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1、三角函数的诱导公式 北京市东城区教师研修中心 雷晓莉 一、内容及内容解析（一）内容 三角函数的诱导公式（二）内容解析 1.公式的背景分析：三角函数是刻画周期现象的数学模型，正弦函数、余弦函数是一对起源于圆周运动，密切配合的周期函数，它们是解析几何学和周期函数的分析学中最为基本和重要的函数.三角函数的教学重点是三角函数的图象与性质，无论是同角三角函数之间的关系，还是诱导公式，以及三角函数的图象和性质，包括后面研究的“三角变换”，其实都在研究三角函数所具有的性质.诱导公式是圆周运动（周期性）和圆几何性质（对称性）的代数表示，因此匀速圆周运动是研究三角函数性质的一个非常好的载体.研究匀速旋转最本质、
2、最简单的是研究单位圆上的点（x，y）随旋转角的变化而变化的规律，即研究x和y作为旋转角的函数.其实cosx，siny是单位圆的自然动态解析描述.诱导公式就是利用单位圆和三角函数的定义来描述.诱导公式可以把任意角的三角函数化为锐角三角函数，但是随着计算器的普及，上述意义不是很大.诱导公式的教学价值主要体现在主要是三角函数的基本性质乃是圆的几何性质（主要是其对称性质）的代数解析表示；其次诱导公式深刻体现出数形结合思想，体现了三角函数之间的内部联系，是定义的延伸与应用，为学生认识任意角三角函数既是一个起源于圆周运动的周期函数又是研究现实世界中周期变化现象的“最有表现力的函数”做好准备，在本章中起着承
3、上启下的作用.综上，利用圆的对称性探索诱导公式是本单元的重点.2.公式的系统性、结构性分析 公式一是圆周期性的反映，公式二、三、四、五、六是圆对称性的反映.公式一、二、三、四左右两边是同名三角函数，公式五、六是把正弦转化为余弦，余弦转化为正弦.公式二、三、四之间没有先后顺序，公式五是学生初中熟悉的公式，但初中阶段角局限在锐角范围内.公式六可由公式四和公式五推导得到.在六组诱导公式中，可以用某两组诱导公式推导出另外的诱导公式，这种关系实际上是角的终边对称关系的“合成”表现为公式之间的相互推导关系.但公式之间的互推不是本节教学的重点.3.公式教学设计的分析 课本将这一部分内容的教学分为两节课，第一
4、节课：探究出诱导公式二、三、四，然后分析公式的特征和功能，并进行简单的应用；第二节课：探究出诱导公式五、六，然后分析公式的特征和功能，并进行简单的应用考虑到公式的系统性、结构性，也考虑到探究过程整体性，在教学中可以调整为这样两节课：第一节：集中探索公式并分析公式的特征、功能和联系；第二节：例题、习题处理，对公式进行简单应用 二、目标和目标的解析（一）教学目标 1经历用单位圆，特别是利用圆的对称性探索得到五组诱导公式的过程，体会诱导公式是圆的几何性质的解析表述；2能说出六组诱导公式的特征、功能，了解它们之间的内在联系；3能根据具体问题选择恰当的诱导公式解决三角函数的求值、化简问题.（二）教学目标
5、的解析：1.这是一个过程目标，也是第一节课的主要目标，主要让学生体会如何利用单位圆，特别是利用圆的对称性探究三角函数诱导公式.研究公式的思路、方法是需要学生领悟、体会的.2.这是第一节课的知识目标，要求学生能够写出六组诱导公式，能说出这六组诱导公式的区别以及各自的作用，并结合推导的过程利用对称性记住六组诱导公式.对于诱导公式之间的联系学生只是通过具体的例子了解由两组诱导公式可以推导出另外的诱导公式.3.这是第二节课的知识目标，要求学生能根据所给角的形式，选择合适的诱导公式进行化简；给一个任意角，学生能根据角的特征，把角表示成2()kkZ，2的形式，并根据角表示的形式选择合适的公式把任意角的三角
6、函数值转化为锐角三角函数值，并形成解任意角三角函数值的基本策略.三、教学问题诊断分析 由于学生刚学完弧度制和三角函数，对三角函数背景、本质的认识还不到位，学生很难理解到圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，很难提出研究问题的方法.公式五的推导比前几组公式的推导对学生来说，困难一些，其原因有两个：第一，直角坐标系中关于直线yx对称的两个点之间的关系.即点1(,)P x y与点2(,)P y x关于直线yx对称是学生不太熟悉的，要自觉地用于推导诱导公式则更困难；第二，角的终边与角的终边关于直线yx对称，那么2的结论也是学生不易想到的.由上述分析可知，发现圆的几何性质（特别是对称性）与三
