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1、 2021 高二数学培优扶差（十）知识点复习 1、函数 f x从1x到2x的平均变化率：2121f xf xxx 2、导数定义：f x在点0 x处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；3、函数 yf x在点0 x处的导数的几何意义是曲线 yf x在点 00,xf x处的切线的斜率 4、常见函数的导数公式：C0；1)(nnnxx；xxcos)(sin；xxsin)(cos；aaaxxln)(；xxee)(；axxaln1)(log；xx1)(ln 5、导数运算法则：1 fxg xfxgx；2 fxg xfx g xfx gx；3 20f xfx g xf x gxg x
2、g xg x；（4）形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|X=y|U u|X或者()()*()fxfx.6、在某个区间,a b内，若 0fx，则函数 yf x在这个区间内单调递增；若 0fx，则函数 yf x在这个区间内单调递减 7、求解函数()yf x单调区间的步骤：（1）确定函数()yf x的定义域；（2）求导数()yfx；（3）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为增区间；（4）解不等式()0fx，解集在定义域内的部分为减区间 8、求函数 yf x的极值的方法是：解方程 0fx当 00fx时：1如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那
3、么 0f x是极大值；2如果在0 x附近的左侧 0fx，右侧 0fx，那么 0f x是极小值 9、求解函数极值的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求函数的导数 f(x)（3）求方程 f(x)=0 的根（4）用方程 f(x)=0 的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（5）由 f(x)在方程 f(x)=0 的根左右的符号，来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数 yf x在,a b上的最大值与最小值的步骤是：1求函数 yf x在,a b内的极值；2将函数 yf x的各极值与端点处的函数值 f a，f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 导数强化训练（
4、一）选择题 1.已知曲线24xy 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（）A1 B2 C3 D4 2.曲线1323xxy在点（1，1）处的切线方程为（）A43 xy B23 xy C34 xy D54 xy 3.函数)1()1(2xxy在1x处的导数等于（）A1 B2 C3 D4 4.已知函数)(,31)(xfxxf则处的导数为在 的解析式可能为 （）A)1(3)1()(2xxxf B)1(2)(xxf C2)1(2)(xxf D1)(xxf 5.函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 6.函数32()31f xxx是减
5、函数的区间为()（）(2,)（）(,2)（）(,0)（）(0,2)7.若函数 cbxxxf2的图象的顶点在第四象限，则函数 xf 的图象是（）8.函数231()23f xxx在区间0,6上的最大值是（）A323 B163 C12 D9 9.函数xxy33的极大值为m，极小值为n，则nm为（）A0 B1C2 D4 10.三次函数 xaxxf3在,x内是增函数，则（）A0a B0aC1a D31a 11.在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是（）A3 B2 C1 D0 12.函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf 在),(ba内的图象如图所示，
6、则函数)(xf在开区间),(ba内有极小值点（）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 （二）填空题 13.曲线3xy 在点 1,1处的切线与x轴、直线2x所围成的三角形的面积为_。14.已知曲线31433yx，则在点(2,4)P的切线方程是_ 15.已知()()nfx是对函数()f x连续进行 n 次求导，若65()f xxx，对于任意xR，都有()()nfx=0，则 n 的最少值为 。16.某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买x吨，运费为 4 万元次，一年的总存储费用为4xx y o A x y o D x y o C x y o B 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，
7、则x 吨 （三）解答题 17.已知函数 cbxaxxxf23，当1x时，取得极大值 7；当3x时，取得极小值求这个极小值及cba,的值.18.已知函数.93)(23axxxxf（1）求)(xf的单调减区间；（2）若)(xf在区间2，2.上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值.19.设0t，点 P（t，0）是函数cbxxgaxxxf23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点 P 处有相同的切线。（1）用t表示cba,；（2）若函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，求t的取值范围。20.设函数 32()f xxbxcx xR，已知()()()g xf xfx是奇函数。（1）求b
