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1、 1990 年普通高等学校招生全国统一考试 数学理工农医类 一、选择题:在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内 (3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于 (4)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (5)(A)-2,4(B)-2,0,4(C)-2,0,2,4(D)-4,-2,0,4 (7)如果直线y=ax2与直线y=3xb关于直线yx对称,那么 (C)a=3,b=-2(D)a=3,b=6 (A)圆(B)椭圆(C)双曲线的一支(D)抛物线 (B)(2,3)(C)(2,3)
2、(D)(x,y)y=x+1 (11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于 (A)90(B)60(C)45(D)30 (12)h0.设命题甲为:两个实数a,b满足ab2h;命题乙为:两个实数a,b满足a 1h且b-1h.那么(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件(B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件(C)甲是乙的充分条件(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 (13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边 A,B可以不相邻,那么不同的排法共有(A)24种(B)60种(C)90种(D)1
3、20种(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C与C关于原点对称,那么C所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2)(B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2)二、填空题:把答案填在题中横线上.(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 (18)an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列,如 果 Sn是 an 的 前 n 项 的 和,那 (19
4、)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 (20)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,假设E、F分别为AB、AC 的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两局部,那么V1:V2 三、解答题.7(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是 12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度 数.(24)设a0,在复数集C中解方程z2+2za.n2.()如
5、果f(x)当x(-,1时有意义,求a的取值范围;()如果a(0,1,证明2f(x)0,方程变为x22x=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;()令x0时,方程有负根 x=1-.()令x=0,方程变为0=a.由此可知:当a=0时,方程有零解x=0;当a0时,方程无零解.所以,原方程的实数解是:当a=0时,z=0;.情形2.假设x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为 -y2+2y=a.()令y0,方程变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a.由此可知:当a1时,方程无实根.当a1时解方程得 y=1,从而,当a=0时,方程有
6、正根 y=2;当0a1时,方程有正根 y=1.()令y1时,方程无实根.当a1时解方程得 y=-1,从而,当a=0时,方程有负根 y=-2;当0a1时,方程有负根 y=-1 所以,原方程的纯虚数解是:当a=0时,z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.解法二:设z=x+yi代入原方程得 于是原方程等价于方程组 由式得y=0或x=0.由此可见,假设原方程有解,那么其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.情形1.假设y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,式化为 x2+2x=a.即|x|2+2x=a.解方程得 ,所以,原方程的实数解是 .情形2.假设x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查
7、y0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y0).此时,式化为 -y2+2y=a.即-y2 +2y=a.当a=0时,因y0,解方程得y=2,即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=2i.当0a1时,解方程得 ,即当01时,方程无实根,所以这时原方程无纯虚数解.解法三:因为z2=-2z+a是实数,所以假设原方程有解,那么其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y0).情形1.假设z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.情形2.假设z=yi(y0).以下同解法一或解法二中的情形2.解法四:设z=r(cos+isin),其中r0,00时,方程无解.所以,当a=0时,原方程有解z=0;当a0时,原
8、方程无零解.考查r0的情形.()当k=0,2时,对应的复数是z=r.因cos2=1,故式化为 r2+2r=a.由此可知:当a=0时,方程无正根;当a0时,方程有正根.所以,当a0时,原方程有解.()当k=1,3时,对应的复数是z=ri.因cos2=-1,故式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a,由此可知:当a1时,方程无实根,从而无正根;.从而,当a=0时,方程有正根 r=2;.所以,当a=0时,原方程有解z=2i;当01时,原方程无纯虚数解.(25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题的能力.解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是 其中ab0待定,0b0待定.
9、,设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,那么 其中-byb.由此得 ,由此可得 b=1,a=2.所求椭圆的直角坐标方程是 (26)此题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.()解:f(x)当x(-,1时有意义的条件是 1+2x+(n-1)x+nxa0 x(-,1,n2,上都是增函数,在(-,1上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值 也就是a的取值范围为 ()证法一:2f(x)f(2x)a(0,1,x0.即 1+2x+(n-1)x+nxa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa a(0,1,x0.现用数学归纳法证明式.A先证明当n=2时式成立.假
10、设0a1,x0,那么 (1+2xa)2=1+22xa+22xa22(1+22x)2(1+22xa).假设a=1,x0,因为12x,所以 因而当n=2时式成立.B假设当n=k(k2)时式成立,即有 1+2x+(k-1)x+kxa2k1+22x+(k-1)2xa a(0,1,x0,那么,当a(0,1,x0时 (1+2x+kx)+(k+1)xa2 =(1+2x+kx)2+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 k(1+22x+k2x)+2(1+2x+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2 =k(1+22x+k2x)+21(k+1)xa+22x(k+1)xa+2kx(k+1)xa+(
11、k+1)2xa2k(1+22x+k2x)+1+(k+1)2xa2+22x+(k+1)2xa2+k2x+(k+1)2xa2+(k+1)2xa2 =(k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa2 (k+1)1+22x+k2x+(k+1)2xa,这就是说,当n=k+1时式也成立.根据(A),(B)可知,式对任何n2(nN)都成立.即有 2f(x)f(2x)a(0,1,x0.证法二:只需证明n2时 因为 其中等号当且仅当a1=a2=an时成立.利用上面结果知,当a=1,x0时,因12x,所以有 1+2x+(n-1)x+nx2n1+22x+(n-1)2x+n2x.当0a1,x0时,因a2a,所以有 1+2x+(n-1)x+nxa2 n1+22x+(n-1)2x+n2xa2n1+22x+(n-1)2x+n2xa.即有 2f(x)f(2x)a(0,1,x0.