《江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(二)(1).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(二)(1).pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 江苏省普通高校“专转本”统一考试模拟试卷（二）解析 高等数学 注意事项：1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上，写在草稿纸上无效。3.本试卷五大题 24 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项前的字母填在题后的括号内）。1、下列极限中，正确的是（）A、sin2lim2xxx B、arctanlim1xxx C、224lim2xxx D、0lim1xxx 2、设21sin,0(),0 xxf xxaxb x在0 x
2、处可导，则（）A、1,0ab B、0,ab为任意实数 C、0,0ba D、1,ab为任意实数 3、函数sinyx在区间0,上满足罗尔定理的（）A、0 B、4 C、2 D、4、设 在ba,上0)(xf，0)(xf，0)(xf，令dxxfyba)(1，)(2abbfy,abbfafy)()(213，则有（）A、321yyy B、312yyy C、213yyy D、132yyy 5、两个非零向量a与b垂直的充分必要条件是（）A、0ba B、0ba 2 C、0ab D、0aa 6、下列级数发散的是（）A、1(1)ln(1)nnn B、131nnn C、11(1)3nnn D、13nnn 二、填空题（本
3、大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、已知()g x为有界函数，1()sin,0(),0gx xf xxax 0 x 处连续，则a 8、已知0(23)(23)(2)1,limhfhfhfh则=_ 9、2xyxe，则 0y 10、定积分14211ln11xxxdxx的值为 11、微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为_ 12、设22sin2zxyxy，则(1,)2dz_ 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。13、考查11sin()xxf xex的连续性，若有间断点，判别类型。3 14、设函数)(xyy 由方程 1)c
4、os(2exyeyx 所确定，求0|xdxdy。15、求不定积分6d(1)xx x。16、设1sin,0()20,0 xxf xxx或，求xdttfx0)()(在),(内的表达式。17、求过点)2,1,3(A且通过直线43:521xyzL的平面方程。4 18、将函数)54ln()(xxf展开为2x的幂级数，并指出其收敛域。19、设22,xyzf xy e，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。20、计算积分yxDe dxdy，其中2:,2Dyxyx由所围成的区域。5 四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）21、设()f x在0,1上连续，且0()1f x。证明：在0,1上至少
5、存在一个使()f。22、设)(xf在0 x 的邻域内有二阶连续导数，且0)0(f，0,0)0(0,)()(xfxxxfxg；证明：)(xg在0 x 处可导。五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23、分析函数xxey的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。6 24、在曲线lnyx上,1e点处作切线l,（1）求由曲线切线、曲线本身及x轴所围的图形面积。（2）求上述所围图形绕x轴旋转所得立体的体积。江苏省 2012 年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析（二）高等数学 7 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请把所选项
6、前的字母填在题后的括号内）。1、下列极限中，正确的是（）A、sin2lim2xxx B、arctanlim1xxx C、224lim2xxx D、0lim1xxx 解析：求极限时，先判断极限类型，若是00或型可以直接使用罗比达法则，其余类型可以转化为00或型。罗比达法则求极限的好处主要有两方面，一是通过求导降阶，二是通过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式。不过，在求极限时应灵活使用多种方法，特别是无穷小量或是无穷大量阶的比较，无穷小量与有界变量的乘积还是无穷小量等性质。使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为幂的形式，方便判别阶数。0limln00lim1xxxxxxee
7、，故本题答案选 D 2、设21sin,0(),0 xxf xxaxb x在0 x 处可导，则（）A、1,0ab B、0,ab为任意实数 C、0,0ba D、1,ab为任意实数 解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照导数定义讨论即可。00()(0)(0)limlimxxf xfaxfaxx 2001sin()(0)(0)limlimxxxbf xfxfxx ，因为左、右导数应相等，易知0,0ba；故本题答案选 C 3、函数sinyx在区间0,上满足罗尔定理的（）A、0 B、4 C、2 D、解析：熟记罗尔定理、拉
