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1、 1 2013 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案 一、选择题:18 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、设cos1sin()xxx，()2x,当0 x 时，()x（)(A）比x高阶的无穷小 (B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x是等价无穷小【答案】(C）【考点】同阶无穷小【难易度】【详解】cos1sin()xxx，21cos12xx 21sin()2xxx，即1sin()2xx 当0 x 时，()0 x，sin()()xx 1()2xx，即()x与x同阶但不等
2、价的无穷小，故选(C）.2、已知()yf x由方程cos()ln1xyyx确定，则2lim ()1nn fn（）（A）2 （B）1 （C)1 (D)2【答案】（A）【考点】导数的概念;隐函数的导数【难易度】【详解】当0 x 时,1y.002()12(2)1(2)(0)lim ()1limlim2lim2(0)12nnxxffxfxfnn ffnxxn 方程cos()ln1xyyx两边同时对x求导,得 1sin()()10 xyyxyyy 将0 x,1y 代入计算，得 (0)(0)1yf 2 所以,2lim ()12nn fn，选（A）。3、设sin0,)()2,2 xf x,0()()xF x
3、f t dt,则（）（A）x为()F x的跳跃间断点 （B)x为()F x的可去间断点（C）()F x在x处连续不可导 （D）()F x在x处可导【答案】（C）【考点】初等函数的连续性；导数的概念【难易度】【详解】2002(0)sinsinsin2Ftdttdttdt，(0)2F，(0)(0)FF，()F x在x处连续。00()()()lim0 xxf t dtf t dtFx,00()()()lim2xxf t dtf t dtFx,()()FF,故()F x在x处不可导。选(C）.4、设函数1111(1)()1lnxexf xxexx，若反常积分1()f x dx收敛，则()（A）2 （B
4、)2 （C）20 (D）02【答案】（D）【考点】无穷限的反常积分【难易度】【详解】11()()()eef x dxf x dxf x dx 由1()f x dx收敛可知，1()ef x dx与()ef x dx均收敛。1111()(1)eef x dxdxx，1x 是瑕点，因为111(1)edxx收敛，所以1 12 3 111()(ln)lneeef x dxdxxxx,要使其收敛，则0 所以，02,选 D.5、设()yzf xyx，其中函数f可微，则xzzy xy（）（A）2()yfxy （B)2()yfxy （C)2()f xyx （D）2()f xyx【答案】（A）【考点】多元函数的偏
5、导数【难易度】【详解】22()()zyyf xyfxyxxx,1()()zf xyyfxyyx 221()()()()xzzxyyf xyfxyf xyyfxyyxyyxxx 11()()()()2()f xyyfxyf xyyfxyyfxyxx，故选(A).6、设kD是圆域22(,)1Dx y xy位于第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyx dxdy k,则（）（A）10I (B）20I （C）30I （D）40I 【答案】(B)【考点】二重积分的性质；二重积分的计算【难易度】【详解】根据对称性可知，130II.22()0DIyx dxdy（0yx），44()0DIyx dxd
6、y（0yx）因此，选 B。7、设 A、B、C 均为 n 阶矩阵,若 AB=C，且 B 可逆，则（）(A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价 4（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D)矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价【答案】（B）【考点】等价向量组【难易度】【详解】将矩阵A、C按列分块，1(,)nA，1(,)nC 由于ABC,故111111(,)(,)nnnnnnbbbb 即1111111,nnnnnnnbbbb 即 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示.由于 B 可逆，故1ACB,A 的列向量
7、组可由 C 的列向量组线性表示，故选（B）。8、矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件是（）（A）0,2ab(B）0,ab为任意常数（C）2,0ab（D）2,ab 为任意常数【答案】（B）【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条件【难易度】【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值。由20000000b的特征值为 2,b，0 可知，矩阵1111aAabaa的特征值也是 2，b，0。因此，221111220224011020aaEAababaaaaa 0a 5 将0a 代入可知,矩阵10100101Ab的特征值为 2，b,0.此时，两矩阵相似,与b的
