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1、第 6 节 双曲线的方程与性质 知 识 梳 理 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1，F2(|F1F2|2c0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距其数学表达式：集合 PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中 a，c 为常数且 a0，c0：(1)若 ac 时，则集合 P 为空集 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图 形 性 质 范围 xa 或 xa，yR xR，ya 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 A1(a，
2、0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线 ybax yabx 离心率 eca，e(1，)实虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|2a；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c 的关系 c2a2b2 1双曲线中的几个常用结论(1)焦点到渐近线的距离为 b.(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线(3)双曲线为等轴双曲线双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.(5)过双曲线焦点F1的弦 AB 与双曲线交在同
3、支上，则 AB 与另一个焦点 F2构成的ABF2的周长为 4a2|AB|.2 已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2y2b20 就是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程 诊 断 自 测 1判断下列说法的正误(1)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点 F1(0，4)，F2(0，4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线()(3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(4)双曲线x2m2y2n2(m0，n0，0)的
4、渐近线方程是x2m2y2n20，即xmyn0.()(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)解析(1)因为|MF1|MF2|8|F1F2|，表示的轨迹为两条射线(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部(3)当 m0，n0 时表示焦点在 x 轴上的双曲线，而 m0，n0 时则表示焦点在 y 轴上的双曲线 2(2019浙江卷)渐近线方程为 xy0 的双曲线的离心率是()A.22 B1 C.2 D2 答案 C 解析 由题意可得ba1，e1b2a2 112 2.故选 C.3(2021宁波期末)双曲线y24x291 的渐近线方程是()Ay2
5、3x By32x Cy94x Dy49x 答案 A 解析 双曲线y24x291 的渐近线方程为y24x290，即 y23x，故选 A.4设双曲线x29y2b21(b0)的焦点为 F1，F2，P 为该双曲线上的一点，若|PF1|5，则|PF2|_ 答案 11 解析 2a6|PF2|11.5(选修 21P62A6 改编)经过点 A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_ 答案 x28y281 解析 设双曲线的方程为：x2y2(0)，把点 A(3，1)代入，得 8，故所求方程为x28y281.6(2021杭州质检)若双曲线 M：x2y2m1 的离心率小于 2，则 m 的取值范围是_；若
6、m2，双曲线 M 的渐近线方程为 _ 答案(0，1)y 2x 解析 由题意得双曲线的半焦距 c 1m，则双曲线的离心率 ec1 1m，则由 1 1m 2，得 0m1.当 m2 时，双曲线 M 的方程为 x2y221，则渐近线方程为 x2y220，即 y 2x.考点一 双曲线的定义及其应用【例 1】(1)(2021北京朝阳区质检)已知圆 C1：(x3)2y21 和圆 C2：(x3)2y29，动圆 M 同时与圆 C1及圆 C2相外切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为_(2)(2021浙江教育绿色评价联盟适考)已知点 M 为双曲线 x2y281 左支上一动点，右焦点为 F，点 N(0，6)，则该双曲线的
7、离心率为_；|MN|MF|的最小值为_ 答案(1)x2y281(x1)(2)3 23 5 解析(1)如图所示，设动圆 M 与圆 C1及圆 C2分别外切于 A 和 B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点 M 到两定点 C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2的距离大，与C1的距离小)，其中 a1，c3，则 b28.故点 M 的轨迹方程为 x2y281(x1)(2)由双曲线的标