8、格朗日定理的条件与结论及其几何解释，本题答案选 C 8 4、设 在ba,上0)(xf，0)(xf，0)(xf，令dxxfyba)(1，)(2abbfy,abbfafy)()(213，则有（）A、321yyy B、312yyy C、213yyy D、132yyy 解析：本题利用导数考查曲线的形态，定积分的几何意义曲边梯形的面积（代数和）。比较图形面积即可知本题答案选 B 5、两个非零向量a与b垂直的充分必要条件是（）A、0ba B、0ba C、0ab D、0aa 解析：本题考查向量平行与垂直的充要条件，本题答案选 A 6、下列级数发散的是（）A、1(1)ln(1)nnn B、131nnn C、1
9、1(1)3nnn D、13nnn 解析：该题考察级数的收敛性质、级数收敛的必要条件，（交错）P级数等。故本题答案选 B，因为该选项破坏级数收敛的必要条件。记住11:pnn当1p 时收敛，1p 时发散。交错1(1):npnn当1p 时绝对收敛，01p时条件收敛，0p 时发散。二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 24 分，请把正确答案的结果添在划线上）。7、已知()g x为有界函数，1()sin,0(),0gx xf xxax 0 x 处连续，则a 9 解析：因为001lim()lim()sin0(0)xxf xgxfx，又(0)fa，故0a。8、已知0(23)(23)(2)1,l
10、imhfhfhfh则=_ 解析：该题考察导数定义 0000()()()limhf xhf xfxh或0000()()()limhf xhf xfxh；式子当中的h应当理解为中间变量，看成文字。该题答案6 9、2xyxe，则 0y 解析：222xxyexe，21 2xyex 221 22xxyex e，244xyex ，(0)4y。10、定积分14211ln11xxxdxx的值为 解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质以及定积分的几何意义。00,()()2(),()aaaf xf x dxf x dx f x为奇函数为偶函数 14211142111ln111ln1012xxxdxx
11、xxdxx dxx 这里因为函数41()ln1xf xxx是奇函数，故积分为零，积分1211x dx表示上半单位圆的面积。11、微分方程232xyyyxe的特解y的形式应为_ 解析：解微分方程首先要判别类型，该方程是二阶常系数线性非齐次方程。（1）齐次方程0ypyqy，其中,p q为常数。求解步骤：1）特征方程 02qp，求根21,。2）21,互异实根，xxececy2121，21，xxxececy2121；10 )0(2,1i，12(cossin)xyecxcx。（2）非齐次方程()ypyqyf x，通解为其所对应的齐次方程通解加上本身特解y。第一种：()xmf xe Px，其中 mPx表示
12、m次多项式。解结构：y 齐次方程通解y特解y。特解y形式设定如下：（1）识别,m；（2）考查作为特征根的重数个数k；（3）特解可设为 kxmyxx e Qx，其中 mQx表示m次多项式。0,1,2,k不是特征根；是单根；是二重根；第二种：()cossinxmnf xePxxP xx，其中 mPx，nP x表示,m n次多项式。解结构：y 齐次方程通解y特解y。特解y形式设定如下：（1）识别,m n；（2）计算i，k和特征根12,相等个数，max,lm n。（3）特解可设为 cossinkxllyxx eQxxQxx，其中 ,llQ xQ x为l次多项式。其中01iki，不是特征根；，是特征根；
13、故本题答案为 2()xx AxB e，其中,A B待定系数。12、设22sin2zxyxy，则(1,)2dz_ 解析：该题考察多元函数的全微分 若(,)zf x y可微，则(,)(,)xydzfx y dxfx y dy，00(,)0000(,)(,)xyxydzfxy dxfxy dy 本题中，(2sin 2)(22 cos2)dzxy dxyxy dy 11 (1,)22(2)dzdxdy 三、计算题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）。13、考查11sin()xxf xex的连续性，若有间断点，判别类型。解析：函数()f x在0 x处连续的定义为00lim()()xxf
14、xf x。实际上包含三个条件（1）函数()f x在0 x处必须有定义；（2）函数()f x在0 x处的极限存在；（3）函数()f x在0 x处的极限值必须等于函数值；当上述三个条件不全满足时的点即为函数()f x的间断点。而初等函数在定义区间之内均是连续的，所以，没有定义的点一定是间断点，分段函数的分段点是可能的间断点。根据点0 x处的极限情况来加以分类：相等：可去间断点左右极限均存在：第一类不相等：跳跃间断点若有一个为：无穷间断点左右极限至少有一个不存在：第二类均不为无穷，函数不停振荡：振荡间断点根据以上分析，本题间断点为1x，0 111 01 0(1 0)lim()sin(1)lim0 x
15、xxff xe ，111 01 0(10)lim()sin(1)limxxxff xe 。即1x为第类无穷间断点。又 10lim()xf xe，0 x 为可去间断点。故11sin()xxf xex的连续区间为 ,00,11,。14、设函数)(xyy 由方程 1)cos(2exyeyx 所确定，求0|xdxdy。解析：隐函数的导数是常考的一个内容，它的本质实际上是复合函数的导数问题。一般隐函数很难甚至不可能显化。其求导方法是方程（等式）两边对x求导数，将y看成x的函数（中间变量）。方程1)cos(2exyeyx两边对x求导，得 0)(sin()2(2yxyxyyeyx 12)sin()sin(2