8、取值无关，故选（B）.二、填空题：914 小题，每小题 4 分,共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.9、10ln(1)lim(2)xxxx .【答案】12e【考点】两个重要极限【难易度】【详解】011ln(1)1ln(1)1ln(1)1ln(1)1(1)(1)lim(1)000ln(1)ln(1)lim(2)lim1(1)limxxxxxxxxxxxxxxxxxxeexx 其中，20000111ln(1)ln(1)11lim(1)limlimlim22(1)2xxxxxxxxxxxxxxx 故原式=12e 10、设函数1()1xtf xe dt,则()yf x的反函数1()xfy在0y
9、 处的导数0ydxdy .【答案】111e【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导数【难易度】【详解】由题意可知，(1)0f 6 10111()111xxyxdydxdxdxfxedxdydydyee.11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为cos3()66r，则L所围平面图形的面积是 .【答案】12【考点】定积分的几何应用-平面图形的面积【难易度】【详解】面积622666000611cos61sin6()cos 3()222612Srddd 12、曲线2arctan,ln 1xtyt上对应于1t 点处的法线方程为 .【答案】ln204yx【考点】由参数方程所确定的函数的导数【难易度】【详解
10、】由题意可知，1222211(1)22/11/1ttdydy dtttdxdx dtt,故11tdydx 曲线对应于1t 点处的法线斜率为111k。当1t 时，4x，ln2y.法线方程为ln2()4yx，即ln204yx.13、已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3个解，则该方程满足条件00 xy,01xy的解为y .【答案】32xxxyeexe 7【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方程【难易度】【详解】312xxyyee，23xyye是对应齐次微分方程的解。由分析知，*2xyxe 是非齐次微分方程的特解.故原方程的通解为3212()
11、xxxxyC eeC exe，12,C C为任意常数。由00 xy，01xy可得 11C，20C.通解为32xxxyeexe.14、设()ijAa是 3 阶非零矩阵，A为 A 的行列式，ijA为ija的代数余子式，若 0(,1,2,3)ijijaAi j,则A 。【答案】1【考点】伴随矩阵【难易度】【详解】*0TTijijijijaAAaAAAAAAA E 等式两边取行列式得230AAA或1A 当0A 时，00TAAA(与已知矛盾)所以1A 。三、解答题：1523 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分 10 分)当0 x 时
12、，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n和a的值.【考点】等价无穷小；洛必达法则【难易度】【详解】00cos6cos4cos2111 coscos2cos34limlimnnxxxxxxxxaxax 1003cos6cos4cos26sin64sin 42sin 2limlim44nnxxxxxxxxaxanx 8 2036cos616cos44cos2lim4(1)nxxxxan nx 故20n，即2n 时,上式极限存在。当2n 时，由题意得 001 coscos2cos336cos616cos44cos236 164limlim188nxxxxxxxxaxaa 7a 2
13、,7na 16、(本题满分 10 分)设 D 是由曲线13yx，直线xa(0)a 及x轴所围成的平面图形，xV,yV分别是 D 绕 x 轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV,求a的值。【考点】旋转体的体积【难易度】【详解】根据题意，15523330033()55aaxVxdxxa 1773330066277aayVx x dxxa。因10yxVV，故753363107 775aaa.17、(本题满分 10 分)设平面区域 D 由直线3xy，3yx，8xy围成，求2Dx dxdy 【考点】利用直角坐标计算二重积分【难易度】【详解】根据题意 3286yxxxyy,16328xyxyxy
14、 故23682220233xxxxDx dxdydxx dydxx dy264340228132416()12833333xxx 9 18、（本题满分 10 分）设奇函数()f x在 1,1上具有二阶导数，且(1)1f，证明：（）存在(0,1)，使得()1f;（）存在(1,1)，使得()()1ff.【考点】罗尔定理【难易度】【详解】（）由于()f x在 1,1上为奇函数，故(0)0f 令()()F xf xx，则()F x在0,1上连续，在(0,1)上可导，且(1)(1)10Ff，(0)(0)00Ff.由罗尔定理,存在(0,1)，使得()0F,即()1f。（）考虑()()1()()()xxxx