8、准方程，得 a21，b28，c2a2b29，则离心率 eca3；取双曲线的左焦点 F，由双曲线的定义，得|MN|MF|MN|(2a|MF|)2(|MN|MF|)2|NF|23 5.感悟升华“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用(2)技巧：经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|PF2|的联系 提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点 距离之差的绝对值2a|F1F2|.焦点所在坐标轴的位置【训练 1】(1)如果双曲线x24y2121 上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么点P 到它的左焦点
9、的距离是()A4 B12 C4 或 12 D不确定(2)(2021北仑中学模拟)若过双曲线x216y291 左焦点 F1的弦 AB 长为 6，则ABF2(F2为右焦点)的周长是()A12 B14 C22 D28 答案(1)C(2)D 解析(1)由双曲线方程，得 a2，c4.设 F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF1|PF2|2a，|PF1|PF2|2a84，|PF1|12 或|PF1|4.(2)因为|AF2|AF1|8，|BF2|BF1|8，所以|AF2|BF2|16|AB|22，所以ABF2(F2为右焦点)的周长 C|AF2|BF2|AB|22628，故选 D.考点二
10、双曲线的方程【例 2】(1)(2021温州中学模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x2y231 有公共的渐近线，且经过点 P(2，3)，则双曲线 C 的方程为_(2)(2021绍兴调测)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1和 d2，且 d1d26，则双曲线的方程为()A.x24y2121 B.x212y241 C.x23y291 D.x29y231 答案(1)x23y291(2)C 解析(1)双曲线 C 与双曲线 x2y231 有公共的渐近
11、线，设双曲线 C 的方程为 x2y23(0)，双曲线 C 经过点 P(2，3)，413，双曲线 C的方程为x23y291.(2)由 d1d26，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为 3，所以 b3.因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 2，所以ca2，所以a2b2a24，所以a29a24，解得 a23，所以双曲线的方程为x23y291，故选 C.感悟升华 用待定系数法求双曲线方程的步骤：(1)作判断：根据条件判断双曲线的焦点在 x 轴上，还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，b0)；(3
12、)找关系：根据已知条件，建立关于 a，b，c 的方程组；(4)得方程，解方程组，将解代入所设方程，即为所求【训练 2】(1)已知双曲线 C1，C2的顶点重合，C1的方程为x24y21，若 C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2 倍，则 C2的方程为_(2)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线方程为 y52x，且与椭圆x212y231 有公共焦点，则 C 的方程为()A.x28y2101 B.x24y251 C.x25y241 D.x24y231 答案(1)x24y241(2)B 解析(1)因为 C1的方程为x24y21，所以 C1的一条渐近线的斜率 k112
13、，所以C2的一条渐近线的斜率 k21，因为双曲线 C1，C2的顶点重合，即焦点都在 x 轴上，设 C2的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以 ab2，所以 C2的方程为x24y241.(2)由题设知ba52，又由椭圆x212y231 与双曲线有公共焦点，易知 a2b2c29，由解得 a2，b 5，则双曲线 C 的方程为x24y251.考点三 双曲线的几何性质 【例 3】(1)(2019全国卷)已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点若F1AAB，F1BF2B0，则 C 的离心率为_(2)(2
14、020全国卷)设 O 为坐标原点，直线 xa 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线分别交于 D，E 两点若ODE 的面积为 8，则 C 的焦距的最小值为()A4 B8 C16 D32 答案(1)2(2)B 解析(1)因为F1BF2B0，所以 F1BF2B，如图 所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因为F1AAB，所以点 A 为 F1B 的中点，又点 O 为 F1F2的中点，所以 OABF2，所以 F1BOA，因为直线 OA，OB 为双曲线 C 的两条渐近线，所以 tanBF1Oab，tanBOF2ba.因为 tanBOF2tan(2BF1O
15、)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率eca2.(2)不妨设 D 位于第一象限，双曲线的渐近线方程为 ybax，分别与 xa 联立，可得 D(a，b)，E(a，b)，则|DE|2b.SODE12a|DE|12a2bab8，c2a2b22ab16.当且仅当 ab2 2时，等号成立 c2的最小值为 16，c 的最小值为 4，C 的焦距的最小值为 248.感悟升华(1)双曲线x2my2n1(mn0)的渐近线方程为x2my2n0；以 mxny0为渐近线的双曲线方程可设为(mx)2(ny)2(0)(2)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率