16、22xyxexyyedxdyyxyx 将0 x代入原方程得1y，于是得到2|0 xdxdy。15、求不定积分6d(1)xx x。解析：该题使用凑微分法，当次数超过 4 次的有理分式，一般不用将其分解成简单分式之和来积分，原因有二个，首先分解较困难，其次，待定系数较多，不太容易确定。)1(d61)1(d)1(d6666656xxxxxxxxxx =666d)111(61xxx=Cxx1ln6166 16、设1sin,0()20,0 xxf xxx或，求xdttfx0)()(在),(内的表达式。解析：变上限积分的计算，首先弄清楚变量t与x的关系，t为积分变量，对t积分时，将x当作常量，注意分段函数
17、的积分要分区间考虑。00)(,00 xdtxx 0110,()sin(1 cos)22xxxtdtx 01,()sin012xxxtdtdt 综上 0,01()(1 cos),021,xxxxx 另外，变上限积分的求导公式，对于很多同学可能会觉得不容易记牢。（几乎每年必考）在记忆时不彷考虑牛顿莱布尼兹公式辅助记忆()()()()()()()()b xb xa xa xf t dtF tF b xF a x()()()()()()()()()b xa xf t dtF b xF a xf b x b xf a x a x 21224224()(sin)sin(1)(1)sin()sin(1)2
18、sinxxxt dtxxxxxxx 13 17、求过点)2,1,3(A且通过直线43:521xyzL的平面方程。解析：求平面方程，基本方法是使用点法式。求出平面上的一个定点和法向量n。平面上的定点)2,1,3(A已知，又直线12354:zyxL过点0,3,4 B，其方向向量法向量5,2,1s，2,4,1AB；故 5218,9,22142ijknsAB 平面的方程为0)2(22)1(9)3(8zyx 即为0592298zyx。18、将函数)54ln()(xxf展开为2x的幂级数，并指出其收敛域。解析：将函数()f x展开为x或0()xx的幂级数，并指出其收敛域的方法，前面已祥述，这里不再赘述。)
19、2(341ln3ln3)2(4ln)(xxxf 41145,)2(34)1(3ln1xnxnn 19、设22,xyzf xy e，其中),(vuf有二阶连续偏导数，求xz、yxz2。解析：该题型是几乎每年必考。需要认真掌握。第一步：变量zyx,的关系网络图 12xyzxy 其中 1，2 分别表示22,xyxye 第二步：寻找与x对应的路径，计算的过程可以总结为“路中用乘，路间用加”2121xyuffex，14 2221112212222111222222222()2xyxyxyxyzfyfefyfex yy ffeyef 20、计算积分yxDe dxdy，其中2:,2Dyxyx由所围成的区域。
20、解析：二重积分问题是很多“专转本”同学的难点。首先要理解二重积分的几何意义，特别是对称型简化积分计算。首先要画出积分区域，然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的坐标以及适当的积分顺序。一般当被积函数形如22()f xy，区域形状为圆形、圆环、扇形（环）等，往往使用极坐标计算；否则，往往用直角坐标计算。2220d dddyyxxxxDex yxey 220()dxx eex 21e 四、证明题（每小题 9 分，共 18 分）21、设()f x在0,1上连续，且0()1f x。证明：在0,1上至少存在一个使()f。解析：遇到至少存在一点的问题，通常使用介质定理，零点定理。还有罗尔定理和拉格朗
21、日中值定理。这种问题一般逆向思维构造辅助函数。令)()(xfxxF 则)(xF在 1,0上连续,且0)0()0(fF 0)1(1)1(fF 0)0(F或0)1(F成立,那么就相应地有0或 1 否则可假设(0)0F0)1(F,则由闭区间上的连续函数零点定理可知,在)1,0(上存在一点,使0)(F,即()f；综上所述,得到题设结论。22、设)(xf在0 x 的邻域内有二阶连续导数，且0)0(f，0,0)0(0,)()(xfxxxfxg；证明：)(xg在0 x 处可导。15 解析：分段函数在分段点处的极限、连续性与可导性，若分段点的左右两侧的表达式互不相同，则必须使用定义左右分别讨论。本题只需按照导
22、数定义讨论即可。020000()(0)(0)lim()(0)()(0)limlim()(0)()(0)limlim222hhhhhg hgghf hff hfhhhhfhffhfh 故)(xg在0 x 处可导，且(0)(0)2fg。五、综合题（每小题 10 分，共 20 分）23、分析函数xxey的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。解析：该题考察导数的综合应用，一般列表处理。（1）定义域为Rx，渐近线：因01limlimlimxxxxxxeexxe 0y，即x轴为水平渐近线（2）(1)xyx e 1(1)(1)(2)xxxyexexe ，由0y 得1x，由0y 得2x （3）列表分析 （4）
23、xxey在)1,(上单调上升向上凸，)2,1(上单调下降，向上凸，),2(上单调下降，向上凸，（1，1e）为极大值点，（2，22e）为拐点。24、在曲线lnyx上,1e点处作切线l,x)1,(1)2,1(2),2(y y y 极大值 11ye 拐点 222ye 16（1）求由曲线切线、曲线本身及x轴所围的图形面积。（2）求上述所围图形绕x轴旋转所得立体的体积。解析：该类题型是定积分应用中常考的题型，但是近两年在该知识点常出综合题。结合切线（法线）、微分方程，极限等知识点出题。(1)eeykxy1)(,1，故切线为)(11exey 或 exy 12100122yyeeSeey dyye，(2)2201()(ln)eexVdxxdxe3201211ln2 ln3eeexxxxxdxex 12ln3eeexdx222(1)3eee)31(2e。