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1、学必求其心得，业必贵于专精 -1-章末复习提升课 函数的定义域和值域 （1）函数f(x)错误!(3x1）0的定义域是(）A.错误!B。错误!C。错误!D。错误!错误!(2)已知函数yf（x1)的定义域是2，3,则yf（2x1)的定义域是（）A。错误!B 1,4 学必求其心得，业必贵于专精 -2-C 5,5 D3，7(3）求下列函数的值域：y错误!；yx4错误!；y错误!2x，x错误!.【解】（1）选 D。由题意得，错误!解得x1 且x错误!。（2)选 A.设ux1，由2x3，得1x14，所以yf（u）的定义域为1，4 再由12x14，解得 0 x错误!，即函数yf(2x1)的定义域是错误!.（
2、3）y错误!错误!2错误!,显然错误!0，所以y2。故函数的值域为（,2）(2，）设t错误!0，则x1t2,所以原函数可化为y1t24t(t2）25（t0），所以y5，所以原函数的值域为（，5 因为y错误!2x在错误!上为减函数，所以ymin错误!2错误!1.ymax错误!2(2）错误!.学必求其心得，业必贵于专精 -3-所以函数的值域为错误!。错误!求函数定义域的类型与方法(1）已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义(3）复合函数问题：若f（x）的定义域为a,b，f（g（x）)的定义域应由a
3、g(x)b解出；若f（g(x）的定义域为 a，b，则f(x）的定义域为g(x)在a,b上的值域 注意（1）f（x）中的x与f(g（x）)中的g(x）地位相同(2)定义域所指永远是自变量的范围 1设函数f（x)的定义域为1，5，则函数f(2x3)的定义域为（）A 2，4 B3，11 C3，7 D1，5 学必求其心得，业必贵于专精 -4-解析：选 A。由题意得，12x35，解得 2x4，所以函数f（2x3)的定义域是2，4 2设函数f（x)2x24x在区间m,n上的值域是6，2，则mn的取值范围是_ 解析：由题意可得：函数f（x）2x24x的对称轴为直线x1，故当x1 时,函数取得最大值为 2.因
4、为函数的值域是6，2,令2x24x6，可得x1 或x3。所以1m1,1n3，所以 0mn4。即mn的取值范围为0,4 答案：0，4 函数的解析式 (1)已知f(x1）x25x4，则f(x)_(2)已知函数f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x0 时，f(x）x22x3.求出函数f（x）在 R 上的解析式；写出函数的单调区间（写出即可，不需要证明)【解】(1)令x1t，则xt1,因为f(x1)x25x4，学必求其心得，业必贵于专精 -5-所以f（t）（t1）25(t1）4t27t10,所以f（x）x27x10.故填x27x10。（2)设x0，则x0，所以f(x）(x)22（x)3x22x3.又因
5、为f（x)是定义在 R 上的奇函数，所以f(x)f（x）,所以f(x)x22x3。又因为f(0)0，所以f（x）错误!画出函数f(x）错误!的图象，如图：由图象可知函数f(x）的单调递增区间为(，1，1,)，单调递减区间为1，0)，(0，1 错误!求函数解析式的题型与相应的解法 学必求其心得，业必贵于专精 -6-（1)已知形如f（g（x)的解析式求f（x)的解析式,使用换元法或配凑法(2）已知函数的类型（往往是一次函数或二次函数），使用待定系数法（3)含f(x）与f(x)或f(x）与f错误!，使用解方程组法(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法 1已知二次函数f(x
6、）满足f(0）1，f(1）2，f(2)5，则该二次函数的解析式为_ 解析:设二次函数的解析式为f（x)ax2bxc(a0）,由题意得c1，abc2，4a2bc5，解得错误!故f(x）x21.答案：f（x）x21 2若 3f(x1）2f(1x）2x，则f（x)的解析式为 _ 解析：令tx1，则xt1，tR，原式变为 3f（t）2f(t）2(t1).以t代替t,式变为 3f(t)2f（t）2(1t）。学必求其心得，业必贵于专精 -7-由消去f（t)得f（t)2t错误!,故f（x)2x错误!.答案：f(x)2x错误!函数的单调性和奇偶性 已知f（x)错误!（xa)(1）若a2，试证明f（x）在（，2
7、）内单调递增；(2）若a0 且f（x)在（1，）内单调递减,求a的取值范围【解】（1)证明:x1x22，则f(x1)f(x2）x1x12错误!错误!.因为(x12)（x22)0，x1x20，所以f(x1）0，x2x10，所以要使f(x1）f（x2)0，学必求其心得，业必贵于专精 -8-只需（x1a)（x2a）0 恒成立,所以a1.综上所述,a的取值范围是(0，1 错误!函数单调性与奇偶性应用的常见题型(1）用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性（2）利用函数的单调性和奇偶性求单调区间（3）利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式(4）利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围 1（2019张家界