16、，在双曲线x2a2y2b21(a0，b0)中，离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 kba满足关系式 e21k2；(3)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c2a2和 eca转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围【训练 3】(1)(2021北京谷平区质量监控)设双曲线 C 经过点(4，3)，且与x24y291 具有相同渐近线，则 C 的方程为_；离心率为_(2)(2018北京卷)已知椭圆 M：x2a2y2b21(ab0)，双曲线 N：x2m2y2n21(m0，n0)若双曲线 N 的两条渐近线
17、与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_；双曲线 N 的离心率为_ 答案(1)x212y2271 132(2)31 2 解析(1)双曲线 C 经过点(4，3)，且与x24y291 具有相同渐近线，设双曲线C 的方程为x24y29(0)，把点(4，3)代入，得 41，解得 3，双曲线C 的方程为x212y2271.双曲线的离心率为3912132.(2)设椭圆的右焦点为 F(c，0)，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A，由题意可知 Ac2，3c2，则|AF|OA|OF|c，|AF|3c，c 3c2a，ca 31，椭圆 M 的
18、离心率为 31.双曲线的渐近线过点 Ac2，3c2，渐近线方程为 y 3x，nm 3，故双曲线的离心率 e双m2n2m22.基础巩固题组 一、选择题 1(2021杭州质检)双曲线x24y21 的离心率为()A.52 B.5 C.32 D.3 答案 A 解析 由题意得双曲线x24y21 的离心率 eca1b2a211452，故选A.2(2021山水联盟考试)双曲线 C 的方程为 2x2y21，则()A实轴长为 2，焦点坐标(0，3)，(0，3)B实轴长为 2，焦点坐标0，62，0，62 C实轴长为 2，焦点坐标(3，0)，(3，0)D实轴长为 2，焦点坐标62，0，62，0 答案 D 解析 因为
19、双曲线的标准方程为x212y21，所以实轴长 2a222 2.因为 a212，b21，所以 c2a2b232，所以 c62，所以焦点坐标为62，0，故选D.3(2021绍兴适考)双曲线x23y21 的焦点到渐近线的距离是()A1 B.2 C.3 D2 答案 A 解析 由题意知双曲线的渐近线方程为 x 3y0，则焦点(2，0)到渐近线的距离 d21（3）21.故选 A.4(2021龙湾中学检测)已知动点 P 满足|（x 5）2y2（x 5）2y2|4，则点 P 的轨迹是()A双曲线 B椭圆 C抛物线 D圆 答案 A 解析 由题意得点 P 到点(5，0)，(5，0)的距离之差的绝对值为 42 5，
20、所以动点 P 的轨迹为双曲线，故选A.5(2021浙江十校联盟联考)已知双曲线的上、下焦点分别为 F1(0，3)，F2(0，3)，P 是双曲线上一点且|PF1|PF2|4，则双曲线的标准方程为()A.x24y251 B.x25y241 C.y24x251 D.y25x241 答案 C 解析 因为双曲线的焦点分别为 F1(0，3)，F2(0，3)，所以 c3.又因为|PF1|PF2|2a4，所以 a2，则 b2c2a25，则双曲线的标准方程为y24x251，故选 C.6(2021湖州中学质检一)已知双曲线 C 的离心率 e2，其中一个焦点的坐标为(0，2)，则双曲线 C 的标准方程是()Ax2y
21、231 Bx2y251 Cy2x251 Dy2x231 答案 D 解析 由题意得双曲线的焦点在 y 轴上，且 c2，离心率 eca2，则 a1，所以 b2c2a23，则双曲线 C 的标准方程为 y2x231，故选 D.7(2020浙江卷)已知点 O(0，0)，A(2，0)，B(2，0)设点 P 满足|PA|PB|2，且 P 为函数 y34x2图象上的点，则|OP|()A.222 B.4 105 C.7 D.10 答案 D 解析 由题意，知点 P 的轨迹是以 2 为实轴长，4 为焦距的双曲线的一支，对应的方程为 x2y231(x0)函数 y3 4x2可转化为 x2y294(y0)联立，解得 x1
22、32，y323，即 P132，323，如图 因此，|OP|x2y2134274 10.故选 D.8(一题多解)(2020全国卷)设双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 5.P 是 C 上一点，且 F1PF2P.若PF1F2的面积为 4，则 a()A1 B2 C4 D8 答案 A 解析 法一 设|PF1|m，|PF2|n，P 为双曲线右支上一点，则 SPF1F212mn4，mn2a，m2n24c2，又 eca 5，所以 a1.法二 由题意得，SPF1F2b2tan 454，得 b24，又c2a25，c2b2a2，所以 a1.二、填空题 9(2021
23、名校仿真训练一)双曲线x24y21 的焦距是_，渐近线方程是_ 答案 2 5 y12x 解析 双曲线x24y21 的焦距为 2 412 5，渐近线方程为x24y20，即 y12x.10(2020北京卷)已知双曲线 C：x26y231，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其渐近线的距离是_ 答案(3，0)3 解析 由x26y231，得 c2a2b29，解得 c3，又焦点在 x 轴上，所以双曲线C 的右焦点坐标为(3，0)双曲线的一条渐近线方程为 y36x，即 x 2y0，所以焦点(3，0)到渐近线的距离为 d312（2）2 3.11(2021金华十校模拟)若双曲线x2ay21 的一个渐近线方