7、角函数性质的联系是教学的第一个难点；诱导公式五的推导是教学的第二个难点.突破难点的办法是用研究方法统领各组诱导公式，突出诱导公式是圆的对称性的几何表示.可以有一个范例，在范例的基础上引导学生概括研究方法，并进一步提出问题、探索发现.包括诱导公式五，也可以用相同的思路进行，学生给出的方法也许没有教材中的简单，但是体现了研究的连续性.四、教学过程的设计 第一节 三角函数诱导公式（一）复习回顾 问题 1.请同学们回忆一下，终边相同的角的同一三角函数值之间有什么关系？我们是如何研究的？这一组公式体现了三角函数的什么性质？设计意图：通过对终边相同的角的同一三角函数值之间关系及研究方法的回忆，使学生明确单
8、位圆和三角函数的定义在研究三角函数性质上所起的作用.师生活动结果：终边相同的角的同一三角函数的值相等.即 研究方法：利用单位圆和三角函数的定义.这一组公式体现了三角函数是以圆周运动为模型的周期函数.（二）探究公式 圆除了具有周期性以外，圆还具有很好的对称性，今天我们就利用圆的这种对称性来研sinsin(2),kcoscos(2),(Z)kk tantan(2).k 公式一 究三角函数的性质.第一环节：师生共同探究诱导公式三 问题 2.角的终边与角的终边有什么关系？它们的终边与单位圆交点的坐标有什么关系？它们的同一三角函数之间又有什么关系？同一三角函数之间的关系又体现了三角函数的什么性质？设计意
9、图：学生在教师的引导下，通过对四个问题的探索得出终边关于x轴对称的角的同一三角函数值之间的关系，体会研究问题的思路以及圆的对称性与三角函数性质的关系.师生活动结果：角的终边与角的终边关于x轴对称，角的终边与单位圆的交点坐标为(,)P x y，则角的 终边与单位圆的交点坐标为(,)P xy，根据定义可得：siny，cosx，tanyx；sin()y，cos()x，tan()yx.所以有如下公式：sin()sin,cos()cos,tan()tan.从上述式子可知正弦、正切是奇函数，余弦是偶函数.问题 3.上述公式的研究思路如何概括？研究运用的思想和工具各是什么?设计意图：让学生从具体的实例中归纳
10、概括公式的研究思路、思想和工具，为继续探究公式做好铺垫.师生活动结果：思路：角的关系终边关系坐标关系三角函数值关系.思想：圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系，即数形结合的思想.工具：单位圆.第二环节：学生分组探究诱导公式二、四、五、六 问题 4.请用上述研究思路探究以下面角的三角函数值之间的关系，并把研究结果填在o x y PP 下表中.第一小组：研究角与角的三角函数值关系；第二小组：研究角与角的三角函数值关系；第三小组：研究角与角2的三角函数值关系；第四小组：研究角与角2的三角函数值关系.设计意图：让学生类比公式三的研究思路，研究其余的四组公式，提高学生研究的能力.公式三的角的
11、终边是关于原点中心对称的，公式四的角的终边是关于y轴对称的，这两组学生 研究并不困难；公式五的两个角的和是2，公式六的两个角的差是2，这两个公式学生可以利用全等得出角的终边与单位圆交点的坐标，进而可以得出同一三角函数值之间的关系.学生小组活动成果：通过上述研究我们得到如下公式：公式二（角与角）公式三（角与角）公式四（角与角）sin()sin,cos()cos,tan()tan.sin()sin,cos()cos.tan()tan.sin()sin,cos()cos,tan()tan.公式五（角与角2）公式六（角与角2）角的关系 终边关系 坐标关系 三角函数值关系 角与角 角与角 角与角2 角与
12、角2 sin()cos,2cos()sin.2 sin()cos2，cos()sin2.这六组公式叫做诱导公式.问题 4.你是怎样确定角的终边与单位圆交点的坐标的？在上述研究过程中，单位圆有什么作用？设计意图：让学生体会圆的几何性质（特别是对称性）与三角函数性质的联系.问题 5.进一步研究上述公式，大家还有其他的方法推导或者证明公式吗？设计意图：目的是让学生用推理的方法发现公式，体会公式与公式之间的联系.师生活动成果：把公式二中的用替换时，结合公式三可以得到公式四；把公式中五的用替换时，结合公式三可以得到公式六.等 第三环节：对诱导公式的再认识 问题 6.根据上述探索过程，你认为诱导公式与圆的
13、对称性之间有什么关系？怎样记忆这些公式？类似地你还能提出什么问题？如何解决。设计意图：让学生进一步理解诱导公式的本质，熟练研究方法，自由拓展诱导公式.师生活动成果：1.诱导公式是圆性质的代数表示，公式一是圆周期性的反映，公式二、三、四、五、六是圆对称性的反映.2.公式一、二、三、四与公式五、六的区别与记忆方法.（1）区别 公式一、二、三、四左右两边是同名三角函数，公式五、六是把正弦转化为余弦，余弦转化为正弦.我们可以把它归纳为：2()kkZ，的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.2的正弦（余弦）函数值，分别等于的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把看成锐角时原函