8、、c的值。（2）求()g x的单调区间与极值。21.用长为 18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22.已知函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(13，内各有一个极值点 （1）求24ab的最大值；（1）当248ab时，设函数()yf x在点(1(1)Af，处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yf x的图象（即动点在点A附近沿曲线()yf x运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求函数()f x的表达式 强化训练答案：1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10
9、.A11.D12.A（四）填空题 13.3814.044 xy15.716.20（五）解答题 17.解：baxxxf232。据题意，1，3 是方程0232baxx的两个根，由韦达定理得 9,3ba cxxxxf9323 71 f，2c 极小值 25239333323f 极小值为 25，9,3ba，2c。18.解：（1）.963)(2xxxf令0)(xf，解得,31xx或 所以函数)(xf的单调递减区间为).,3(),1,(（2）因为,218128)2(aaf,2218128)2(aaf 所以).2()2(ff因为在（1，3）上0)(xf，所以)(xf在1，2上单调递增，又由于)(xf在2，1上
10、单调递减，因此)2(f和)1(f分别是)(xf在区间2,2上的最大值和最小值.于是有2022 a，解得.2a 故.293)(23xxxxf因此,72931)1(f 即函数)(xf在区间2,2上的最小值为7.19.解：（1）因为函数)(xf，)(xg的图象都过点（t，0），所以0)(tf，即03 att.因为,0t所以2ta.,0,0)(2abccbttg所以即 又因为)(xf，)(xg在点（t，0）处有相同的切线，所以).()(tgtf 而.23,2)(,3)(22btatbxxgaxxf所以 将2ta代入上式得.tb 因此.3tabc故2ta，tb，.3tc（2）)(3(23,)()(223
11、223txtxttxxyttxxtxxgxfy.当0)(3(txtxy时，函数)()(xgxfy单调递减.由0 y，若txtt3,0 则；若.3,0txtt则 由题意，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减，则).3,()3,1(),3()3,1(tttt或所以.39.333tttt或即或 又当39t时，函数)()(xgxfy在（1，3）上单调递减.所以t的取值范围为).,39,(20.解：（1）32f xxbxcx，232fxxbxc。从而322()()()(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2)xbxcb xc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；
12、（2）由（）知3()6g xxx，从而2()36g xx，由此可知，(,2)和(2,)是函数()g x是单调递增区间；(2,2)是函数()g x是单调递减区间；()g x在2x 时，取得极大值，极大值为4 2，()g x在2x 时，取得极小值，极小值为4 2。21.解：设长方体的宽为x（m），则长为x2(m)，高为 230(m)35.441218xxxh.故长方体的体积为 从而).1(18)35.4(1818)(2xxxxxxV 令 0 xV，解得0 x（舍去）或1x，因此1x.当10 x时，0 xV；当231 x时，0 xV，故在1x处 xV取得极大值，并且这个极大值就是 xV的最大值。从而
13、最大体积 3321619mxVV，此时长方体的长为 2m，高为 1.5m.答：当长方体的长为 2m 时，宽为 1m，高为 1.5m 时，体积最大，最大体积为33m。22.解：（1）因为函数3211()32f xxaxbx在区间 11)，(13，内分别有一个极值点，所以2()fxxaxb0在 11)，(13，内分别有一个实根，设两实根为12xx，（12xx），则2214xxab，且2104xx于是 2044ab，20416ab，且当11x ，23x，即2a ，3b 时等号成立故24ab 的最大值是 16（2）解法一：由(1)1fab 知()f x在点(1(1)f，处的切线l的方程是(1)(1)(
14、1)yffx，即21(1)32yab xa，因为切线l在点(1()Af x，处空过()yf x的图象，所以21()()(1)32g xf xab xa在1x 两边附近的函数值异号，则 1x 不是()g x的极值点 而()g x321121(1)3232xaxbxab xa，且 22()(1)1(1)(1)g xxaxbabxaxaxxa 若11 a ，则1x 和1xa 都是()g x的极值点 所以11 a ，即2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx 解法二：同解法一得21()()(1)32g xf xab xa 2133(1)(1)(2)322axxxa 因为切线l在点(1(1)Af，处穿过()yf x的图象，所以()g x在1x 两边附近的函数值异号，于是存在12mm，（121mm）当11mx时，()0g x，当21xm时，()0g x；或当11mx时，()0g x，当21xm时，()0g x 设233()1222aah xxx，则 当11mx时，()0h x，当21xm时，()0h x；或当11mx时，()0h x，当21xm时，()0h x 由(1)0h知1x 是()h x的一个极值点，则3(1)2 1 102ah ，所以2a ，又由248ab，得1b ，故321()3f xxxx