可知分数在50,70)范围内的有 2 人，在110,130)范围内的有 3 人，a=b=3；分数在70,90)内的人数 200.25=5，
17、结合茎叶图可得分数在70,80)内的人数为 2，所以分数在90,100)范围内的学生人数为 4，故数学成绩及格的学生为 13 人，所以估计这次考试全校学生数学成绩的及格率为 100%=65%.（2）由茎叶图可知分数在100,130)范围内的有 7 人，分数在100,110)范围内的有 4人，则随机变量 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.相应的概率为：P(X=1)=；P(X=2)=；P(X=3)=；P(X=4)=.随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)=1+2+3+4=20、答案（1）64.（2）.（3）见解析.（2）由已知利用排列组合知识能求出恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率（3）A 选修课被这 3 名学生选择的人数为，则 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列 详解()每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数 N=()恰有 2 门选修课这 3 名学生都没选择的概率为 ()设 A 选修课被这 3 名学生选择的人数为，则 0,1,2,3 P(0),P(1),P(2),P(3),A 选修课被这 3 名学生选择的人数 的分布列为 点睛 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列，是中档题，解题时要认真审题，注意计算原理、排列组合知识的合理运用 解析