14、数值的符号.上述两条可以用通俗的语言表示成“奇变偶不变，符号看象限”.（2）记忆方法 利用对称性加定义的方式回忆诱导公式，通过图形的对称性来形象记忆.问题 7.上述六组公式的作用是什么？设计意图：分析六组诱导公式的特征，得出六组诱导公式的作用，并形成求角的三角函数值的基本思路，为求值、化简做好思路铺垫.师生活动成果：利用公式一四可以把任意的三角函数转化为锐角三角函数，如下图.利用公式五和公式六可以实现正弦函数和余弦函数的相互转化.问题 8.上述框图体现了什么数学思想？设计意图：体会框图形成的数学思想，并形成求三角函数值的基本思路，为求值、化简做好思路铺垫.师生活动成果：体现了由未知转化为已知的
15、化归思想，这也是求角的三角函数值的基本思路.（三）归纳总结 问题 9.本节课我们复习了一组，探究了五组诱导公式，公式是什么？用到了什么研究方法？体现了什么数学思想？设计意图：对本节课的重点内容和重点研究方法进行回顾，加深学生的认识.（四）目标检测 根据上述研究思路，（而不是用公式化简）.写出角 3-的三角函数值与角 的三角函数值之间的关系.设计意图：检测学生对研究方法的掌握情况.（五）课后作业：任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 用公式三或一 0 2的角的三角函数 用公式一 锐角三角函数 用公式二或四 请同学们用研究诱导公式的思路或用六组诱导公式研究角与角32，角与角32的三角函数的关系.
16、设计意图：让学生从两种方法中选择一种方法研究角与角32，角与角32的三角函数的关系，方法一的目的是让学生继续体验研究问题的思路；方法二的目的是让学生体会公式的发展与联系.第二节 三角函数诱导公式的应用（一）复习回顾：问题 1.请大家默写六组诱导公式.六组诱导公式的特征与功能是什么？我们用什么样的方法探索六组诱导公式的？设计意图：复习回顾上节课的内容，为三角函数诱导公式的应用做好铺垫.我们今天研究三角函数诱导公式的应用（二）例题讲解 例 1.化简：（1）cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)；（2）cos()2sin(2)cos(2)5sin()2；（3）11sin(2
17、)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2.问题 2.你认为化简一般化到什么程度是合适的？化简的依据是什么？设计意图：此例题是三角函数诱导公式的直接应用.首先让学生先明确化简的标准，然后通过以上三个具体的化简问题，让学生学会根据角的形式，准确地选择三角函数诱导公式，得出化简结果.师生活动成果：（1）cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)解：sin(180)sin(180)sin(180)(sin)sin ，cos(180)cos(180)cos(180)cos，所以 原式cossin1sin(cos).（2）cos()2sin(
18、2)cos(2)5sin()2 解：cos()cos()cos()sin222，5sin()sin(2)sin()sin)sin()cos22222 所以 原式2sinsincossincos.（3）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2 解：原式=(sin)(cos)(sin)cos5)2(cos)sin()sin()sin4)2 2sincos cos)2(cos)sin (sin)sin)2 sintancos .例 2.利用公式求下列三角函数值：（1）cos225；（2）11sin3；（3）16sin()3；（4）cos(204
19、0).问题 3.求值的目标是什么？转化的依据是什么？与例 1 的异同是什么？设计意图：让学生明确求值的目标和依据，也就是知道干什么，怎么干.师生活动成果：（1）分析：角的特征：225是02之间的角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式三把终边落在第三象限的角的三角函数值转化为锐角三角函数值.解：2cos225cos(18045)cos452 .（2）分析：角的特征：113不是02之间的角，且角的终边落在第四象限.公式选择：公式一把角转化为绝对值为锐角的三角函数值.11sinsin(4)sin()333.角的特征：3是一个负角，且角的绝对值为锐角.公式选择：公式三把负角转化为正角的三角函数值.