24、程是 x2y0，则 a_；离心率是 _ 答案 4 52 解析 由题意得双曲线x2ay21 的渐近线为 x ay0，则a2，解得 a4，则 c 41 5，所以双曲线的离心率e52.12(2021浙江名师预测二)在等腰ABC 中，CACB，ADBC，且 cos C35，则过点 C，且以 A，D 两点为焦点的双曲线的离心率为_ 答案 2 解析 由题意可知 tan C43，不妨设 CD3，则 AD4，AC5，故双曲线的离心率 eADACCD2.13(2021金华十校期末调研)已知双曲线x2a2y2b21(ab0)的离心率是 3，左、右焦点分别是F1，F2，过点 F2且与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A
25、，B 两点，则其渐近线方程是_，AF1F2_ 答案 y 2x 6 解析 因为双曲线的离心率 e 3ca，所以不妨取 a1，则 c 3，b 2，所以其渐近线方程为ybax 2x.因为 ABx 轴，所以|AF2|b2a2.因为|F1F2|2 3，所以 tan AF1F2|AF2|F1F2|33，所以AF1F26.14(2020全国卷)已知 F 为双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，A 为 C的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x 轴若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为_ 答案 2 解析 设 B(c，yB)，由题意知 yB0，因为 B 为双曲线 C：x2a2y2b
26、21 上的点，所以c2a2y2Bb21，所以 y2Bb4a2，则 yBb2a.因为 AB 的斜率为 3，所以b2aca3，则 b23ac3a2.所以 c2a23ac3a2，所以 c23ac2a20，解得 ca(舍去)或 c2a.所以 C 的离心率 eca2.能力提升题组 15(2021湖州期末质检)已知双曲线x216y241 的左、右焦点分别为 F1，F2，过点 F2的直线 l 交双曲线的右支于 P，Q 两点若 PQ 的长为 5，则PQF1的周长是()A13 B18 C21 D26 答案 D 解析 因为点P，Q为过点F2的直线与双曲线的交点，则|PF1|PF2|QF1|QF2|2a8，则|PF
27、1|PF2|QF1|QF2|PF1|QF1|PQ|PF1|QF1|516，所以|PF1|QF1|21，则PQF1的周长为|PF1|QF1|PQ|26，故选 D.16(2021温州适考)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)，其右焦点 F 的坐标为(c，0)，点 A 是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O 为坐标原点，满足|OA|c2a，线段 AF 交双曲线于点 M.若 M 为 AF 的中点，则双曲线的离心率为()A.2 B2 C.2 33 D.43 答案 C 解析 由题意可得双曲线的一条渐近线方程为 ybax，因为点 A 是第一象限内双曲线渐近线上的一点，且|OA|c2a，所以点 Ac，bc
28、a.又点 F(c，0)，所以点 Mc，bc2a，将点 M 代入双曲线方程x2a2y2b21 化简得到3c24a21，所以双曲线的离心率 eca2 33，故选 C.17(2021台州期末评估)已知双曲线 C 的离心率 e2 33，过焦点 F 作双曲线 C的一条渐近线的垂线，垂足为 M，直线 MF 交另一条渐近线于点 N，则|MF|NF|()A2 B.12 C.32 D.2 33 答案 B 解析 由双曲线的对称性设点 F 为双曲线的左焦点，渐近线 OM 的方程为 ybax，渐近线 ON 的方程为 ybax，则直线 FN 的方程为 yab(xc)，分别与两渐近线方程联立解得 yMabca2b2，yN
29、abca2b2.因为双曲线的离心率 e1b2a22 33，所以 a23b2，则|MF|NF|yM|yN|a2b2a2b212，故选 B.18(2021杭州市质检)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点为 F1，F2，P为该双曲线上一点，且 2|PF1|3|PF2|，若F1PF260，则该双曲线的离心率为_，渐近线方程为_ 答案 7 y 6x 解析 因为点 P 为双曲线上一点，所以|PF1|PF2|2a.又因为 2|PF1|3|PF2|，所以|PF1|6a，|PF2|4a.在PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos F1PF2，即(
30、2c)2(6a)2(4a)226a4acos 60，化简得 c 7a，则 b c2a2 6a，所以双曲线的离心率 eca 7，渐近线的方程为 ybax 6x.19从双曲线x23y251 的左焦点 F 引圆 x2y23 的切线交双曲线右支于点P，T为切点，M 为线段 FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO|MT|_ 答案 5 3 解析 设双曲线的右焦点为 F，连接 PF，OT，O 为 FF的中点，M 为 PF 的中点，MO 为PFF的中位线，且|MO|12|PF|，|FM|12|PF|，又|MT|FM|FT|12|PF|FT|，|MO|MT|12(|PF|PF|)|FT|FT|a.又 a 3，|FT|OF|23 5，|MO|MT|5 3.20(2016浙江卷)设双曲线 x2y231 的左、右焦点分别为 F1，F2，若点 P 在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_ 答案(2 7，8)解析 如图，由已知可得 a1，b 3，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设点 P 在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，结合实际意义需满足（m2）2m242，42（m2）2m2，解得1 7m3，又|PF1|PF2|2m2，2 72m28.