8、检测）已知函数yf（x)是 R 上的偶函数，且在（，0上是增函数,若f(a）f(2），则实数a的取值范围是（)Aa2 Ba2 C2a2 Da2 或a2 解析：选 D。因为yf(x）是偶函数，且在(，0上是增函数，所以yf（x)在0，）上是减函数，由f(a)f（2），得f(a|)f（2)，所以a2，得a2 或a2，故选 D。学必求其心得，业必贵于专精 -9-2已知函数f(x)错误!是 R 上的增函数，求a的取值范围 解：因为f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以f(x）需满足在区间（，1和（1，)上都是单调递增的，并且端点处(x1）的函数值12a5错误!，即a3；f(x）x2ax5 的对称轴为
9、直线x错误!，f(x）在(，1上单调递增，所以错误!1，即a2；f（x）错误!在(1，）上单调递增，所以a0，k0）对称：yf(x）错误!yf(x）；yf(x）错误!yf(x)；yf（x)错误!yf(x）1已知函数yax2bxc，如果abc且abc0，则它的图象可能是(）解析：选 D.因为abc且abc0,所以a0，c0,f(1）学必求其心得，业必贵于专精 -11-0,则可知开口向上，排除 A、C，然后根据f(0)c0,可知函数图象与y轴的交点在x轴下方 2 已知f(x)为定义在 R 上的奇函数，且f(x）f（2x），当x0，1时,f（x）x.求x3，5时，f（x)错误!的所有解的和 解：当x
10、1，0时，x0,1，所以f(x)x.又因为f（x)为奇函数，所以x1，0时,f（x）f(x)x，即x1，1时，f（x）x.又由f(x)f(2x)可得f（x)的图象关于直线x1 对称由此可得f(x)在3，5上的图象如图：在同一坐标系内画出y错误!的图象，由图可知在3，5上共有四个交点，所以f(x)12在3，5上共有四个解，从左到右记为x1，x2,x3,x4，则x1与x4，x2与x3关于直线x1 对称，学必求其心得，业必贵于专精 -12-所以错误!1，错误!1,所以x1x2x3x44。函数的应用 某工厂有 214 名工人,现要生产 1 500 件产品，每件产品由 3个A型零件和1个B型零件配套组成
11、,每名工人加工5个A型零件与3 个B型零件所需的时间相同 现将全部工人分成两组，分别加工A型零件与B型零件,且同时开工设加工A型零件的工人有x名，单位时间内每名工人加工A型零件 5k(kN*)个，加工完A型零件所需的时间为g(x），加工完B型零件所需的时间为h（x）（1）试比较g（x）与h(x)的大小，并写出完成总任务所需时间的表达式；(2)怎样分组才能使完成总任务所需的时间最少？【解】(1)由已知A型零件需要生产 4 500 个,B型零件需要生产 1 500 个，加工B型零件的工人有（214x）名，单位时间内每名工人加工B型零件 3k个 所以g(x）错误!错误!，h（x）错误!错误!.则g（
12、x)h(x）错误!错误!错误!错误!。学必求其心得，业必贵于专精 -13-因为 0 x214,且xN,kN，所以当 0 x137 时，g（x)h（x)，当 137x214 时，g(x)h(x）所以f（x）错误!其中xN。(2）因为当 0 x137 时，f（x)为减函数,当 137x214 时，f（x)为增函数，且错误!错误!错误!错误!1，所以当x137 时f(x）的值最小，即安排 137 名工人加工A型零件,77 名工人加工B型零件时，完成总任务所需时间最少 错误!解应用题的基本步骤(1)审题:读懂题意,分清条件与结论，理顺数量关系；(2)建模：将已知条件转化为数学语言，应用数学知识建立相应
13、的函数模型；(3）解模：求解函数模型，得到数学结论；(4)还原:将数学方面的结论还原到实际问题中去，解释实际意义 某企业生产一种机器的固定成本为 0.5万元，但每生产1 百台机器时，又需可变成本(即另增加投入）0。25 万元市场对此商品的年需求量为 5 百台，销售的收入(单位：万元)函数为F（x）学必求其心得，业必贵于专精 -14-5x错误!x2(0 x5），其中x是产品生产的数量(单位:百台)(1)将利润表示为产量的函数；（2)年产量是多少时，企业所得利润最大？解：（1）设利润函数为G(x），成本函数为R（x),则依题意，得G（x)F(x）R(x）错误!（0。50.25x)0.5x24.75x0。5(0 x5)(2)因为由（1)知利润函数G(x）0。5x24。75x0。5(0 x5)，所以当x错误!4.75 时，G（x）有最大值，所以年产量为 475 台时，企业所得利润最大