15、fxfxefxfxee fxe ()0 xxe fxe 令()()xxg xe fxe，由于()f x是奇函数，所以()fx是偶函数,由(）的结论可知,()()1ff,()()0gg.由罗尔定理可知，存在(1,1)，使得()0g，即()()1ff.19、（本题满分 10 分)求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.【考点】拉格朗日乘数法【难易度】【详解】设(,)M x y为曲线上一点,该点到坐标原点的距离为22dxy 构造拉格朗日函数 2233(1)Fxyxxyy 由22332(3)02(3)010 xyFxxyFyyxFxxyy 得 11xy 10 点(1,1
16、)到原点的距离为22112d，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，它们到原点的距离都是 1。因此，曲线上点到坐标原点的最长距离为2,最短距离为 1.20、（本题满分 11 分)设函数1()lnf xxx（）求()f x的最小值；（)设数列 nx满足11ln1nnxx，证明limnnx存在，并求此极限.【考点】函数的极值；单调有界准则【难易度】【详解】（)由题意，1()lnf xxx，0 x 22111()xfxxxx 令()0fx，得唯一驻点1x 当01x时，()0fx；当1x 时,()0fx.所以1x 是()f x的极小值点，即最小值点，最小值为(1)1f.（)由（)知1ln1nnxx
17、，又由已知11ln1nnxx，可知111nnxx，即1nnxx 故数列 nx单调递增。又由11ln1nnxx,故ln10nnxxe,所以数列 nx有上界。所以limnnx存在，设为 A.在11ln1nnxx两边取极限得 1ln1AA 在1ln1nnxx两边取极限得 1ln1AA 11 所以1ln11AAA 即lim1nnx。21、（本题满分 11 分）设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe满足(）求L的弧长；(）设 D 是由曲线L，直线1x,xe及 x 轴所围平面图形，求 D 的形心的横坐标.【考点】定积分的几何应用平面曲线的弧长；定积分的物理应用-形心【难易度】【详解】（）设弧长为S
18、，由弧长的计算公式，得 222211111111111()1()1()()222222eeeeSydxxdxxdxxdxxxx 221111111()(ln)22424eeexdxxxx(）由形心的计算公式，得 22111ln242100111ln24210011(ln)4211(ln)42exxDexxDxdxdyxxx dxdxxdyxdxdyxx dxdxdy 422423311111()3(23)16164221114(7)12122eeeeeee。22、(本题满分 11 分)设110aA，011Bb，当,a b为何值时，存在矩阵 C 使得ACCAB，并求所有矩阵C.【考点】非齐次线性
19、方程组有解的充分必要条件【难易度】【详解】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设1234xxCxx。由ACCAB可得 12 12123434101011011xxxxaxxxxbb 整理后可得方程组2312413423011xaxaxaaxxxxxaxb 由于矩阵 C 存在，故方程组有解。对的增广矩阵进行初等行变换：01001011110111101010001001011101010000101000000000aaaaaaaaabbb 方程组有解，故10a，0b，即1a ，0b。当1a ，0b 时，增广矩阵变为10111011000000000000 34,x x为自由变量，令341,
20、0 xx，代入相应齐次方程组,得211,1xx 令340,1xx，代入相应齐次方程组，得210,1xx 故1(1,1,1,0)T，2(1,0,0,1)T,令340,0 xx，得特解(1,0,0,0)T 方程组的通解为1 12212112(1,)Txkkkkk k k(12,k k为任意常数）所以121121kkkCkk.23、(本题满分 11 分）设二次型21231 122331 12233(,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x，记123aaa,123bbb（）证明二次型 f 对应的矩阵为2TT;（）若,正交且均为单位向量，证明 f 在正交变换下的标准形为22122y
21、y【考点】二次型的矩阵表示；用正交变换化二次型为标准形；矩阵的秩 13【难易度】【详解】（）证明：21231 122331 12233(,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x 1111123212321232123233332(,)(,)(,)(,)axbxx x xaa a axx x xbb b bxaxbx 112323(,)(2)TTTxx x xxx Axx，其中2TTA 所以二次型 f 对应的矩阵为2TT.（)由于,正交,故0TT 因,均为单位向量，故1T，即1T。同理1T 2(2)22TTTTTTAA 由于0，故 A 有特征值12。(2)TTA，由于0，故 A 有特征值21 又因为()(2)(2)()()()1 123TTTTTTr Arrrrr ，所以0A,故30。三阶矩阵 A 的特征值为 2，1，0.因此，f 在正交变换下的标准形为22122yy。