20、3sin()sin332 .解：113sinsin(4)sin()sin33332 .（3）分析：角的特征：163是负角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式三把负角转化为正角的三角函数值.1616sin()sin()33 角的特征：163不是02之间的角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式一把角转化为02之间的角.1644sin()sin(4)sin333 .角的特征：43是02之间的角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式三把终边落在第三象限的角的三角函数值转化为锐角三角函数值.43sinsin()sin3332.解：161644sin()sin()sin(4)sin3333 3s
21、in()sin332.（4）分析：角的特征：2040 是负角，且角的终边落在第二象限.公式选择：公式三把负角转化为正角的三角函数值.cos(2040)cos2040 角的特征：2040不是02之间的角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式一把角转化为02之间的角.cos2040cos(5360240)cos240 .角的特征：240是02之间的角，且角的终边落在第三象限.公式选择：公式三把终边落在第三象限的角的三角函数值转化为锐角三角函数值.1cos240cos(18060)cos602 .解：cos(2040)cos2040cos(5360240)cos240 .1cos(18060)co
22、s602 .问题 3 求任意角的三角函数值的思维方法是什么？求任意角的三角函数的基本思路是什么？设计意图：分析题目蕴含的功能，揭示解题的思维过程与方法.通过以上四个具体的求值问题，让学生学会从分析角的特征入手，合理选择三角函数诱导公式，把一个任意角的三角函数转化为一个锐角三角函数的求值思路.师生活动成果：（1）求任意角的三角函数值的思维方法：分析角的特征选择适当公式.（2）求任意角的三角函数值的基本思路：设计意图：通过以上四个具体的求值问题，让学生学会从分析角的特征入手，会把角转化为公式的形式，并合理选择三角函数诱导公式，把一个任意角的三角函数转化为一个锐角三角函数的求值思路.（三）尝试练习
23、练习 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数.（1）13cos9 ；（2）sin(1)；（3）sin()5 ；（4）tan100 21 .练习 2.利用公式求下列三角函数值.（1）cos(420)；（2）7sin()6；（3）sin(1300)；（4）79cos6.练习 3.化简：（1）sin(180)cos()sin(180)；（2）3sin()cos(2)tan()；（3）2tan(360)cos()sin().设计意图：让学生进一步熟悉三角函数化简、求值问题解决的基本思路，落实三角函数诱导公式的使用.（四）归纳小结：问题 4.求任意角的三角函数值的基本思路是什么？在选取诱导公式时，你的根据
24、是什么？问题 5.回顾函数的研究方法，思考诱导公式在研究三角函数中的作用.任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 用公式三或一 0 2的角的三角函数 用公式一 锐角三角函数 用公式二或四 设计意图：通过小结，让学生进一步梳理三角函数化简、求值问题解决的基本思路以及公式选取的依据，同时思考诱导公式在研究三角函数性质中的作用，为三角函数性质的学习做好铺垫.（五）目标检测 1化简：cos()2sin(2)cos()sin()2 2 求下列三角函数值：（1）29sin()6；（2）cos(1020)；（3）11tan()4.设计意图：对教学目标进行检测.化简问题主要检测学生对诱导公式的直接运用；求值问题主要检测学生通过对角特征的分析，首先把角表示成2()kkZ，2的形式，再使用诱导公式进行求值.（六）布置作业：课本习题 1.3 A 组